Опубликован: Фундаментальные и прикладные проблемы

Опубликован: Фундаментальные и прикладные проблемы
совершенствования поршневых двигателей: Материалы XI
Международной научно – практ. конф. ВлГУ – Владимир. –
2008. С. 292 – 300. ISBN 978 – 5 – 89368 – 809 – 2.
М.С. Столбов, В.В. Эфрос (Россия, Владимир, ВлГУ)
ТЕРМОТРОПНЫЙ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
Основой термотропной модели термодинамического процесса
служит математическая модель характеристики теплообмена между
внешним источником и рабочим телом, определяющая направление
и интенсивность потока теплоты при осуществлении процесса [1].
Учитывая это, полученный процесс назван термотропным (от греч.
therme – тепло, tropos – поворот, направление).
Характеристика теплообмена. Выразим характеристику
теплообмена в виде отношения текущего количества теплоты Q,
которой обмениваются внешний источник и рабочее тело, к общему
количеству теплоты Q0, участвующей в процессе,
x  Q / Q0 .
(1)
Параметры рабочего тела определяются путём решения
дифференциального уравнения первого закона термодинамики
dx
dp
(2)
q0 k 1  kp  v ,
dv
dv
где q0 = Q0/Vхар – удельная теплота процесса, отнесённая к
характерному для данного процесса объёму Vхар, - p – давление, v =
V/Vхар – относительный объём, k – отношение истинных
теплоёмкостей идеального газа при постоянных давлении и
температуре газа.
Достаточным условием для решения (2) в элементарных
функциях является выражение относительной интенсивности
теплообмена в виде
dx dv  Av  m .
(3)
Интегрируя (3) с учетом граничных условий при х = 0 v = v1, а
при х = 1 v = v2, определив постоянные A и C, получим
характеристику теплoобмена в виде

x  v1 m  v11 m
 v12m  v11m .
(4)
Тогда относительная интенсивность теплообмена с учетом
граничных условий примет вид
dx
1 m
 1 m 1 m v  m .
dv v2  v1
(5)
На графиках рис. 1 представлена зависимость х от
относительного объёма V/V1 для процессов сжатия и расширения
при разных значениях показателя степени m. Формы кривых на рис.
1 определяются величиной и знаком показателя m, а также
направленностью процесса – сжатием или расширением. В обоих
случаях при m = 0 значение х
линейно зависит от объёма. Подвод
теплоты осуществляется мгновенно
при объёме v1 для m = +∞ при
расширении и для m = -∞ при
сжатии. В случае противоположных
Рис.1. Характеристики
знаков m мгновенный подвод
теплообмена в зависимости от
теплоты осуществляется при объёме
изменения объёма при разных
значениях m для процессов
v2.
расширения (а) и сжатия (б)
Параметры рабочего тела.
Подстановка (5) в (2) и интегрирование позволяет получить
зависимость текущего давления в однонаправленном (т.е. только
при сжатии или только при расширении) процессе при постоянном
k:


p  p1 1  AT v v1  k  Α v v1  m ,
(6)
q0 k  11  m 
.
(7)
 m 1


p1v1k  m  v11v2
 1


Относительные
объёмы,
при
которых
наступают
максимальные значения давления и температуры процесса
соответственно равны
где безразмерный параметр AT 
1
 m k
 mAT
vPmax  

 k  AT  1 
,


1
m
 k
 m  1 AT
vTmax  

 k  1 AT  1
. (8) (9)
Текущая удельная работа процесса, отнесённая к характерному
объёму, равна
1 k
1 m




AT  v 
1  AT  v 







l  p1v1 
1 
 1  . (10)




1  k  v1 
 1 - m  v1 







Характеристики теплообмена. Текущее количество теплоты,
подведённое к рабочему телу в политропном процессе [2], равно
1 n


p1V1n  k   V 


Qпол 
 1 ,
k  1n  1  V1 



где n – показатель политропы.
Определим зависимость х для политропного процесса
xпол 
Qпол V 1 n  V11 n

