Опубликован: Сб. докладов на XII научно – технич. конф. с... дунар. участием «Транспорт, экология – устойчивое развитие» 18 – 20

Опубликован: Сб. докладов на XII научно – технич. конф. с междунар. участием «Транспорт, экология – устойчивое развитие» 18 – 20
мая 2006. Варна, Изд. «Эковарна», 2006, С. 115 – 120.- ISBN – 954 – 20 –
00030.
М.С. Столбов, В.В. Эфрос
(Россия, Владимир, Владимирский государственный университет)
НОВАЯ МОДЕЛЬ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА
Введение. В настоящее время наиболее общим термодинамическим процессом, изучаемым в курсах технической термодинамики и
теории двигателей внутреннего сгорания, является политропный процесс [1,2]. Недостатки его использования для моделирования реальных
процессов в двигателях известны.
В настоящей работе предложена новая модель термодинамического процесса, обеспечивающая лучшее приближение расчётных параметров газа к реальным. Её основой служит математическая модель теплообмена между внешним источником и рабочим телом, определяющая
направление и интенсивность потока теплоты при осуществлении процесса. Учитывая указанные свойства модели, авторы назвали полученный процесс термотропным (от греч. therme – тепло, tropos – поворот,
направление). Модель, также как и политропная, выражена в элементарных функциях, при этом политропный процесс является частным случаем термотропного.
Характеристика теплообмена. Выразим характеристику теплообмена в виде отношения текущего количества теплоты Q, которой обмениваются внешний источник и рабочее тело, к общему количеству
теплоты Q0 , участвующей в процессе
х  Q Q0 .
(1)
Установим необходимые условия, которым должна отвечать математическая модель (1):
- х является функцией текущего объёма V, при этом в начале процесса х  0 , в конце процесса х  1,
- интенсивность теплообмена dx dV является монотонной функцией текущего объёма V,
- Q0 является независимой величиной,
- для учебных целей функции состояния в термотропном процессе,
также как и в политропном, должны быть выражены в элементарных
функциях.
Рассмотрим решение поставленной задачи в общем виде.
Параметры рабочего тела в термодинамическом процессе определяются путём решения уравнения первого закона термодинамики, выраженного в дифференциальной форме:
Q0 k 1
dx
dp
.
 kp  V
dV
dV
(2)
Здесь p – давление, k – отношение истинных теплоёмкостей газа
при постоянных давлении и температуре газа (коэффициент адиабаты).
Начнём анализ путей решения (2) с уравнений политропы. Приведём зависимость текущего количества теплоты, сообщаемой рабочему
телу в ходе политропного процесса Qпол , к виду
Qпол
n 1
 V n1  V n1
p1V1 n  k   V1 
   1 n1 1n1 .
 Q0 пол х 
k  1n  1  V2 
 V1
 V2
(3)
Здесь индексы 1 и 2 относятся к началу и концу процесса, n - показатель политропы.
Правая часть (3) состоит из трёх сомножителей. Произведение
первых двух сомножителей является постоянной для данного процесса
величиной с размерностью теплоты. Последняя дробь - безразмерная
функция от текущего объёма. Следовательно, можно допустить, что
произведение первых двух сомножителей из (3) равно Q0 , а последняя
дробь – представляет собой характеристику х политропного процесса.
Проверка Q0 политропного процесса на соответствие условиям,
приведенным выше, показала, что её величина однозначно определяется
начальными условиями и показателями n и k, следовательно, не удовлетворяет третьему условию. Вместе с тем, величины х и dx dV политропного процесса полностью удовлетворяют первому и второму условиям.
На графиках рис 1 представлена зависимость х из (3) при разных
значениях показателя степени m (обозначение m введено с целью отличия обозначений искомого процесса от политропного):
x
v1 m  v11 m
v12 m  v11 m
.
(4)
Здесь обозначено: v  V Vхар – текущий относительный объём, Vхар характерный для данного процесса объём.
Формы кривых на рис. 1 определяются величиной и знаком показателя m, а также направленностью процесса – сжатием или расширением. В обоих случаях при m = 0 значение х линейно зависит от объёма.
Подвод теплоты осуществляется мгновенно при объёме V1 для m = + 
при расширении и для m   при сжатии. В случае противоположных
знаков показателя m мгновенный подвод теплоты осуществляется при
объёме V2. Углы наклона касательных к кривым, характеризующие интенсивность теплообмена с внешним источником, во всех случаях, кроме
m = 0, являются
функцией
текущего
объёма.
Зависимость (3) справедлива
для
однона-
правленных процессов,
Рис.1. Характеристики теплообмена в зависимости от изменения объёма при разных значениях m
для процессов расширения (а) и сжатия (б)
представляющих собой
только
только
сжатие
или
расширение.
Между тем в двигателях
существуют процессы, для которых период теплообмена начина-
ется при сжатии, а заканчивается при расширении. Характеристика
теплообмена для этого случая рассмотрена в [3]. При этом было
принято, что величина показателя m постоянна для всего процесса
и Vхар = Vmin. В результате получено:
xI,II  
v  m1  v1m 1
v12 m  v1m 1
.
(5)
Здесь индекс I при х и знак (+) в показателе степени объёма v относятся к участку сжатия совмещённого процесса, индекс II и знак (-) - к
участку расширения.
Параметры термотропного процесса. Подстановка (4) в (2) и
последующее интегрирование позволяет получить при постоянном k зависимость текущего давления в однонаправленном процессе
k
m

