Правило суммы и правило произведения. Принцип включения и

Занятие № 2
Тема: «Правило суммы и правило произведения. Принцип включения и
исключения»
Цели:
1) Содействовать формированию навыков выполнения операций над
множествами и навыков решения перечислительных задач.
2) Способствовать накоплению у студентов фундаментальных знаний в
области современных компьютерных технологий.
Структура занятия:
1. Оргмомент
2. Проверка домашнего задания
3. Ознакомление с новым
материалом
4. Проверка усвоения знаний
5. Применение полученных знаний
6. Контроль и самоконтроль
7. Домашнее задание
8. Подведение итогов
Ход занятия.
1. Проверка домашнего задания
Задачи
1) Пусть U={1, 2, 3, 4, 5}. Выписать элементы множества М=(А\В)  ( A  B),
если
A={1, 3, 5}, B={3, 4, 5};
A={2, 4, 5}, B={1, 4};
A={1}, B=.
Ответ: М={1, 3, 5}; {2, 4, 5}; {1}
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 2
2) Пусть универсальное множество состоит из целых чисел. Из каких
элементов состоит множество М= A  B, если A={a a=4n, nN}, B={ b
b=3n, nN}
Ответ: числа кратные 12.
3) Пусть универсальное множество U={a, b, c}. Выписать все его
подмножества.
Ответ: , U, { a}, { b}, { c}, {a, b }, {a, c}, { b, c}.
4) Каждый ученик класса - либо девочка, либо мальчик, либо любит
математику. В классе 20 девочек, из них 12 блондинок, и одна блондинка
любит математику. Всего в классе 24 ученика-блондина, математику из них
любят 12, а всего учеником (мальчиков и девочек), которые любят
математику, 17, из них 6 девочек. Сколько учеников в данном классе?
Решение: Если А - множество девочек, В - блондинов, С - учеников,
которые любят математику, то n(A  B  С) - искомое число.
множество
блондинок,
математику,
-
множество
девочек,
которые
любят
- множество всех блондинов (мальчиков и девочек),
которые любят математику,
множество блондинок, которые любят
математику.
Тогда
5) Контрольные вопросы:
I.
Что изучает дисциплина «Дискретная математика»?
II.
Какой раздел математики посвящен решению задач выбора и
расположения элементов в соответствии с заданными правилами?
III.
Что мы будем понимать под множеством?
IV.
Какое определение множества дано Кантором?
V.
Дайте определение подмножества.
VI.
Какое множество называется пустым, а какое универсальным?
VII. Какие
операции
определены
над
множествами?
Сделайте
графическую интерпретацию каждой операции.
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 2
VIII. Какими свойствами обладают операции объединения и
пересечения?
IX.
Сформулируйте правило суммы для множеств, пересечение
которых пусто.
X.
Сформулируйте правило суммы для множеств, пересечение
которых не пусто.
Правило суммы.
n(A  B)=n(A)+n(B), если A  B=;
n(A  B)=n(A)+n(B) - n (A  B),если A  B.
Введем понятие декартового произведения.
Если есть два множества А и В, то все различные пары элементов из этих
множеств составят декартово произведение АВ.
Например, А={ a, b,с }, а C={x, y}, тогда АВ={( a, x), ( a, y), (b, x), (b, y), (c, x),
(c, , y )}
Метод включения и исключения
d e f ║ Метод подсчета числа элементов в объединении множеств по формуле
включений и исключений, состоящий в поочередном сложении и вычитании,
называется методом включения и исключения.
Пусть N(A)-число элементов множества A. Формула включения и исключения
имеет вид
Сформулируем
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 2
Правило произведения:
d e f ║ Число элементов в декартовом произведении конечных множеств X и Y
равно произведению числа элементов множества X и числа элементов множества
Y
n(XY)=n(X)  n(Y)
Можно сформулировать правило произведения и так:
def║Если элемент множества А можно выбрать m способами,
а В – n способами, то пару(А,В) можно выбрать mn
способами.
Пример.
Найдем число слов длины 4 составленных из 33 букв русского алфавита,
таких, что любые 2 соседние буквы этих слов различны.
Решение.
