Тема: «Биномиальные коэффициенты

Занятие № 9
Тема: «Бином Ньютона»
Цели:
1) Способствовать ознакомлению студентов с формулой бинома Ньютона.
2) Формировать навыки использования формулы бинома Ньютона при решении примеров.
Структура занятия:
1. Оргмомент
2. Анализ самостоятельной работы
3. Лекция
4. Решение примеров
5. Домашнее задание
6. Подведение итогов
Ход занятия.
I. Вспомнить свойства биномиальных коэффициентов.
1)
2)
C n0 = Cnn  1
3)
C nk  C kr  C nkrr  C nr
4)
5)
II. Лекция
Числа, стоящие в строках треугольника Паскаля, встречаются при
возведении в степень двучлена (a+ b):
(a+b)2= a2 +2a·b+b2
(a+b)3= a3 +3a2·b+3a·b2+ b3
То есть, числа 1, 2, 1 – это 3-я строка треугольника Паскаля, 1, 3, 3, 1 –
четвертая.
Это замечание делает естественной гипотезу, что для каждого n истинно
равенство
(a+b)n= C n0 a n + C n1 a n-1 b + C n2 a n-2 b 2+…+ C nn 1 a b n-1 + C nn b n
Доказательство (по индукции):
0
1) Для n=1 a+b= C1 a+ C11 b, т.е. истинно.
2) Пусть верно для n=k
(a+b)k= C k0 a k + C k1 a k-1 b + C k2 a k-2 b 2+…+ C kk 1 a b k-1 + C kk b k
3) Докажем истинность формулы для n=k +1
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 9
(a+ b)k+1= (a+b)k(a+ b)=
=( C k0 a k + C k1 a k-1 b + C k2 a k-2 b 2+…+ C kk 1 a b k-1 + C kk bk) (a+ b)=
= C k0 a k-1 + C k1 a k b + C k2 a k-1 b 2+…+ C kk 1 a 2b k-1 + C kk a bk+ C k0 a k b + C k1 a k-1 b2 +
+ C k2 a k-2 b 3+…+ C kk 1 a b k + C kk bk+1=
= C k0 a k+1+ a k b ( C k1 + C k0 )+a k-1 b 2( C k2 + C k1 )+…+a b k( C kk + C kk 1 )+ C kk bk+1,
воспользуемся 4) свойством биномиальных коэффициентов,
(a+ b)k+1= C k0 a k+1+ a k b C k11 +a k-1 b 2 C k21 +…+a b k C kk1 + C kk bk+1, т.к. C k0 = C k01 =1 и
C kk = C kk1 =1, то заменим эти коэффициенты.
(a+ b)k+1= C k01 a k+1+ a k b C k11 +a k-1 b 2 C k21 +…+a b k C kk1 + C kk1 bk+1, ч.т.д.
Доказанную формулу называют биномом Ньютона.
Теперь, зная формулу бинома Ньютона можно доказать 5) свойство
биномиальных коэффициентов.
Рассмотрим 2 n =(1+ 1)n= C n0 + C n1 + C n2 +…+ C nn 1 + C nn , ч.т.д.
III. Решение примеров.
1) Найти произведение
(a+ 1) (a+ 2) (a+ 3) (a+ 4) = (a+ 1) (a+ 1+1) (a+ 1+2) (a+ 1+3)=
= ((a+ 1) 2+ (a+ 1))( (a+ 1) 2+5 (a+ 1)+6)= (a+ 1) 4+6 (a+ 1) 3+11(a+ 1)2+6(a+1)=
= a4+4 a3+6 a2+4 a+ 1+6(a3+3 a2+3 a+ 1) +11(a2+2 a+ 1) +6a+6=
= a4+10 a3+35 a2+50 a+ 24
2) ) Найти разложение бинома:
(x + a)6  С60 x 6  C61 x 5 a  C62 x 4 a 2  С63 x 3 a 3  C64 x 2 a 4  C65 xa5  C66 a 6 =
= x6+6 x5 a +15 x4 a 2+20 x3 a3+15 x2a4+6 x a5+ a6
3) Найти 4й член в разложении (a+ 3)7
C 73 a 4 b 3 =35·27·а4=945 а4
4) Найти разложение бинома:
( a  b )6 =
a )6+6 ( a )5 b +15( a )4( b )2+20 ( a )3( b )3+15 ( a )2( b )4+6
= а 3+6 а 2 ab +15 а 2b+20 а b ab +15 а b2 +6 b 2 ab + b 3
=(
a ( b )5+ ( b )6=
5) Найти член разложения (x+y)9, содержащий x7
C97 х 7 y 2 =36 x7y2
6) Найти член разложения ( 3
C17x 
1
3
a2
17 x 
4
a3
x = C17x a
1
a
2
 4 a 3 )17, не содержащий а
2
 (17 x )
3
3
x
a4 =
2
3
 (17  x)  x  0  17 х=136 х=8
3
4
17!
C178 
=17*11*13*10=24310
9!8!
1
7) В разложении  x  3 2 n коэффициент
x
5го члена относится к
коэффициенту 3го, как 7:2. Найти тот член этого разложения бинома, который
содержит x в первой степени.
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 9
Сn4 7 (n  3)( n  2) 7 (n  3)( n  2)
 ,
 7  n1=9, n2= -4 – посторонний корень,
 ,
12
2
6
Cn2 2
т.к. не удовлетворяет условию задачи,