v
v 
p  p1 1  AT    AT    ,

 v1 
 v1  
(6)
где безразмерный параметр
AT 
q0 k  11  m 

RT1 k  m  v11v2

1 m
,
1
(7)
q0 = Q0 / М - удельная теплота процесса.
Относительные объёмы, при которых наступают максимальные
значения давления и температуры процесса соответственно равны
1
 mk
 mAT
vPmax  v1 

 k  AT  1
1
m
 k
 m  1 AT
, vTmax  v1 

 k  1 AT  1
.
(8), (9)
Текущая удельная работа процесса равна

1  AT
l  RT1 
1 k


1m
 v 1k 

AT  v 

   1 
   1  .
 v1 
 1 - m  v1 
 

(10)
Сопоставим термотропный и политропный процессы.
Частным
случаем (6) является АТ = 1. Подставив это значение в (7), получим при m
= n выражение q0 для политропного процесса. Из этого следует, что по-
литропный процесс является частным случаем термотропного при условии АТ = 1 и m = n. По физическому смыслу безразмерный параметр АТ
равен отношению количеств теплоты q0 в термотропном и политропном
процессах.
Сравним теплоёмкости процессов. Интегрируя dQ  c  dT , где с теплоёмкость процесса, Т = f(v) –функция температуры от объёма в термотропном процессе, получим следующее выражение для текущей теплоёмкости термотропы:
c  cv
m-k
 1
 v 
m - 1  k - 1
 1 
 AT
 v1 
m- k
.
(11)
Текущая теплоёмкость термотропного процесса согласно (11) зависит от трёх постоянных для данного процесса параметров (m, k и АТ), и
от текущего объёма v. Из последнего следует, что термотропный процесс, в отличие от политропного, является процессом с переменной
теплоёмкостью. При AT  1 теплоёмкость с становится постоянной величиной, равной теплоёмкости политропного процесса.
На рис. 2 приведена зависимость
относительной
теплоёмкости газа c1 / cv в
начальной точке 1 процесса
от показателя m. Из рисунка видно: - выделенные лиРис. 2. Зависимость теплоёмкости в
начальной точке термотропного процесса
от показателя m при разных значениях
параметра АТ
нии при АТ = 1 общеизвестны из курсов термодинамики и относятся к политроп-
ному процессу; - при m = k на оси абсцисс линии для любых значений АТ
пересекаются в точке с ординатой c1/ cv = 0, означающей, что все процессы в этой точке являются адиабатными.
Анализ уравнений термотропы показал: - точка пересечения линии
относительной теплоёмкости и горизонтальной линии с ординатой c1 / cv
= k на рис. 1, которая в политропном процессе соответствует изобаре, в
термотропном процессе соответствует объёму максимального давления
(8); разрыв функции (11), соответствующий в политропном процессе
изотермному процессу, наступает в термотропном процессе при объёме
(9) и определяет максимум температуры.
Таким образом, сходство термотропного и политропного процессов заключается в использовании одной и той же зависимости характеристики х, а отличие – в том, что теплота процесса Q0 входит в уравнения термотроп в качестве независимой переменной (т.е. в отсутствии
условия АТ =1).
Рассмотрим параметры совмещённого (комбинированного) процесса. На основании (5) получим текущие давления, соответственно, на
участке сжатия ( v1  v  1)
k
m- 2

v
v 
p  p1 1  AT1    AT1   

 v1 
 v1  
(12)
и на участке расширения (1  v  v 2 )


p  p хар 1  АTII v -k  ATII v -m ,
СT
где AТ1 
,
mk 2
ATII
CT р1v12-m

,
р хар m - k 
CT 
(13)
q0 m  1k - 1

RT1 v1v2 
1- m
.
1
Здесь индексы I и II при АТ соответствуют порядковому номеру участка
совмещённого процесса. Давление р хар определяется по (12) для v = 1.
На графике рис. 3
приведено
протекание
температурных кривых в
зависимости
от
объёма
для разных значений m. Из
рисунка видно, что изменение температур подобно
Рис. 3. Зависимость температуры газа от объёма в совмещённом процессе «сжатие – расширение» при разных значениях показателя m
( q 0  3.7  10 7 Дж/м 3 ).
их изменению в двигателе.
Относительные объёмы, при которых насту-
пают максимальные значения давления и температуры процесса, определяются по (8) и (9) при АТ = АТII .
Текущая удельная работа на участке сжатия совмещённого процесса равна
1 - A  v 1-k    v  m-1  
T1
   1  TI    1  ,
lTI  RT1 
 m - 1  v1 
 
 1 - k  v1 
(14)
Текущая удельная работа на участке расширения совмещённого
процесса lTII находится по (10) при v1 = 1 и AT = ATII . Полная работа совмещённого процесса равна сумме полных работ на участках сжатия и
расширения.
Заключение. Преимущества предложенной модели термотропного процесса по сравнению с политропным очевидны: модель обеспечивает существенно лучшее приближение к реальным процессам в двигателе и выражена элементарными функциями, что позволяет учащемуся с
помощью средств математического анализа оценивать влияние отдельных факторов на параметры и показатели процесса.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Теплотехника: Учеб. для вузов / В.Н.Луканин, М.Г.Шатров,
Г.М. Камфер и др. –М.: Высш. шк., 2000. –671с.
2. Колчин А.И., Демидов В.П. Расчёт автомобильных и тракторных двигателей: Учеб. пособие для вузов. -М.: Высш. шк., 2002. –496с.
3. Столбов М.С. Теплоотдача от газов в стенки цилиндра тракторного дизеля с воздушным охлаждением. // Тр. НАТИ №198. – М.: ОНТИ
НАТИ, 1968. - С. 39 – 79.