ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА - Владивостокский государственный
реклама
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Рабочая программа дисциплины МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА ИНСТИТУТ ИНФОРМАТИКИ, ИННОВАЦИЙ И БИЗНЕС-СИСТЕМ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ Высшая математика Рабочая программа дисциплины по специальностям 190603.65 «Сервис транспортных и технологических машин и оборудования (автомобильный транспорт)» 190702.65 «Организация и безопасность движения» Владивосток Издательство ВГУЭС 2014 ББК 22.11 Рабочая программа по дисциплине «Высшая математика» составлена в соответствии с требованиями государственного стандарта России. Предназначена для студентов специальностей 19060365 «Сервис транспортных и технологических машин и оборудования», 19070265 «Организация и безопасность движения» Составитель: моделирования. Гусев Е.Г. доцент кафедры математики Утверждена на заседании кафедры математики и моделирования от 7.02.2011 г., протокол № 7, редакция 2014г., протокол №10 от 27.03.2014г. Рекомендована к изданию учебно-методической комиссией Института информатики, инноваций и бизнес – систем от 29.04.2014г., протокол №7. © Издательство Владивостокского государственного университета экономики и сервиса, 2009 и ВВЕДЕНИЕ В современной науке и технике математические методы исследования, моделирования и проектирования играют всё большую роль. Это обусловлено совершенствованием вычислительной техники, благодаря которой существенно расширяется возможность успешного применения математики при решении конкретных задач. Общий курс высшей математики является фундаментом математического образования инженера. Знания, приобретаемые студентом в результате изучения математики, играют важную роль в процессе его обучения в институте. Они необходимы для успешного усвоения общетеоретических и специальных дисциплин, предусмотренных учебными планами инженерно-технических специальностей. Математические методы широко используются для решения задач физики, химии, естествознания, техники, экономики, планирования и прогнозирования производства. Данная программа построена в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта России к дисциплине «Высшая математика». Учебная программа разработана на основе учебных планов специальностей 190603.65 «Сервис транспортных и технологических машин и оборудования», 190702.65 «Организация и безопасность движения». 1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1.1.Цели и задачи изучения дисциплины Инженер должен знать и уметь использовать основные понятия и методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, теории вероятностей и математической статистики. Знать и уметь использовать математические модели простейших систем процессов в естествознании и технике, вероятностные модели и производить необходимые расчеты в рамках построенной модели. Иметь опыт употребления математической символики для выражения количественных и качественных отношений объектов. Использовать основные приемы обработки экспериментальных данных. Иметь опыт аналитического численного решения алгебраических и дифференциальных уравнений. Иметь опыт решения оптимизационных задач на ПЭВМ. 1.2. Компетенции, которыми должен обладать студент в результате изучения дисциплины В результате изучения дисциплины «Высшая математика» студент должен обладать следующими компетенциями: - знать и уметь использовать математические модели простейших систем процессов в естествознании и технике, вероятностные модели и производить необходимые расчеты в рамках построенной модели; -иметь опыт употребления математической символики для выражения количественных и качественных отношений объектов; -использовать основные приемы обработки экспериментальных данных; - иметь опыт аналитического численного решения алгебраических и дифференциальных уравнений. Иметь опыт решения оптимизационных задач на ПЭВМ. 1.3. Объем и сроки изучения курса Курс «Высшая математика» изучается общим объёмом 602 часа в течение первого, второго, третьего и четвертого семестров специальностями 190603.65 ««Сервис транспортных и технологических машин и оборудования» и 190702.65 «Организация и безопасность движения». 1.4. Основные виды занятий и особенности их проведения при изучении данного курса 1.4.1. Лекционные занятия Лекции построены как типичные лекционные занятия по высшей математике в соответствии с требованиями государственных стандартов для подготовки специалистов вышеперечисленных специальностей. Недельная аудиторная нагрузка составляет два часа. На лекции преподаватель излагает теоретический материал, который по мере необходимости иллюстрирует примерам. Разделы «Абстрактная алгебра», «Дифференциальная геометрия» изучается самостоятельно студентами специальности 190702.65 в I семестре. Раздел «Функциональный анализ» изучается самостоятельно студентами специальности 190603.65 во II семестре. В IV семестре специальности 190702.65 и 190603.65 занимаются по разным учебным программам в соответствии с учебными планами этих специальностей. 1.4.2.Практические занятия Занятия по практике построены как типичные лекционные занятия по высшей математике в соответствии с требованиями государственных стандартов для подготовки специалистов вышеперечисленных специальностей. Недельная аудиторная нагрузка составляет два часа. На практических занятиях студент под руководством преподавателя изучает методы решения конкретных задач высшей математики и приобретает навыки решения этих задач. 1.5. Взаимосвязь аудиторной и самостоятельной работы студентов при изучении курса В ходе изучения курса высшей математики студент слушает лекции по большинству тем, посещает практические занятия, занимается индивидуально. Индивидуальные занятия включают закрепление тем, изучаемых во время занятий, и самостоятельное изучение некоторых тем. Освоение курса предполагает, помимо посещения лекций и практических занятий, выполнение аудиторных контрольных работ. Особое место в овладении данным курсом отводится самостоятельной работе по решению текущих и индивидуальных домашних заданий. Учебным планом предусмотрены консультации, которые студент может посещать по желанию. 1.6. Виды контроля знаний студентов и их отчетности Курс высшей математики завершается экзаменом в каждом из четырех семестров. Экзамен проводится в форме компьютерного тестирования. Тест состоит из двадцати заданий теоретического и практического характера. Обязательным условием допуска студента к экзамену является выполнение индивидуальных домашних заданий и аудиторных контрольных работ. 2. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА Перечень тем лекционных занятий 1 семестр Тема 1 «Элементы линейной и векторной алгебры». Понятия о матрицах, действия с ними, обратная матрица, матричная запись и матричный способ решения системы линейных уравнений, ранг матрицы, эквивалентные матрицы, исследования на совместность системы m линейных уравнений с n неизвестными, решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Тема 2 «Скалярные и векторные величины». Линейные операции над векторами, угол между векторами, проекция вектора на ось, разложение вектора на составляющие по осям координат, направляющие косинусы вектора, условие коллинеарности двух векторов. Скалярное произведение двух векторов: определение, физический смысл, вывод формулы скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов, условие перпендикулярности векторов, скалярный квадрат вектора, длина вектора. Тема 3 «Векторное произведение двух векторов». Определение, физический смысл, вывод формулы векторного произведения через координаты перемножаемых векторов, геометрический смысл модуля векторного произведения. Смешанное произведение трех векторов: определение, геометрический смысл, вывод формулы смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов, условие компланарности трех векторов. Тема 4. «Аналитическая геометрия». Вывод формулы расстояния между двумя точками на плоскости и формул деления отрезка в данном отношении. Уравнение линии на плоскости: определение линии с помощью уравнения, нахождение уравнения линии по ее геометрическим свойствам, вывод формул преобразования координат, параллельный перенос осей координат, поворот осей координат. Параметрические уравнения линии на плоскости. Тема 5. «Прямая на плоскости». Вывод общего уравнения прямой на плоскости, его частные случаи, примеры построения прямой по ее общему уравнению. Переход от общего уравнения прямой к уравнению с угловым коэффициентом, геометрический смысл параметров этого уравнения. Уравнение прямой в отрезках. Составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Каноническое и параметрические уравнения прямой на плоскости. Взаимное расположение двух прямых: угол между прямыми, условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Вывод формулы расстояния от точки до прямой. Пучок прямых. Тема 6. «Кривые второго порядка». Окружность, эллипс, гипербола, парабола, определения, канонические уравнения, общее уравнение, приведение общего уравнения к каноническому виду. Тема 7. «Вывод канонического уравнения эллипса». Исследование формулы эллипса по его уравнению, эксцентриситет эллипса, связь между эллипсом и окружностью. Тема 8. «Вывод канонических уравнений гиперболы и параболы и параболы». Исследование формы этих кривых по их уравнениям. График квадратного трехчлена, уравнение равносторонней гиперболы, асимптоты которой приняты за оси координат, график дробно-линейной функции. Тема 9. «Аналитическая геометрия в пространстве». Уравнение поверхности, уравнение линии в пространстве, алгебраические поверхности, плоскость как алгебраическая поверхность первого порядка, вывод общего уравнения плоскости, неполные уравнения плоскостей, уравнение плоскости в отрезках, примеры построения плоскостей по их уравнениям. Нормальное уравнение плоскости, расстояние от точки до плоскости, взаимное расположение двух плоскостей: угол между плоскостями, условие параллельности и перпендикулярности. Тема 10. «Прямая в пространстве». Переход от общих уравнений прямой к каноническому виду, векторное и параметрические уравнения прямой, уравнение прямой. Проходящей через две заданные точки, угол между двумя прямыми, условие параллельности и перпендикулярности прямых. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве: условия параллельности и перпендикулярности, нахождение точки пересечения прямой и плоскости. Тема 11. «Алгебраические поверхности второго порядка». Сфера, эллипсоид, конус, цилиндрические поверхности, поверхности вращения. Канонические уравнения поверхности, построение поверхности по ее уравнению. Тема 12. «Дифференциальная геометрия». Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Элементы топологии. Тема 13. «Абстрактная алгебра». Векторные пространства и линейные отображения. Алгебра многочленов. Тема 14. «Дискретная математика». Элементы теории множеств. Алгебра высказываний. Элементы комбинаторики. 2 семестр Тема 1. «Введение в математический анализ». Функции одной переменной: область определения, графики основных элементарных функций. Теория пределов: определение пределов функции в точке и при x , свойства предела функции, бесконечно малые и бесконечно большие: определения, их свойства и связи между собой. Основные теоремы о пределах. Понятия о неопределенностях, примеры раскрытия неопределенностей при вычислении предела функции. Первый и второй замечательные пределы. Понятие числовой последовательности и ее предела, число “e”, натуральные логарифмы. Сравнение бесконечно малых, эквивалентные бесконечно малые и их применение к вычислению пределов. Тема 2. «Непрерывность функции в точке». Определение, необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке, односторонние пределы. Точки разрыва функции, их классификация, примеры исследования функций на непрерывность. Операции над непрерывными функциями, непрерывность элементарных функций. Свойства функций непрерывных на замкнутом промежутке. Тема 3. «Дифференцирование функций одной независимой переменной». Задачи, приводящие к понятию производной: скорость прямолинейного движения, плотность однородного стержня, скорость химической реакции. Скорость изменения функции, определение производной. Основные правила дифференцирования: вывод формул производной суммы, произведения и частного двух функций, следствие. Вывод формул производных некоторых элементарных функций. Таблица производных. Дифференцирование сложных функций. Связь производных прямой и обратной функций. Параметрически заданные функции и их дифференцирование, производные неявных функций, логарифмическое дифференцирование. Повторное дифференцирование. Тема 4. «Геометрический смысл производной». Уравнение касательной и нормали к линии. Дифференциал функции: определение, геометрический смысл, связь производной и дифференциала функции, свойства дифференциала, инвариантность формы дифференциала, применение дифференциала к приближенным вычислениям. Тема 5. «Применение дифференциального исчисления». К исследованию функций: признаки монотонности функции; определение точек экстремума функции, критические точки функции, достаточный признак экстремума. Схема исследования функций на экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом промежутке. Текстовые задачи на экстремум функции. Применение второй производной к исследованию функций. Точки перегиба графика функции, признаки выпуклости и вогнутости линии, признаки точки перегиба. Схема исследования функций, асимптоты линии: вывод формул для нахождения неизвестных параметров уравнения наклонной асимптоты, понятие односторонних пределов функции в точке, исследование поведения графика функции относительно вертикальных асимптот. Пример полного исследования функции и построение ее графика. Применение производных к раскрытию неопределенностей: правило Лопиталя и его применение к вычислению предела функции. Тема 6. «Векторная функция скалярного аргумента». Определение вектор - функции, годограф, правила дифференцирования вектор – функции. Уравнение касательной и нормальной плоскости к пространственной кривой. Вторая производная вектор – функции, кривизна кривой в точке, радиус и центр кривизны, эволюта и эвольвента. Дифференциальные характеристики пространственных кривых: направляющий вектор касательной, направляющий вектор главной нормали, направляющий вектор бинормали. Кручение пространственной кривой. Тема 7. «Интегральное исчисление функций одной переменной». Определение первообразной и неопределенного интеграла, основная таблица интегралов, правила интегрирования, примеры непосредственного интегрирования функций. Основные методы интегрирования: метод подведения под знак дифференциала, метод интегрирования по частям, метод замены переменной. Интегрирование рациональных дробей: интегрирование простейших дробей, выделение целой части у неправильной дроби, интегрирование правильных дробей разложением их на простейшие, метод неопределенных коэффициентов. Понятие о комплексных числах, действие с комплексными числами. Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций, универсальная тригонометрическая подстановка. Интегрирование простейших иррациональностей. Тема 8. «Определенный интеграл как предел интегральной суммы». Задача о площади криволинейной трапеции. Теорема существования определенного интеграла, простейшие свойства интеграла, свойство аддитивности интеграла, оценка интеграла, теорема о среднем, среднее значение функции. Производная от интеграла с переменным верхним пределом, формула Ньютона – Лейбница, примеры вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. Тема 9. «Приложение определенного интеграла к задачам геометрии». вычисление площади плоской фигуры, вычисление площади криволинейного сектора, объем тела вращения; объем тел, если известна площадь любого его сечения плоскостью, перпендикулярной одной из оси координат. Длина дуги плоской кривой, заданной в декартовых или полярных координатах или параметрически. Тема 10. «Функции нескольких переменных». Определение, способы задания, график, область определения, предел, непрерывность функции в точке. Частные производные функции двух переменных, полный дифференциал и его применение к приближенным вычислениям. Тема 11. «Экстремумы функций двух переменных». Определение точек максимума и минимума, необходимый признак экстремума, достаточное условие экстремума. Задачи о наибольших и наименьших значениях функции двух переменных в замкнутой области. Условный экстремум: определение, решение задач методом множителей Лагранжа. Тема 12. «Скалярное поле». Поверхности уровня, производная по направлению, градиент функции. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности. Тема 13. «Элементы функционального анализа». Отображение множеств. Мера плоского множества. Тема 14. «Комплексный анализ». Действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме. Дифференцирование функций комплексного переменного. 3 семестр Тема 1. «Дифференциальные уравнения». Некоторые задачи физики и геометрии, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка: определение, общее и частное решение, интегральная кривая, теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка. Задача Коши. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения первого порядка, решение линейных уравнений методом подстановки и методом вариации произвольной постоянной. Уравнение Бернулли. Тема 2. «Дифференциальные уравнения второго порядка». Основные понятия, задача Коши. Уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка. Решение линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами; теорема о структуре общего решения, вывод формул общего решения для трех случаев: корни характеристического уравнения действительные и различные, корни характеристического уравнения действительные и равные, корни характеристического уравнения комплексные. Понятие о линейных неоднородных уравнениях второго порядка. Теорема о структуре общего решения. Тема 3. «Элементы теории вероятностей». Случайные события, классическое и статистическое определение вероятности, геометрические вероятности, примеры вычисления вероятностей. Сумма и произведение событий, теоремы сложения и умножения вероятностей: теорема сложения вероятностей несовместных событий, теорема сложений вероятностей совместных событий, теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий, условная вероятность. Тема 4. «Противоположные события». вероятность хотя бы одного из независимых событий, формула полной вероятности, формулы Байеса. Повторение испытаний: формулы Бернулли, локальная и интегральная теоремы Лапласа. Тема 5. «Случайные величины и законы их распределения». Понятия дискретной и непрерывной случайной величины, ряд и многоугольник распределения, числовые характеристики дискретных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона, простейший поток событий. Тема 6. «Непрерывные случайные величины». Функция и плотность распределения вероятностей непрерывных случайных величин: определение, свойства, связь функции и плотности распределения. Числовые характеристики непрерывных случайных величин, примеры их вычисления. Вероятность попадания значений непрерывной случайной величины в заданный интервал. Понятие о нормальном законе распределения. Тема 7. «Закон больших чисел». Неравенство и теорема Чебышева. Теорема Бернулли – следствие теоремы Чебышева. Центральная предельная теорема, интегральная теорема Муавра– Лапласа. Локальная теорема Лапласа. Тема 8. «Элементы математической статистики». Понятие о выборочном методе, вариационный ряд, статистическое распределение выборки, эмпирическая функция распределения, полигон частот. Статистическая совокупность, метод группировки статистических данных, гистограмма относительных частот. Тема 9. «Нормальное распределение непрерывных случайных величин, его свойства». Вероятность попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Тема 10. «Статические характеристики». Среднее арифметическое, мода, медиана, размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, асимметрия, эксцесс. Тема 11. «Способ произведений» для приближенного вычисления средней арифметической, дисперсии, асимметрии, эксцесса. Тема 12. «Статистические оценки математического ожидания и дисперсии». Точечные и интервальные оценки, несмещенные, эффективные и состоятельные. Точность и надежность оценки. Доверительный интервал. Тема 13. «Оценка генеральной средней с помощью выборочной средней и генерального среднего квадратического отклонения с помощью выборочного среднего квадратического». Отклонение в случае малой выборки. Тема 14. «Проверка статической гипотезы о нормальном распределении. Критерий Пирсона». Тема 15. «Двумерные выборочные совокупности. Корреляционная зависимость». Полная и неполная корреляция. Тема 16. «Обработка двумерной выборки в случае полной корреляции». Определение неизвестных параметров уравнения линий регрессии метом средних, методом проб, методом выбранных точек, методом наименьших квадратов. Тема 17. «Полная корреляция». Регрессии X на Y и Y на X. Линейная корреляция. Составление уравнений прямой линии регрессии. Оценка тесноты связи между X и Y с помощью коэффициента корреляции. 4 семестр (для специальности 19060365) Тема 1. «Числовые ряды». Определение ряда и его суммы. Необходимый признак сходимости ряда. Геометрическая прогрессия – простейший пример числового ряда. Гармонический ряд. Достаточные признаки сходимости положительных числовых рядов: признаки сравнения Даламбера, Коши, интегральный признак. Остаток ряда. Тема 2. «Ряды с произвольными членами». Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды, теорема Лейбница, применение ее к оценке ошибки, допускаемой при отбрасывании остатка ряда после n – ого члена. Теоремы об оценке остатка ряда. Примеры приближенного нахождения суммы ряда. Тема 3. «Функциональные ряды, их область сходимости». Степенные ряды, радиус и интервал сходимости. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора. Разложение функций в степенной ряд: теорема о разложении, условие разложения. Ряд Маклорена. Тема 4. «Разложение в степенной ряд элементарных функций: e x , sin x , cos x , 1 x m , ln1 x , arctgx , chx , shx и другие». Формула Тейлора для многочлена. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям: приближенные вычисления значений функций, интегрирование функций и дифференциальных уравнений, интеграл вероятностей. Тема 5. «Двойной интеграл». Задача об объеме цилиндрического бруса, определение и свойства двойного интеграла, повторные интегралы, примеры их вычисления. Тема 6. «Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах». Вывод формулы сведения двойного интеграла к повторным для случая области интегрирования “правильной” в направлении оси Oy, примеры приведения двойного интеграла к повторным, изменение порядка интегрирования. Тема 7. «Вычисление двойного интеграла в полярных координатах». Геометрические приложения двойного интеграла: вычисление площадей плоских фигур и объемов тел. Тема 8. «Криволинейный интеграл». Определение криволинейного интеграла по координатам, свойства интеграла. Вычисление интеграла в декартовых координатах и параметрической форме. Доказательство формулы Грина, связывающей двойной интеграл по некоторой замкнутой области D c криволинейным интегралом, взятым по замкнутому контуру – границей области D. Тема 9. «Независимость криволинейного интеграла от контура интегрирования». Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии независимости криволинейного интеграла от контура интегрирования. Интегрирование полных дифференциалов: примеры отыскания функции двух переменных по ее полному дифференциалу. Тема 10. «Тройной интеграл». Задача о массе тела, определение и свойства тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах; примеры построения пространственных областей интегрирования и расстановки пределов интегрирования при сведении тройного интеграла к повторным. Тема 11. «Гармонический анализ». Понятие периодической функции. Гармонические колебания. Ряды Фурье. Тема 12. «Численные методы». Интерполирование функций. Численные методы решения дифференциальных уравнений. 4 семестр (для специальности 19070265) Тема 1. «Задачи линейного программирования». Примеры задач линейного программирования (ЗЛП). Общая и основная ЗЛП. Свойства основной ЗЛП. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования. Графическое решение задач линейного программирования. Анализ моделей на чувствительность. Симплексный метод решения задач линейного программирования. Особые случаи симплексного метода. Симплексные таблицы. Симплексный метод с естественным базисом. Симплексный метод с искусственным базисом. Основная теорема симплексного метода. Модифицированный симплексный метод. Тема 2. «Двойственные задачи линейного программирования». Прямая и двойственная задачи линейного программирования. Экономическая интерпретация взаимно двойственных задач линейного программирования. Свойства взаимно двойственных задач. Первая и вторая теоремы двойственности. Геометрическая интерпретация двойственных задач. Нахождение решения двойственных задач. Объективно обусловленные оценки и их смысл. Анализ устойчивости двойственных оценок. Экономико – математический анализ полученных оптимальных решений. Двойственный симплексный метод решения ЗЛП. Тема 3. «Транспортные задачи линейного программирования». Математическая постановка транспортной задачи. Построение экономико-математических моделей транспортной задачи. Нахождение первоначального базисного распределения поставок. Метод “северозападного угла”, метод наименьшей стоимости, метод Фогеля, метод дифференциальных рент. Критерий оптимальности базисного распределения поставок. Понятие цикла пересчета, свойства цикла пересчета. Распределительный метод решения транспортной задачи. Метод потенциалов решения транспортной задачи. Открытая модель транспортной задачи. Нахождение решения некоторых экономических задач, сводящихся к транспортной. Тема4. «Модели целочисленного линейного программирования». Постановка задачи целочисленного программирования. Экономическая и геометрическая интерпретация задачи целочисленного программирования. Определение оптимального плана задачи целочисленного программирования. Методы отсечения. Понятие о методе ветвей и границ. Основные этапы нахождения решения задачи линейного программирования методом ветвей и границ. Метод Гомори. Алгоритм решения задачи целочисленного программирования методом. Гомори. Тема 5. «Модели динамического программирования». Общая постановка задачи динамического программирования. Принцип оптимальности и уравнения Беллмана. Задача о распределении средств между предприятиями. Задача об оптимальном распределении ресурсов. Задача о замене оборудования. Принцип максимума Понтрягина. Односекторная модель оптимального экономического роста. Модели естественного роста с постоянными темпами и в условиях конкуренции. Тема 6. «Случайные процессы». Система массового обслуживания. Статистические методы планирования эксперимента. Тема 7. «Математические методы в организации транспортного процесса». Прогнозирование технико-экономических показателей. Математические методы моделирования транспортных сетей. 3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ КУРСА 3.1. Перечень и тематика самостоятельных работ студентов по курсу Для студентов специальностей 19060365 «Сервис транспортных и технологических машин и оборудования», 19070265 «Организация и безопасность движения» предусмотрены три контрольные работы в каждом семестре (по два часа каждая), а также индивидуальные домашние задания (по два в каждом семестре). Темы контрольных работ: 1.Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, геометрические и физические приложения. 2. Действия с матрицами. 3. Прямая на плоскости. 4. Вычисление пределов. 5. Вычисление производных. 6. Вычисление неопределенных интегралов. 7. Решение дифференциальных уравнений первого порядка. 8. Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. 9. Вычисление вероятностей случайных событий. 10. Исследование на сходимость числовых рядов. 11. Разложение функций в ряд Фурье. 12. Вычисление кратных интегралов. Темы индивидуальных домашних заданий: 1. Решение систем линейных уравнений. 2. Построение кривых в полярной системе координат. 3. Плоскость и прямая в пространстве. 4. Исследование на экстремум ФНП. 5. Геометрические приложения определенных интегралов. 6. Операции с комплексными числами. 7. Вычисление числовых характеристик случайных величин. Закон распределения случайной величины. 8. Математическая статистика. Обработка выборки. 9. Корреляция. Построение выборочного уравнения регрессии. 10. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям. 11. Интерполирование функций. 12. Теория поля. 3.2. Обзор рекомендованной литературы В процессе изучения дисциплины «Высшая математика» помимо теоретического материала, предоставленного преподавателем во время лекционных занятий, возникает необходимость в изучении учебной литературы, так как некоторые темы, частично или полностью, изучают самостоятельно. Для этой цели преподаватели кафедры «Математики и моделирования» подготовили необходимые методические пособия, в которых нужные темы излагаются наиболее доступным для большинства студентов образом. К ним относятся следующие издания: Курс лекций по высшей математике, ч.1,2, Л.