.
Q0пол V21 n  V11 n
(11)
(12)
Полученное выражение представляет собой характеристику
термотропного процесса при подстановке в (4) Vхар и n = m. Таким
образом, характеристики термотропного и политропного процессов
одинаковы.
Tеплота Q0 . Выразим из (7) количество теплоты термотропного
процесса
1m

p1V1 m  k   V2 



(13)
Q0терм  AT
 1
k  1m  1  V1 



Сравнив это значение с (11) при V = V2, получим, что они
совпадают при условии АТ = 1 , m = n.
Отсюда следует:
- политропный процесс является частным случаем
термотропного при условии АТ = 1;
- безразмерный параметр АТ по физическому смыслу равен
отношению количества теплоты, участвующей в термотропном
процессе, к количеству теплоты в политропном процессе;
- в (13) величина Q0терм является независимой; в (11) величина
Q0пол однозначно определяется постоянными для данного процесса
параметрами – величинами начального давления, коэффициента k,
начального и конечного объёмов, показателя n.
Теплоёмкости. Интегрируя dQ  c  dT , где с - теплоёмкость
процесса, Т – функция температуры от объёма в термотропном
процессе, полученная при подстановке в (6) Т из уравнения
состояния, найдём следующее выражение для текущей
теплоёмкости термотропы:
m-k
c  cv
(14)
m-k
 1
 v 
m-1  k-1
 1 
 AT
 v1 
где cv - теплоёмкость рабочего тела при постоянном объёме.
Текущая теплоёмкость термотропного процесса зависит от трёх
постоянных для данного процесса параметров (m, k и АТ) и от
текущего объёма v. Последнее свидетельствует, что термотропный
процесс, в отличие от политропного, является процессом с
переменной теплоёмкостью. При AT  1 теплоёмкость с становится
постоянной
процесса.
величиной,
равной
теплоёмкости
политропного
На
рис.
2
приведена
зависимость
относительной
теплоёмкости газа c1/cv в начальной
точке 1 процесса от показателя m. Из
рассмотрения рисунка следует:
- выделенные линии при АТ = 1
относятся к политропному процессу и
Рис. 2. Зависимость
общеизвестны
из
курсов
теплоёмкости в начальной
термодинамики;
точке термотропного процесса
- линии теплоёмкости при других
от показателя m при разных
значениях АТ протекают подобно
значениях параметра АТ
линиям политропного процесса;
- при увеличении абсолютных значений показателя m и
параметра АТ все кривые теплоёмкости асимптотически
приближаются к горизонтальной линии c1/cv = 1; в этом случае все
процессы в пределе стремятся к изохорным;
- при m = k линии для любых значений АТ пересекаются в точке
с ординатой c1/cv = 0, означающей, что все процессы в этой точке
являются адиабатными;
- точки пересечения линий относительной теплоёмкости и
горизонтальной линии с ординатой c1 / cv = k, которая в
политропном процессе соответствует изобаре, в термотропном
процессе соответствует точке максимального давления при объёме
(8);
- разрыв функции (14), соответствующий в политропном
процессе изотермному процессу, в термотропном процессе
определяет максимум температуры при объёме (9).
Анализ уравнений термотропы показал также, что точки
максимумов давлений и температур имеют место и при
промежуточных состояниях процесса, причём увеличение
абсолютных значений АТ смещает максимумы в сторону больших
степеней расширения.
Результаты проведенного сопоставления свидетельствуют, что
сходство термотропного и политропного процессов заключается в
использовании одной и той же зависимости характеристики х.
Принципиальным отличием термотропного процесса является
переменность теплоёмкости процесса и то, что теплота процесса
Q0терм в уравнениях параметров газа является независимой
величиной.
Однозначная связь величины Q0пол с параметрами процесса
является следствием постоянства теплоёмкости процесса. В этом
заключается основная причина существенных отклонений при
расчётах термодинамических процессов в ДВС по уравнениям
политропы.
Термотропный процесс при переменном отношении
теплоёмкостей.
Рассмотрим термотропный процесс при переменном отношении
теплоёмкостей k в зависимости от температуры. Для решения
дифференциального уравнения (2) в элементарных функциях
используем ряд общепринятых аппроксимационных зависимостей.
1. Известно, что зависимость величины k от температуры газа
приближённо выражается зависимостями двух видов:
линейной [2]
(15)
k 1  a  bT ,
k 1  a  b T .
и нелинейной [3]
(16)
Теплоёмкость газа при постоянном объёме cv аппроксимируется
линейной функцией [2]
cv  ac  bcT .
(17)
Здесь эмпирические коэффициенты а , а, аc, b , b и bc являются
функциями состава газа.
Погрешности аппроксимирующих зависимостей в диапазонах
температур, характерных для ДВС, не превышают 1% от табличного
значения k [3].
2. Подставив (15) в левую часть уравнения (2), а (16) – в правую
часть, получим дифференциальное уравнение в виде