Первую букву можно выбрать 33 способами, вторую, третью и четвертую 32, значит число способов - 33 3 2  3 2  3 2 = 1 0 8 1 3 4 4 .
Задачи для решения
№1
Пусть А={2, 3, 4}, В={2, 0}. Найти АВ и В А.
Ответ: АВ={(2,2), (2,0), (3, 2), (3, 0), (4, 2), (4, 0)}
В А={(2, 2), (2,3), (2, 4), (0, 2), (0, 3), (0,4)}.
№2
Сколько имеется пятизначных чисел, которые делятся 5.
Решение.
Вспомним признак деления на 5 (число должно заканчиваться на 5 или на
0). Т.к. первая цифра не должна быть 0, то она выбирается из 9 цифр, 2, 3, 4
цифры – из 10, а пятая – из 2. Используя правило произведения получаем :
N=9*10*10*10*2=18000.
№3
Флаг составляется из 13 горизонтальных полос красного, белого и голубого
цвета, причем любые две соседние полосы д.б. различного цвета. Сколькими
способами можно это осуществить.
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 2
Решение.
Краску для первой полосы можно выбирать из 3, все остальные - из 2.
Значит,
N= 3*212=12288
№4
Найдите:
a) {a, b, c}  {a, c, d, f}
b) {a, b, c }  {b, c}
c) {a, b, e, d}\{a, f, g, k}
№5
Упростите выражение: Х1  Х2\ Х1
Ответ: Х1  Х2\ Х1=
№6
Пусть А – множество корней уравнения х2=9, В =[-1; 5], С – множество
углов  для которых выполняется неравенство tg  >0. Перечислите элементы
множеств: С  В, А  В, А\С
Решение.
А={-3, 3}; C=[0; /2);
С  В =[0; /2)  [-1; 5] =[0; /2)
А  В ={-3, 3}  [-1; 5] ={-3, [-1; 5] }
А\С ={-3, 3}\[0; /2) ={-3, 3}
№7
Сформулировать следующую задачу в терминах теории множеств.
Имеется набор ключевых слов для поиска в Интернете информации, связанной с
современными средствами электронного документооборота. Из этих ключевых
слов можно выделить слова, позволяющие найти Web-страницы, содержащие
информацию о современных текстовых процессорах, современных средствах
хранения документов, способах передачи электронных документов по каналам
связи, и некоторые страницы со специфической информацией. Требуется
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 2
выделить из всех ключевых слов такие, которые позволят находить страницы, не
связанные с хранением и передачей документов, однако содержащие сведения о
современных текстовых процессорах.
Решение.
Введем следующие обозначения: A,B и С – множества ключевых слов,
которые можно использовать для поиска информации соответственно о
современных
текстовых
процессорах,
современных
средствах
хранения
документов, способах передачи электронных документов по каналам связи. Тогда
искомое множество Х ключевых слов можно выразить следующим образом:
Х=А\(В  С).
Домашнее задание
1. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так,
чтобы их можно было приложить друг к другу (т.е. чтобы какое-то число
очков встретилось на обеих костях)?
Решение
Сначала выберем одну кость. Это можно сделать 28 способами. При этом в
7 случаях выбранная кость окажется "дублем", т.е. костью вида 00, 11, 22, 33, 44 ,
55 ,66, а в 21 случае - костью с различными числами очков(например, 05, 13 и
т.д.).В первом случае вторую кость можно выбрать 6 способами (например, если
на первом шагу выбрана кость 11, то на втором шагу можно взять одну из костей
01, 12, 13, 14, 15, 16. Во втором же случае вторую кость можно выбирать 12
способами (для кости 35 подойдут кости 03, 13, 23, 33, 34, 36, 05, 15, 25, 45, 55,
56). По правилу произведения в первом случае получаем 7*6=42 выбора, а во
втором 21*12=252 выбора. Значит, по правилу суммы получаем 42+252=294
способов выбора пары.
2. Электронные документы из пункта А в пункт В передаются по по 7 каналам
связи. В пункте В документы редактируются и передаются обратно.
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 2
Сколькими способами можно передать документ из пункта А в пункт В и
обратно?
Решение
Для каждого канала связи из А в В можно выбрать любой из 7 каналов для
обратной связи, поэтому всего 49 способов
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 3
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж