1 Опубликован: Изв. ТулГУ. Сер. «Автомоб. Тран спорт». Вып.9, 2005 (Изд.-во ТулГУ, Тула, 2006) – С. 201 – 208. - ISBN 5 – 7679 – 0807 – 9. УДК 621.436.6/8 М.С. Столбов, В.В. Эфрос (Россия, Владимир, ВлГУ) ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ЦИКЛ ДВИГАТЕЛЯ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ В настоящее время изучение расчётного цикла двигателя проводится на основе математической модели Гриневецкого-Мазинга. Положительные особенности этой модели, обеспечившие её долголетие, общеизвестны, известны также и её недостатки. Применяемые в профессиональной практике усложнённые модели [1], особенно так называемые «тяжёлые», обладают с точки зрения учебных целей одним недостатком – они не описываются элементарными функциями. Поэтому они недостаточно наглядны и ограничивают возможности учащегося применить для анализа цикла полученные им ранее знания по математическому анализу. В предлагаемой работе изложены результаты создания математической модели теоретического цикла ДВС. Политропные процессы в ней заменены термодинамическими процессами с переменной теплоёмкостью. Основой таких процессов служит характеристика теплообмена между внешним источником и рабочим телом, определяющая направление и интенсивность теплового потока. Основываясь на указанных свойствах характеристики, авторы назвали полученный процесс термотропным. Модель цикла математически достаточно проста и обеспечивает существенно лучшее по сравнению со смешанным циклом приближение к реальному циклу. 2 Учитывая актуальность вопроса для совершенствования учебного процесса, авторы считают полезным обмен мнениями специалистов о целесообразности внедрения предлагаемой модели в учебный процесс и заранее благодарны за отзывы. Характеристика теплообмена Выразим текущее количество теплоты, которой обмениваются внешний источник и рабочее тело, в виде Q Q0 x , (1) где Q0 - общее количество теплоты, участвующей в процессе, х – характеристика теплообмена. Рассмотрим задачу определения х в общем виде. Параметры газа находятся путём решения уравнения первого закона термодинамики, выраженного в дифференциальной форме: dQ Мс v dT pdV . (2) Здесь: dQ, dV и dT – дифференциалы, соответственно, теплоты, объёма и температуры газа, М – количество молей газа, с v – истинная мольная теплоёмкость, p – давление. Введём понятие относительного объёма v и удельной теплоты процесса q 0 , полученных путём отнесения абсолютных объёма V и теплоты Q0 к какому-либо базовому объёму Vбаз . За базовый может быть принят любой объём, например, начальный, конечный или промежуточный, являющийся характерным для данного процесса. Достаточным условием для решения (2) в элементарных функциях является выражение относительной интенсивности теплообмена w = dx/dv s в виде функционального ряда w Ai v mi . Интегрируя выражение w при 1 3 s = 1, получим v m 1 v1 m 1 x . v 2 m 1 v1 m 1 (3) Индексы 1 и 2 соответствуют относительным объёмам в начале и конце процесса, отсутствие индекса - текущему объёму. Тогда w m 1 v 2m1 v1m1 v m . (4) Зависимость протекания характеристик х от относительного объёма для разных значений показателя характеристики m приведена на рис. 1. Рис.1 Характеристики теплообмена в зависимости от изменения объёма при разных значениях m для расширения (а) и сжатия Зависимости (3) и (4) справедливы для (б). однонаправленных процессов, представляющих собой только сжатие или только расширение. Между тем у двигателей, как правило, период видимого сгорания начинается до в.м.т и заканчивается при расширении. В этом случае удобнее вести расчёт для одного совмещённого (комбинированного) термодинамического процесса, состоящего из двух участков – сжатия и расширения и определяемого одним значением параметра m. Задача решается преобразованием (3), где в качестве базового объёма принимается минимальный объём в 4 конце первой части процесса и начале второй. Значения характеристики для участков сжатия и расширения, соответственно, равны: v m 1 v1m 1 x , m 1 m 1 v2 v1 (5) v m 1 v1m 1 x . v 2 m 1 v1m 1 (6) Интенсивности теплопотока w для участков соответственно равны: w w m 1 v 2m1 v1m1 m 1 v 2m1 v1m1 v m2 , (7) v m . (8) Выражения (3 - 4) и (6 - 9) не являются новыми. К первым может быть приведена характеристика, предложенная в 1967 году Б.М. Гончаром [2], ко вторым - опубликованная в 1968 году характеристика процесса сгорания одним из авторов настоящей статьи [3]. Термотропный процесс при постоянном отношении теплоёмкостей k Однонаправленный процесс Подстановка (4) в (2) и интегрирование позволяет получить для случая постоянного отношения теплоёмкостей (коэффициента адиабаты) k выражения текущих давления и температуры однонаправленного процесса k m v v p p1 1 AT , v1 v1 где безразмерный параметр AT q 0 k 11 m m1 p1v1 k m v11v 2 1 (9) . (10) 5 Относительные объёмы, при которых наступают максимальные значения давления и температуры процесса равны: 1 mk mAT v Pmax k AT 1 , (11) 1 mk 1 m AT vTmax k 1 AT 1 . (12) Текущая удельная работа процесса, отнесённая к базовому объёму, находится по уравнению: 1 A T l p1v1 1 k v 1k A v 1m 1 T 1 . v1 1 - m v1 (13) Сопоставление термотропного и политропного процессов Частным случаем является АТ = 1. Подставив это значение в (10) при m = n, получим q0, равное количеству теплоты, участвующей в политропном процессе [5]. Из этого следует, что политропный процесс является частным случаем термотропного при условии АТ = 1 и m = n. По физическому смыслу безразмерный параметр АТ равен отношению количеств теплоты q0 в термотропном и политропном процессах. Сравним теплоёмкости процессов. Известно, что политропный процесс является процессом с постоянной теплоёмкостью рабочего тела. Интегрирование dQ c dT с учётом зависимости Т для термотропного процесса позволяет получить следующую зависимость для текущей теплоёмкости термотропного процесса: c cv m-k 1 v m - 1 k - 1 1 AT v1 m- k . (14) Из полученной зависимости видно, что текущая теплоёмкость газа в термотропном процессе зависит от параметра АТ и текущего объёма. 6 Последнее свидетельствует о том, что термотропный процесс является процессом с переменной теплоёмкостью. На рис. 2 приведена зависимость относительной теплоёмкости газа c1 / cv в начальной точке процесса от показателя m. Жирными линиями на графике обозначено протекание теплоёмкости при АТ = 1, что соответствует политропному процессу. Рисунки с этими линиями общеизвестны из курсов термодинамики. k -10 -8 -6 -4 -2 0 k 2 4 6 8 10 m Рис 2. Зависимость теплоёмкости в начальной точке термотропного процесса от показателя m при разных значениях параметра АТ. Из рис.2 также видно: - линии теплоёмкости при значениях АТ ≠ 1 протекают подобно линиям политропного процесса; - при увеличении абсолютных значений показателя m и параметра АТ все кривые теплоёмкости приближаются к горизонтальной линии с ординатой c1 / cv = 1 и вертикальной, проходящей через точку разрыва (14); - при m = k линии теплоёмкостей для любых значений АТ пересекаются в точке с ординатой c1 / cv = 0, т.е. все процессы в этой точке являются адиабатными. 7 Сопоставление процессов, кроме того, выявило: - точка пересечения (рис 2) линии теплоёмкости и горизонтальной линии с ординатой c1 / cv = k, которая в политропном процессе соответствует изобаре, в термотропном процессе соответствует максимуму давления в начальной точке процесса; - точка разрыва (14) при АТ =1 соответствует изотермному процессу; при термотропном в этой точке наступает максимум температуры. Точки максимумов давлений и температур при осуществлении термотропного процесса имеют место также и при промежуточных состояниях процесса. Совмещённый (комбинированный) процесс На основании (7) и (8) получим для совмещённого процесса текущие давления, соответственно, на участке сжатия ( v1 v 1 ) k m- 2 v v p p1 1 AT1 AT1 v1 v1 и на участке расширения (1 v v 2 ) p p баз 1 АТ2 v -k AT2 v -m , (15) (16) CT р1v1-m2 СT q0 m 1k - 1 где AТ1 , AT 2 , CT . 