204.00Kb - G

РЕГУЛИРОВАНИЕ РАЗВИТИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПОДХОДА
Ашимов А.А., Сагадиев К.А., Боровский Ю.В., Искаков Н.А., Ашимов Ас.А.
Институт проблем информатики и управления НАН Республики Казахстан,
г. Алматы, E-mail: [email protected]
В работе приводятся неохваченные известными работами результаты исследования
достаточных условий существования экстремали и точек бифуркации экстремалей задачи
вариационного исчисления по выбору оптимальных законов параметрического
регулирования
в
среде
заданного
конечного
набора
алгоритмов
при
многопараметрическом возмущении. Полученные результаты иллюстрируются на примере
одной математической модели экономической системы страны.
1. Условия существования решения задачи вариационного исчисления по выбору
оптимального набора законов параметрического регулирования на множестве
сочетаний из p параметров по r в среде заданного конечного набора алгоритмов
В работе предложен подход параметрического регулирования эволюции нелинейных
динамических экономических систем [1], имеющих следующий вид
dx
 f ( x, u,  ), x(t 0 )  x0 ,
dt
Пусть
(1)
[t 0 , t 0  T ]
R n - n-мерное евклидово пространство;
промежуток (времени); t [t0 , t0  T ] ;
- фиксированный
x  ( x1 , x 2 ,..., x n )  X  R n - вектор состояния
1
2
l
l
системы; u  (u , u ,..., u )  W  R
- вектор (регулирующих) параметрических
воздействий; W, Х – компактные множества c непустыми внутренностями - Int (W ) и
Int ( X ) соответственно;   (1 , 2 ,, m )    R m ,  - открытое связное множество;
f
f
f
отображения f ( x, u,  ) : X  W    R n
и
,
,
непрерывны в X W   .
x u 
Рассматривается задача вариационного исчисления нахождения максимума функционала
(критерия) вида
K
t 0 T
 G ( x(t ))dt
(2)
t0
при ограничениях (1) и
x  X , u W , x j (t )  x*j (t )  x*j (t )
и при использовании законов регулирования
u
i
j
j

 kij F i ( x)  u*j .
(3)
(4)
j
Здесь x* и u* - координаты соответствующих фиксированных векторов.
Доказывается следующая теорема.
1
Теорема 1. При использовании любого выбранного набора законов
U  {u i
js
s
,
s  1  r} ,
где r  l из набора алгоритмов (4) при ограничениях (1) и (2) существует решение задачи
нахождения верхней грани критерия K:
t0 T
 G( x (t ))dt 
t0
sup
.
(5)
( ki1 j1 , ki2 j2 , , kir jr )
При этом если множество возможных значений коэффициентов ( k i1 j1 , k i2 j 2 ,  , k ir j r )
законов рассматриваемой задачи ограничено, то указанная верхняя грань для выбранного
набора из r законов достигается. Для конечного набора алгоритмов (4) задача (1)-(5)
имеет решение.
2. Достаточные условия для существования точки бифуркации экстремалей
Введем следующее определение, характеризующее такие значения параметра  , при
котором возможна замена одного оптимального закона регулирования на другой.
Определение. Значение *   называется точкой бифуркации экстремали задачи
(1)-(5), если при    существуют как минимум два различных оптимальных набора из r
законов из (3), отличающихся хотя бы на один закон U ij , а в каждой окрестности точки
 найдется такое значение    , для которого задача (1)-(5) имеет единственное
решение.
Следующая теорема дает достаточные условия для существования точки бифуркации
экстремалей рассматриваемой вариационной задачи по выбору закона параметрического
регулирования в заданной конечной среде алгоритмов.
Теорема 2 (о существовании точки бифуркации). Пусть при значениях параметра
1 и 2 , ( 1  2 , 1 , 2   ) задача (1)-(5) имеет соответствующие единственные
решения для двух различных оптимальных наборов из r законов из (3), отличающихся хотя
бы на один закон U ij . Тогда имеется хотя бы одна точка бифуркации    .
3. Пример нахождения точек бифуркации экстремалей для одной задачи
вариационного исчисления на базе математической модели экономической системы
Рассмотрим возможность нахождения точек бифуркации для одной вариационной
задачи [1] по выбору набора оптимальных законов параметрического регулирования
механизма рыночной экономики в среде конечного фиксированного набора алгоритмов на
базе математической модели [2] экономической системы страны. Фазовые ограничения и
ограничения в разрешенной форме исследуемой задачи вариационного исчисления по
выбору законов параметрического регулирования представлены в виде системы из пяти
дифференциальных и одиннадцати алгебраических уравнений, которая в силу ее
громоздкости здесь не приводится.
Здесь обозначены: М – суммарная производственная мощность; Q – общий запас
товаров на рынке; LG – общий объем государственного долга; p– уровень цен; s – ставка
заработной платы; Lp – объем задолженности производства; dp и dB–соответственно
2
предпринимательские и банковские дивиденды; Rd и RS – соответственно спрос и
предложение рабочей силы; δ, v - параметры функции f(x), x – решение уравнения
f ( x)  s ; ФL и Ф0 – соответственно потребительские расходы трудящихся и
p
собственников; ФI – поток инвестиций; ФG – потребительские расходы государства; ξ норма резервирования; β – отношение средней нормы прибыли от коммерческой
деятельности к норме прибыли рантье; r2 – ставка процента по депозитам; rG – ставка
процента по облигациям государственных займов; η0 – коэффициент склонности
собственников к потреблению; π – доля потребительских расходов государства от
внутреннего валового продукта; np, n0, nL – соответственно ставки налогов на поток
платежей, дивиденды и доход трудящихся; b – норма фондоёмкости единицы мощности; μ
– коэффициент выбытия единицы мощности вследствие деградации; μ* - норма
амортизации; α – постоянная времени; Δ – постоянная времени, задающая характерный
временной масштаб процесса релаксации заработной платы; P0, P0A – соответственно
начальные значения численности трудящихся и общей численности трудоспособных; λp>0
– заданный темп демографического роста; ω – душевое потребление в группе трудящихся.
Возможность выбора оптимального набора законов вида (4) параметрического
регулирования исследовалась:
- на уровне одного из двух параметров  (j=1) ,  (j=2);
- на промежутке времени [t0 , t0  T ] и в среде следующих алгоритмов.
1)U 1 j (t )  k1 j
M  M0
 const j ,
M0
2)U 2 j (t )  k 2 j
M  M0
 const j ,
M0
3)U 3 j (t )  k 3 j
p  p0
 const j ,
p0
4)U 4 j (t )  k 4 j
p  p0
 const j ,
p0
(6)
 M  M 0 p  p0 
 M  M 0 p  p0 
  const j .
  const j , 6)U 6 j (t )  k 6 j 
5)U 5 j (t )  k 5 j 