Я. Дубинина, Л.С. Никулина, И.В. Пивоварова. Дополнительные главы в курсе высшей математики, Л.С. Никулина, Л.Я. Дубинина. Высшая математика: практикум . Учебное пособие для студентов специальности 2030100. 4.1.2. Л.С.Никулина, А.Н.Ткалич. Наиболее подробно теория изложена в учебнике А.Ф.Берманта «Краткий курс математического анализа». Учебник рекомендован для высших учебных заведений. 3.3 Методические указания по самостоятельному выполнению практических заданий Для выполнения индивидуальных домашних заданий необходимо изучить соответствующий теоретический материал и научиться решать типовые задачи по нужной теме. При решении индивидуальных домашних заданий необходимо делать ссылки на соответствующие теоремы, свойства, формулы. Решение индивидуальных домашних заданий нужно выполнять подробно, делать все необходимые пояснения и, если нужно, иллюстрировать решение чертежами. 3.4 Контрольные вопросы для самостоятельной оценки качества освоения дисциплин 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. Определение вектора. Примеры вычисления скалярного, векторного и смешанного произведений векторов. Виды уравнений прямой на плоскости. Примеры составления уравнения линии на плоскости. Вывод канонических уравнений кривых 2-го порядка, построение кривых 2-го порядка. Определение предела функции, определение бесконечно малой и бесконечно большой величины. Определение непрерывности функции в точке, классификация точек разрыва. Определение производной функции одной переменной, ее геометрический и физический смысл. Определение дифференциала. Определение экстремума функции одной переменной. Необходимое и достаточное условие экстремума. Функция нескольких переменных. Область определения функции нескольких переменных. График функции двух переменных. Линии уровня функции двух переменных. Поверхности уровня функции трех переменных. Окрестность точки на плоскости. ε-окрестность точки на плоскости. Окрестность бесконечности на плоскости. ε-окрестность бесконечности на плоскости. Окрестность точки в пространстве. ε-окрестность точки в пространстве. Окрестность бесконечности в пространстве. ε-окрестность бесконечности в пространстве. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность в точке и в ограниченной замкнутой области функций двух и трех переменных. Непрерывность функции двух и трех переменных в ограниченной замкнутой плоскости. Частные приращения функций нескольких переменных. Полное приращение функций нескольких переменных. Частные производные функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Связь полного дифференциала и частных производных. Полные дифференциалы высших порядков. Дифференцирование сложных функций. Дифференцирование неявно заданных функций. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума функции нескольких переменных. Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных. Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Скалярное поле, функция поля. Определение градиента скалярного поля. Геометрический смысл градиента. Определение производной по направлению. Геометрический смысл производной по направлению. Связь производной по направлению и градиента. Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование. Интегрирование с помощью внесения функции под знак дифференциала. Основные методы интегрирования. Формула интегрирования по частям. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование простейших рациональных дробей. Выделение целой части из непрерывной рациональной дроби. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших рациональных дробей методом неопределенных коэффициентов. Интегралы основных тригонометрических функций. Понижение степени. Замена переменной при интегрировании тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Замена переменной при интегрировании иррациональных функций. Обратная подстановка. Тригонометрические подстановки. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90. 91. 92. 93. 94. 95. 96. Интегралы от дифференциальных биномов. Подстановки Чебышева. Подстановки Эйлера. Задача о площади криволинейной трапеции. Определение определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Свойство аддитивности определенного интеграла. Оценка определенного интеграла. Теорема о среднем значении. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла в декартовой системе координат. Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла в полярной системе координат. Вычисление длин кривых с помощью определенного интеграла в декартовой системе координат. Вычисление длин кривых с помощью определенного интеграла в полярной системе координат. Вычисление объемов тел вращения. Вычисление объема тела по известной площади поперечного сечения. Физические приложения определенного интеграла. Вычисление статических моментов плоских дуг и плоских кривых. Вычисление моментов инерции плоских дуг кривых и плоских фигур. Нахождение координат центра тяжести дуг плоских кривых и плоских фигур. Вычисление работы переменной силы. Вычисление силы давления жидкости. Несобственный интеграл с одним или двумя бесконечными пределами. Несобственный интеграл с конечными пределами от разрывной функции. Сходимость и расходимость несобственных интегралов. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Дифференциальное уравнение. Порядок дифференциального уравнения. Решение дифференциального уравнения. Общее решение дифференциального уравнения. Начальные условия дифференциального уравнения. 97. Частные решения дифференциального уравнения. 98. Особые решения дифференциального уравнения. 99. Однородные функции. 100. Задача Коши. 101. Интегральные кривые. 102. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. 103. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах. 104. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. 105. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. 106. Уравнения Бернулли. 107. Дифференциальные уравнения высших порядков. 108. Дифференциальные уравнения, допускающих понижение порядка. 109. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. 110. Свойства частных решений. 111. Линейно зависимые и линейно независимые частные решения. 112. Фундаментальная система частных решений. 113. Общее решение однородных линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 114. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. 115. Характеристическое уравнение. 116. Частные решения линейных однородных дифференциальных уравнений высших порядков. 117. Зависимость частных решений линейных однородных дифференциальных уравнений высших порядков от корней характеристического уравнения. 118. Общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений высших порядков. 119. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. 120. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 121. Метод подбора частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части и корням характеристического уравнения. 122. Принцип наложения решений. 123. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных. 124. Системы дифференциальных уравнений. 125. Определение двойного интеграла. 126. Интегральная сумма для двойного интеграла. 127. Геометрический смысл двойного интеграла. 128. Теорема существования двойного интеграла. 129. Свойство аддитивности для двойного интеграла. 130. Основные свойства двойного интеграла. 131. Теорема о среднем значении для двойного интеграла. 132. Расстановка пределов интегрирования в двойном интеграле для областей различных видов в декартовой системе координат. 133. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат. 134. Расстановка пределов интегрирования в двойном интеграле для областей различных видов в полярной системе координат. 135. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат. 136. Геометрические приложения двойного интеграла. 137. Вычисление площадей с помощью двойного интеграла в декартовой системе координат. 138. Вычисление площадей с помощью двойного интеграла в полярной системе координат. 139. Вычисление объема цилиндрического тела с помощью двойного интеграла в декартовой системе координат. 140. Вычисление объема цилиндрического тела с помощью двойного интеграла в цилиндрической системе координат. 141. Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла в декартовой системе координат. 142. Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла в цилиндрической системе координат. 143. Физические приложения двойного интеграла. 144. Нахождение статических моментов относительно осей координат плоской пластинки с помощью двойного интеграла в декартовой системе координат. 145. Нахождение статических моментов плоской пластинки с помощью двойного интеграла в полярной системе координат. 146. Нахождение момента инерции относительно начала координат плоской пластинки с помощью двойного интеграла в декартовой системе координат. 147. Нахождение момента инерции относительно начала координат плоской пластинки с помощью двойного интеграла в полярной системе координат. 148. Нахождение координат центра тяжести плоской пластинки с помощью двойного интеграла в декартовой системе координат. 149. Нахождение массы плоской пластинки с помощью двойного интеграла в декартовой и полярной системах координат. 150. Определение тройного интеграла и его геометрический смысл. 151. Интегральная сумма для тройного интеграла. 152. Геометрический смысл тройного интеграла. 153. Теорема существования тройного интеграла. 154. Свойство аддитивности тройного интеграла. 155. Основные свойства тройного интеграла. 156. Теорема о среднем значении для тройного интеграла. 157. Расстановка пределов интегрирования в тройном интеграле в декартовой системе координат. 158. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат. 159. Расстановка пределов интегрирования в тройном интеграле в цилиндрической системе координат. 160. Вычисление тройного интеграла в цилиндрической системе координат. 161. Расстановка пределов интегрирования в тройном интеграле в сферической системе координат. 162. Вычисление тройного интеграла в сферической системе координат. 163. Геометрические приложения тройного интеграла. 164. Вычисление объема тела с помощью тройного интеграла в декартовой системе координат. 165. Вычисление объема тела с помощью тройного интеграла в цилиндрической системе координат. 166. Вычисление объема тела с помощью тройного интеграла в сферической системе координат. 167. Физические приложения тройного интеграла. 168. Вычисление координат центра тяжести тела с помощью тройного интеграла в декартовой системе координат. 169. Вычисление моментов инерции тела относительно осей координат с помощью тройного интеграла в декартовой, цилиндрической и сферической системе координат. 170. Вычисление массы тела с помощью тройного интеграла в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. 171. Определение числового ряда. 172. Общий член числового ряда. 173. Частичная сумма числового ряда. 174. Сходящийся и расходящийся числовой ряд. 175. Сумма числового ряда. 176. Сумма числовых рядов. 177. Умножение числового ряда на число. 178. Основные свойства числовых рядов. 179. Гармонический ряд. 180. Обобщенный гармонический ряд. 181. Необходимый признак сходимости числового ряда. 182. Следствие из необходимого признака сходимости числового ряда – признак расходимости числового ряда. 183. Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов. 184. Признак сравнения. 185. Предельный признак сравнения. 186. Признак Даламбера. 187. Признак Коши. 188. Интегральный признак сходимости. 