

11 класс.
Задача 1.
Условие. На наклонной плоскости с углом наклона   30  к горизонту
находится сплошной однородный цилиндр, масса которого т1  8кг , а радиус
R  2см . К оси цилиндра с помощью нити присоединен груз массой m2  4кг
, который также находится на плоскости. С каким ускорением а движутся
оба тела? Коэффициент трения между кубом и плоскостью   0,6 . Считать,
что цилиндр скатывается с плоскости без проскальзывания.
Решение.
Динамический способ решения. Выберем координатные оси и
укажем силы, действующие на куб и цилиндр (см. рисунок).
y
N2

N1
T1
FТР
T2
0
FТР
m2g
x

m1g
Запишем уравнения второго закона Ньютона в проекциях на оси Ох и
Oy для цилиндра:
m1 g sin   FTP  T1  m1a,
(1)
N1  m1 g cos   0,
(2)
для куба:
T2  m2 g sin   FTP  m2 a,
(3)
N 2  m2 g cos   0.
(4)
Так как масса нити пренебрежимо мала, то T1  T2 .
Из выражения (4) получаем, что N 2  m2 g cos  , а следовательно,
FTP  N 2  m2 g cos  . Так как цилиндр не проскальзывает, то угловое
ускорение цилиндра равно   a R.
Запишем основное уравнение динамики вращательного движения для
цилиндра:
FTP R  I ,
где I момент инерции цилиндра. Отсюда следует, что
FTP 
I Ia m1 R 2 a m1a


 2 
.
R R2
2
R
2
(5)
Складывая уравнения (1) и (3), получим:
m
 m2 g sin   FTP  FTP  m1  m2 a.
Подставим в последнее равенство полученные значения для сил трения
FTP и FTP :
m1  m2 g sin   m2 g cos  m1a  m1  m2 a.
2
Откуда
m  m2 sin   m2 cos g.
a 1
3 m m
2
2 1
Подстановка числовых данных приводит к ответу a  2,46 м с 2 .
Энергетический способ решения. За время t после начала движения
цилиндр и куб приобретут скорость V  at, переместятся вдоль наклонной
плоскости на расстояние l  at 2 2 и опустятся по вертикали на
at 2
h  l sin  
sin  .
2
Их потенциальная энергия уменьшится при этом на величину:
at 2
En  m1  m2 gh  m1  m2 g
sin  .
2
В этот момент времени кинетическая энергия цилиндра и куба будет
равна:
3 m  m 
3 m  m 
1
2
2

m1  m2  2 m1 R 2V 2
2
2
2 1
Ek 
V 

V

a 2t 2 .
2
2
4R
2
2
За это же время сила трения куба о плоскость совершит работу
1
at 2
ATTP  FTP l  m2 g cos
.
2
Из закона сохранения энергии можно записать равенство:
En  Ek  ATP .
Из него следует
 m2 sin   m2 cos
g.
3 m m
2
2 1
Подстановка числовых данных приводит к ответу a  2,46 м с 2 .
a
Критерии оценки.
m
1
На усмотрение проверяющего. Общее количество баллов за задачу – 10.
Задача 2.
Условие. Одноатомный идеальный газ совершает процесс, показанный
на рисунке. Найти КПД цикла.
Решение. КПД цикла равен
A
,
(1)
Q
где A – совершенная газом за цикл работа,
Q – количество теплоты, полученное за цикл от нагревателя.
Из рисунка видно, что
Q
Q
Q
,
(2)
12
23
где Q12 – теплота, полученная в процессе 1–2,
Q23 – теплота, полученная в процессе 2–3.
3


Q

C
T

T

RT
.
(3)
12V2 1
1
2
5


Q

C
T

T

R

4
T

10
RT
.
(4)
23
V
3
2
1
2
где  – количество вещества,
CV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.
Из (1) – (4) найдем
2PV
 0 0 .
(5)
11
,55
RT