q0 a  bT
b
dp

.
 dx
 1  a   p  v
dv
T
dv
(18)


3. Вследствие малости коэффициента b температуру Т в левой
части (18) приравняем к температуре для постоянного k.
4. Проинтегрировав (18) с учётом граничных условий и
определив уравнения текущих параметров газа и работы, введём в
полученные зависимости ряд упрощений, справедливых для
процессов, при которых степени сжатия или расширения
укладываются в пределы, характерные для ДВС. При этом
отклонения результатов от исходных зависимостей в зоне
максимальных давлений и температур составляют не более 3%.
Текущее значение давления равно

p  p1 1  A  B v v1  a 1  Av v1  m  B v v1 1

(19)

C k0  1  
bT1 


b
Здесь A  C  D 
,
B
1 
 ,
1

m
k

2
m

1
аT1

0




a  a
a
q0 1  m 
, D
, k0  1 
,
C
2
a  m 1
 1 1 m 

p1v1  v1 v2


 1

Т1– температура газа в начале процесса.
На рис. 3 показан характер протекания температурных кривых
продуктов сгорания дизельного топлива в зависимости от степени
расширения при постоянном и переменном отношении
теплоёмкостей k.
Относительный объём максимального значения давления
v p max находится из неявного уравнения
a  11  A  B  
1
v apmax
mv1m
vm
p max
 B  0,
(20)
а относительный объём максимального значения температуры vT max
- из уравнения
1
 1  m  A  m a 1
.(21)
vTmaх  v1 

 a 1  A  B 
Текущая удельная
работа
процесса, отнесённая к характерному
объёму, равна


Рис.
3.
Зависимость
температуры
продуктов
сгорания дизельного топлива
от степени расширения при
постоянном и переменном
отношениях теплоёмкостей k
(кривые:1 – k =1,34; 2 - k =
1,31; 3 - k = 1,29; 4 - k = var, q0
= 37 МДж/м3)
a
1 m




 
 1  A  B  v   1  A  v 
 

1

a
 v1 
 1  m  v1 
 



 
l  p1v1 


v
 B ln  



 v1 
(22)
Изменение удельной внутренней энергии в процессе,
отнесённой к характерному объёму, можно найти отдельно для
зависимостей (23) и (24). Обе зависимости удельной внутренней
энергии равноценны и имеют вид
p v  a  bT2 
,
u   1 1 ln 
bT1  a  bT1 
(23)
 b  aT2  
pv 
  .
u  21 1  aT2  T1   b ln 
a T1 
 b  aT1  
(24)
Применительно к ДВС (23) предпочтительнее при сжатии, а
(24) – при сгорании, что связано с более высокой точностью
аппроксимации k функциями (15) и (16) в условиях температур,
соответствующих этим периодам.
Изменение энтропии определяется с помощью (17) и равно
T 
v 
(28)
s  ac ln  2   bc T2  T1   R ln  2 
 T1 
 v1 
где Rμ – универсальная газовая постоянная.
Параметры процесса для постоянного k получаются при
a  a  k  1, ac  R / k  1 , b  b  bc  0 .
Библиографический список
1. Столбов М.С. Теплоотдача от газов в стенки цилиндра
тракторного дизеля с воздушным охлаждением. // Тр. НАТИ №198.
– М.: ОНТИ НАТИ, 1968. - С. 39 – 79.
2. Техническая термодинамика. Под ред. В.И.Крутова. - М.:
Высшая школа, 1971. – 472 с.
3. Вибе И.И. Новое о рабочем цикле двигателей. – М. – С.:
МАШГИЗ, 1962. –271 с.