189. Знакопеременный числовой ряд. 190. Знакочередующийся числовой ряд. 191. Признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов. 192. Абсолютная сходимость знакопеременного числового ряда. 193. Условная сходимость знакопеременного числового ряда. 194. Признак абсолютной сходимости знакопеременного числового ряда. 195. Функциональный ряд. 196. Точка сходимости функционального ряда. 197. Точка расходимости функционального ряда. 198. Область сходимости функционального ряда. 199. Сумма функционального ряда. 200. Степенной ряд. 201. Интервал сходимости степенного ряда. 202. Равномерная сходимость функционального ряда. 203. Абсолютная сходимость функционального ряда. 204. Интегрирование и дифференцирование степенного ряда. 205. Вычисление коэффициентов ряда Тейлора. 206. Ряд Маклорена. 207. Разложение основных элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена. 208. Приближенные вычисления с помощью рядов. 209. Тригонометрические ряды. 210. Ряд Фурье. 211. Вычисление коэффициентов ряда Фурье. 212. Теорема Дирихле. 213. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2π, 2е, заданных на сегменте [0;e). 214. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2е. 215. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на полупериоде. 216. Разложение в ряд Фурье четных функций. 217. Разложение в ряд Фурье нечетных функций. 218. Интеграл Фурье. 219. Интеграл Фурье в комплексной форме. 220. Прямое преобразование Фурье общего вида. 221. Обратное преобразование Фурье общего вида. 222. Прямое косинус-преобразование Фурье для четных функций. 223. Обратное косинус-преобразование Фурье для четных функций. 224. Прямое синус-преобразование Фурье для четных функций. 225. Обратное синус-преобразование Фурье для четных функций. 226. Амплитудный спектр. 227. Частотный спектр. 228. Интегралы Лапласа. 229. Разрывный множитель Дирихле. 230. Задача о массе неоднородной дуги. 231. Интегральная сумма для функции двух переменных по длине дуги. 232. Криволинейный интеграл по длине дуги. 233. Дифференциал дуги. 234. Основные свойства криволинейного интеграла по длине дуги. 235. Независимость криволинейного интеграла по длине дуги от направления пути интегрирования. 236. Свойство аддитивности для криволинейного интеграла по длине дуги. 237. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги 238. в декартовой системе координат. 239. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги параметрической форме. 240. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги в полярной системе координат. 241. Вычисление длины дуги с помощью криволинейного 242. интеграла первого рода. 243. Вычисление массы дуги и длины дуги с помощью криволинейного интеграла по длине дуги. 244. Задача о работе переменной силы вдоль длины кривой. 245. Интегральная сумма для функций P(x;y) и Q(x;y) по координатам. 246. Криволинейный интеграл по координатам (второго рода). 247. Основные свойства криволинейного интеграла по координатам. 248. Зависимость криволинейного интеграла второго рода от направления пути интегрирования. 249. Свойство аддитивности криволинейного интеграла второго рода. 250. Вычисление криволинейного интеграла второго рода в явной и параметрической формах в декартовой системе координат. 251. Вычисление площади с помощью криволинейного интеграла по координатам. 252. Независимость криволинейного интеграла по 253. координатам от пути интегрирования. 254. Нахождение функции по ее полному дифференциалу. 255. Формула Грина. 256. Вычисление работы, совершаемой переменной силой на криволинейном пути с помощью криволинейного интеграла второго рода. 257. Определение вероятности случайного события, примеры вычисления вероятности события, пользуясь классическим определением. 258. Определение случайной величины, примеры вычисления математического ожидания и дисперсии дискретных и непрерывных случайных величин. 259. Что изучает математическая статистика? В чем суть выборочного метода? 260. Понятие эмпирической функции распределения, пример построения функции. 261. Что такое статистические оценки? Понятие точечных и интервальных оценок. Что такое статистические гипотезы? 262. Понятие нормального закона распределения случайной величины, вероятностный смысл параметров распределения. 4 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 4.1 Основная литература 1. В. Е. Гмурман, Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: ИД Юрайт, 2010. 2. Г. И. Шуман, О. А. Волгина , Высшая математика. -Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2009. 3. В.А.Колемаев, В.Н.Калинина, Теория вероятностей и математическая статистика. - М,: КНОРУС, 2009. 4. Л. Г. Бирюкова, Г. И. Бобрик, В. И. Ермаков, Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: ИНФРА-М, 2010. 5. П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, С, П. Данко, Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.: Оникс : Мир и Образование, 2008. 6. В. А. Ильин, А. В. Куркина , Высшая математика. - М.: Проспект, 2009. 7. Я. С. Бугров, С. М. Никольский, Высшая математика. - М.: Дрофа, 2007. 8. Н. Н. Одияко, Н. Ю. Голодная, Теория вероятностей. Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2010. 4.2 Дополнительная литература 1.БеклемишевД.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.-Физматлист,2006. 2.Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа. СПб.:ЛаньЮ 2006. 3.Пивоварова И.В. Сборник задач по высшей математике. - ВГУЭС, 2002. 4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. 5. Багриновский К.А., Матюшок В.М.. Экономико-математические методы и модели. – М.: ИРУНД, 1999. 6. Ильин В.А. Высшая математика. – М.:Велби, 2008 7. Дубинина Л.Я., Никулина Л.С., Пивоварова И.В. Курс лекций по высшей математике. 4.1,2.. - -Владивосток: Издательство ВГУЭС,2001 8. Никулина Л.С., Ткалич А.Н. Высшая математика; практикум. 4.1,2. – Владивосток: Издательство ВГУЭС,2007 9.Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.Физматлист,2005.