 
Из уравнения Менделеева-Клапейрона
P
RT
0V
0
1.
Отсюда окончательно находим
4
23
 0,17
.
(6)
Критерии оценки.
КПД цикла
Общая теплота
Теплоты Q12 и Q23
Уравнение Менделеева-Клапейрона
Численный ответ
2 балла
2 балла
2 балла
2 балла
2 балла.
Задача 3.
Условие. Два плоских конденсатора емкостью С1 и С2 ,обладающих
зарядами q1 и q2, соединяют между собой. Найти энергию ,которая выделится
при перезарядке конденсаторов в двух случаях: а) соединены одноименно
заряженные пластины; б) соединены разноименно заряженные пластины.
Решение
1. Соединены одноименно заряженные пластины конденсаторов
Закон сохранения заряда.
q1- q2 = q'1- q'2,
(1)
где q'1 и q'2 –заряды на обкладках конденсатора после соединения.
q'1/C1 = q'2/C2 = (q1- q2 )/С,
(2)
где С – емкость батареи
С = С1 + С2
(3)
W1 = W2 + Q,
(4)
Закон сохранения энергии
где W1 и W2 - соответственно энергии батареи до и после соединения
W1 = q12/2C1 +q2 2/2 С2
(5)
W2 = q'12/2C1 +q2' 2/2 С2 ,
(6)
Q - энергия, выделяемая при перезарядке конденсаторов.
Из (1) – (6) найдем
Q = ( q1 С2 + q2 С1 )2/2C1 C2(С1 + С2).
2. Соединены разноименно заряженные пластины конденсаторов
(7)
Закон сохранения заряда.
q1+ q2 = q'1+q'2,
где q'1 и q'2 –заряды на обкладках конденсатора после соединения.
q'1/C1 = q'2/C2 = (q1+ q2 )/С,
где С – емкость батареи
С = С1 + С2.
Закон сохранения энергии
W1 = W2 + Q,
(8)
(9)
(10)
(11)
где W1 и W2 - соответственно энергии батареи до и после соединения
W1 = q12/2C1 +q2 2/2 С2,
(12)
W2 = q'12/2C1 +q2' 2/2 С2,
(13)
Q - энергия, выделяемая при перезарядке конденсаторов.
Из (8) – (13) найдем
Q = (q1 С2 + q2 С1 )2/2C1 C2(С1 + С2).
(14)
Критерии оценки.
Закон сохранения заряда 1 случай
Закон сохранения энергии 1 случай
Закон сохранения заряда 2 случай
Закон сохранения энергии 2 случай
Конечные формулы
2 балла
2 балла
2 балла
2 балла
2 балла
Задача 4.
Условие. Прямоугольный проводник массой m0,3кг, по которому
ток силой I  5 А , поднимается вертикально вверх в однородном
горизонтальном магнитном поле с индукцией B0,4Тл, двигаясь под углом
  30o к линиям магнитной индукции. Через время t  2c после начала
движения он приобрел скорость V 4мс . Найти длину l проводника.
Решение.
По второму закону Ньютона

mg

F
ma
,
A
где
(1)
F
sin
– сила Ампера,
AIBl
V
a  – ускорение.
t
Из (1) – (3) находим

(2)
(3)

mV g
t
.
l
BI
sin

Критерии оценки.
Закон Ньютона
Сила Ампера
Ускорение
Конечная формула
2 балла
3 балла
2 балла
3 балла.
Задача 5.
Условие. Найти кажущуюся глубину водоема h , если смотреть на него
сверху, перпендикулярно его поверхности.
Решение.
Из рисунка следует
Отсюда
CD

H
tg


h
tg
.
(1)
tg
H
sin

h

H 
tg
 sin
.
(2)
Закон преломления света
sin  n1
 .
sin  n2
С учетом (3) уравнение (2) запишется в виде
n
hH 1.
n2
Критерии оценки.
Построение изображения
Отрезок CD
Глубина изображения
Закон преломления
Конечная формула
(3)
(4)
2 балла
2 балла
2 балла
2 балла
2 балла.