1-m mk 2 рбаз m - k p1v1 v1v 2 1 Здесь индексы величин АТ дополнены обозначениями 1 и 2, означающими порядковый номер участка совмещённого процесса. Давление р баз определяется по (15) для точки минимального объёма v баз = 1. На графике рис. 3 приведено протекание температурных кривых в совмещённом процессе для разных значений m. Значения относительных объёмов, соответствующих максимальным температурам и давлениям на участке расширения, приведены в таблице 1. Tаблица 1. 8 m vP max 0.5 1.5 Располагется Располагается на при v > v2 участке 2.5 3,5 1,075 1,092 2,38 1,82 расширения vT max Располагается 5,66 при v > v2 Рис. 3. Зависимость температуры газа от объёма при разных значениях показателя m ( q 0 3.7 10 7 Дж/м 3 ). В ДВС максимальные температуры и давления при сгорании, как правило, располагаются на линии расширения, следовательно, для реальных процессов m > 1,5. Относительные объёмы на участке расширения, при которых наступают максимальные значения давления и температуры процесса, определяются по (11) и (12) при АТ = АТ2 . Текущая удельная работы совмещённого процесса на участке сжатия, равна Текущая удельная работа на участке сжатия совмещённого процесса ( v1 v 1), равна 1 - A T1 l 1 p1v1 1 - k v 1-k v m-1 1 1 1 , v1 m - 1 v1 (17) 9 Текущая удельная работы совмещённого процесса на участке расширения lT2 находится по (13) при v1 = vбаз = 1. Полная работа совмещённого процесса равна сумме полных работ на участках сжатия и расширения. Теоретический цикл Цикл отличается от традиционного цикла смешанного типа применением совмещённого термотропного процесса подвода теплоты между точками d - с – f. Рис. 4. Схема индикаторной диаграммы термодинамического цикла. Процессы a – d и f – b – являются адиабатными (рис.4). Термический к.п.д. цикла равен v k m 1 v m k 2 1 f t 1 d . k -1 1 m m 1 m k m k 2 v f vd m 1 (17) Максимальное значение термического к.п.д. при объёме v d v d определяется решением неявного уравнения v dk1 v1fm v dm1 v dm k 2 1 v kf m 1 0. m 1 mk 2 mk (18) 10 На графике рис. 5 представлены кривые давлений и температур реального (жирные линии) и теоретического циклов тракторного дизеля Д – 120Т с наддувом. Исходные данные для расчёта приняты по результатам исследований реального двигателя. Среднее давление цикла при показателе m = 5 составило 1,56 МПа, термический КПД – 0,647. Влияние угла опережения начала подвода теплоты d на термический к.п.д. при постоянстве значений остальных параметров показано в таблице 2. Рис.5. Индикаторные диаграммы реального цикла (жирные линии) и теоретического цикла тракторного дизеля Д – 120Т с наддувом. Таблица 2. d , град. п.к.в. ηt 0 -7 -11 -16 0,636 0,647 0,650 0.643 Преимущества предложенной модели теоретического цикла по сравнению с традиционными очевидны: - протекание кривых на теоретической индикаторной диаграмме подобно их протеканию на реальной диаграмме; 11 - начало и окончание подвода теплоты практически соответствуют действительным точкам, кинетика подвода определяется одним параметром m, а не двумя - и ; - расчетные углы п.к.в., соответствующие pmax и Tmax, практически равны реальным; - модель позволяет провести анализ влияния параметров d и m на протекание параметров газа и показатели цикла. Для дальнейшего приближения расчётных параметров к реальным на кафедре ДВС ВлГУ разработана математическая модель расчётного цикла, учитывающая зависимость коэффициента адибаты k от температуры, а также влияние тепловых потерь и изменения состава рабочего тела. Библиографический список 1. Вибе И.И. Новое о рабочем цикле двигателей. – М. – С.: МАШГИЗ, 1962. –271 с. 2. Гончар Б.М. Теоретический цикл дизеля.зля.//Энергомашиностроение. – 1967. -№11. –С 35 – 38. 3. Столбов М.С.Теплоотдача от газов в стенки цилиндра тракторного дизеля с воздушным охлаждением. // Тр. НАТИ №198. – М.: ОНТИ НАТИ, 1968. - С39 – 79. 4. Техническая термодинамика. Под ред. В.И.Крутова. - М.: «Высшая школа», 1971. – 472 с.