2
 k
3
9 k
2
C
x  x =C x
9k 2
 k  1 k=3
2
3
k
9
9 k
k
9
x
2
 k
3
k
9
=C x
9 k 2
 k
2 3
Ответ: C93 x  84 x
IV. Домашнее задание.
Домашняя контрольная работа (6 вариантов)
Домашняя контрольная работа (6 вариантов)
Вариант 1
Вариант 2
1) Упростите выражение:
n
P2 х 1
Pmn  Am
n 1
А2 x 1 P2 x n
Pm1
2) Решите уравнение:
х 1
2
12С х 3  55 Ах 1
30С хх39  19 Ах44
3) Решите систему уравнений:
n 3
n2
 A23nx : A23nx1  8,
 Ax : Ax  1 : 8,
 3 x 3 x1
 n 3 n  2
C2 n : C2 n  8 : 9.
C x : C x  5 : 8.
4) Решите задачу:
Сколько различных неправильных
Сколько различных разностей можно
дробей можно составить из чисел: 3, 5, 7, составить из 2-х чисел, если для
13, 17 так, чтобы в каждую дробь входило составления разности брать по два числа?
два числа?
Вариант 3
Вариант 4
1) Проверьте равенство:
С
4
m 1
C  C
3
m
С m8  C m8 1  C m7  0
4
m
2) Решите уравнение:
С
х2
х 3
 4А
3
х2
С хх14 
7 3
Ах 1
15
3) Решите систему уравнений:
 A : A  8,
 Amn : Amn1  9,

 n n1
2
 n  2 n 3
Cm : Cm  3 : 2.
C
:
C

2
.
2
x
2
x

3
4) Решите задачу:
Сколько различных дробей можно
На плоскости расположены 10 точек
составить из чисел: 3, 5, 7, 11, 13, 16 так, так, что три из них лежат на одной прямой.
чтобы в каждую дробь входило два числа?
Сколько
различных
прямых
можно
провести через эти точки?
n2
2x
Преподаватель
Авдеева Е.В.
n 3
2x
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 9
Вариант 5
Вариант 6
1) Упростите выражение:
n 1
m 1
Pmn  A
10 Pm1
P10n  A10n
P9
2) Решите уравнение:
С
4 ( х 1)
4 х 9
С хх83  5 Ах3 6
 5А
3
4 х 7
3) Решите систему уравнений:
 A : A  1 : 7,
 Axn3 : Axn2  1 : 8,

 n 3 n  2
C : C  7 : 4.
C x : C x  5 : 8.
4) Решите задачу:
Сколько различных четных делителей
Сколько различных произведений,
имеет число 3570?
кратных 10 можно составить из чисел 7, 2,
11, 9, 5, 3?
n 3
5x
n2
5x
n2
5x
n 3
5x
Вариант 6
Вариант 5
Вариант4
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 9
Вариант3
Вариант2
Вариант 1
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж
Занятие № 9
Преподаватель
Авдеева Е.В.
Белгородский педагогический колледж