p0 
p 0 
 M0
 M0
Здесь M 0 , p 0 - начальные значения соответствующих переменных, а const j - оценка
соответствующего
параметра,
полученная
по
результатам
параметрической
идентификации модели.
В рассматриваемой задаче использовался критерий (2) вида (среднее значение ВВП
за 1997-99 годы)
K
1 t0 T
 Y (t )dt ,
T t0
(7)
где Y  Mf .
Замкнутое множество  в пространстве непрерывных вектор - функций выходных
переменных рассматриваемой системы и регулирующих параметрических воздействий
определяется следующими соотношениями
pij (t )  p ** (t )  0.09 p ** (t ),
( M (t ), Q(t ), LG (t ), p(t ), s(t ))  X ,
0  u j  a j , i  1,4, j  1,2, t  [t 0 , t 0  T ].
(8)
3
Здесь a j - наибольшее возможное значение j-го параметра, pij (t ) – значения уровня цен
при U ij -ом законе регулирования; p ** (t ) - модельные (расчетные) значения уровня цен без
параметрического регулирования; X - компактное множество допустимых значений
указанных параметров.
В данной задаче вариационного исчисления рассматривалась ее зависимость от
двумерного коэффициента   (r2 , nO ) математической модели, возможные значения
которого принадлежат некоторой области (прямоугольнику)  на плоскости.
Случай неограниченных множеств H 1 () мы не рассматриваем исходя из
экономических соображений. В этом случае, согласно теореме 1 верхняя грань критерия
(8) задачи рассматриваемой задачи вариационного исчисления всегда достигается для
некоторых значений коэффициентов набора из двух законов.
В результате вычислительного эксперимента были получены графики зависимостей
оптимального значения критерия K от значений параметров (r2 , nO ) для каждого из 12
возможных законов U ij , i  1,6, j  1,2 . На рисунке 1 представлены указанные графики для
двух законов U 21 и U 41 , дающих наибольшее значение критерия в области  , линия
пересечения соответствующих поверхностей и проекция этой линии пересечения на
плоскость значений  , состоящая из точек бифуркации этого двумерного параметра. Эта
проекция делит прямоугольник  на две части, в одной из которых оптимальным является
закон управления U 21 , а в другой - U 41 , на самой проекции линии оба указанных закона
являются оптимальными.
4. Заключение
Проведены исследования одной задачи параметрического регулирования развития
нелинейных динамических систем
Проведено исследование бифуркаций экстремалей одного класса задач
вариационного исчисления по выбору оптимального набора законов параметрического
регулирования динамических систем при многопараметрическом возмущении в среде
конечного набора алгоритмов содержащих по одному настраиваемому коэффициенту.
Доказан факт существования решения рассматриваемого класса задач вариационного
исчисления.
Предложено определение бифуркационной точки экстремалей; доказано
утверждение о достаточных условиях существования бифуркационной точки экстремалей
и предложен численный алгоритм обнаружения бифуркационного значения параметра для
экстремалей рассматриваемого класса задач вариационного исчисления.
Положения теоретических исследований проиллюстрированы на примере одной
задачи выбора оптимального набора законов параметрического регулирования механизмов
рыночной экономики в среде заданного конечного набора алгоритмов.
Полученные результаты могут быть рекомендованы для использования при
разработке и осуществлении эффективной государственной политики.
4
Рис. 1. Оптимальные значения критерия.
Литература
1. Ашимов А.А., Боровский Ю.В., Волобуева О.П., Ашимов Ас.А. О выборе
эффективных законов параметрического регулирования механизмов рыночной экономики
// Автоматика и телемеханика. 2005. № 3. С. 105 – 112.
2. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования
экономики. – М.: Энергоатомиздат, 1996.
5