Взаимосвязь между потенциалом и напряженностью электрического поля

1
Взаимосвязь между потенциалом и
напряженностью электрического поля
Некрасов Александр Григорьевич, учитель физики
Статья относится к разделу : преподавание физики
Цели:
1. Образовательная. Показать учащимся взаимосвязь между напряженностью и
потенциалом электрического поля. Показать ее применение для решения задач на
нахождение потенциала или напряженности поля.
2. Развивающая. Совершенствовать умения, активизировать познавательную
деятельность учащихся через решение задач на расчет сложных электрических
цепей.
3. Воспитательная. Прививать культуру умственного труда, аккуратность, умение
анализировать, видеть практическую ценность получаемых знаний, продолжить
формирование коммуникативных умений.
Вид урока: Практикум по решению задач.
При решении задач на расчет электрического поля, т.е. на нахождения либо
потенциала, либо напряженности, можно столкнуться с тем обстоятельством, в одной
задаче проще найти напряженность, но сложнее рассчитать потенциал и наоборот.
Поэтому, определившись, какую величину проще найти, другую величину можно найти,
пользуясь хорошо известными выражениями:
- пусть мы нашли потенциал в данной точке 𝜑 = 𝜑(𝑥), то напряженность определится по
𝜕𝜑
формуле 𝐸𝑥 = − 𝜕𝑥 . Составляющая вектора напряженности электрического поля в данной
точке по любому направлению равна производной от потенциала по этому направлению в
той же точке, взятой с отрицательным знаком.
- разность потенциалов можно найти, используя найденное значение напряженности поля
2
2
как функции координат 𝜑1 − 𝜑2 = ∫ 𝐸⃗ 𝑑𝑙 =∫ 𝐸𝑥 𝑑𝑥.
1
1
Как взять производную или интеграл, ученик старшей школы уже знаком. А такой подход
поможет решить сложные задачи. Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. По кольцу радиусом 𝑅 равномерно распределен заряд 𝑄. Определить
напряженность и потенциал в центре кольца, а также в точке, отстоящей на
расстоянии ℎ от центра кольца по перпендикуляру к его плоскости.
В этой задаче проще найти потенциал. Воспользуемся принципом суперпозиции для
потенциала. Разобьем кольцо на элементы 𝑑𝑙 ≪ 𝑅, то есть на точечные заряды 𝑑𝑞. Тогда
потенциал этого точечного заряда равен
𝑑𝜑 = 𝑘
𝑑𝑞
𝑟
,
(1)
2
где 𝑟 − расстояние от элемента 𝑑𝑙 (𝑑𝑞) до точки наблюдения 𝐴. Искомый потенциал в
точке А, удаленной на расстояние ℎ, найдем интегрированием выражения (1):
𝜑 = ∫𝑘
𝑑𝑞
𝑟
.
(2)
Расстояние от элементарного заряда до точки 𝐴 равно 𝑟 = √𝑅 2 + ℎ2 , расстояние при
переходе от одного элемента к другому не
изменяется. Тогда (2) примет вид
1
𝜑𝐴 = 𝑘 √𝑅2
+ℎ2
∮ 𝑑𝑞.
Очевидно, что ∮ 𝑑𝑞 = 𝑞 независимо от
распределения заряда. Потенциал равен
𝑞
𝜑𝐴 = 𝑘 √𝑅2 2.
+ℎ
Проекция вектора напряженности на ось 0𝑥
𝜕𝜑
𝑞ℎ
𝐸𝑥 = − 𝜕ℎ = 𝑘 (𝑅2 +ℎ2 )3⁄2 .
При условии равномерного распределения заряда, исходя из симметрии, следует, что
вектор 𝐸⃗ направлен вдоль оси 0𝑥.
В центре кольца потенциал и напряженность можно найти, приняв ℎ = 0.
Пример 2. Система состоит из двух концентрических проводящих сфер – внутренней
радиуса 𝑅1 и внешней радиуса 𝑅2 . Внутренняя имеет заряд 𝑞, внешняя заземлена.
Найдите напряженность и потенциал электрического поля в зависимости от
расстояния до центра сфер.
В этой задаче проще найти напряженность электрического поля с помощью теоремы
Гаусса. Для чего выберем вспомогательные сферические поверхности 𝑠1 , 𝑠2 и 𝑠3 . На
внешней сфере заряда нет, т.к. она заземлена. Заряд на
внутренней поверхности (если 𝑞 > 0) равен 𝑞 ′ = −𝑞. Так
как внутри малой сферы зарядов нет, то поток вектора
напряженности сквозь поверхность 𝑠1 равен нулю, а это
значит, что 𝐸 = 0 при 𝑟 < 𝑅1 . При 𝑅1 < 𝑟 < 𝑅2 поток
вектора напряженности сквозь поверхность 𝑠2 равен
𝑞
𝑞
𝐸4𝜋𝑟 2 = 𝜀 , откуда 𝐸 = 4𝜋𝜀 𝑟 2 . Поток сквозь вторую
0
0
(внешнюю) сферу равен нулю, т.к. 𝑞 + 𝑞 ′ = 0. Имеем 𝐸 = 0
при 𝑟 > 𝑅2 . Воспользуемся взаимосвязью между
𝑟
напряженностью и потенциалом 𝜑3 = ∫∞ 𝐸𝑑𝑟 = 0. На
участке от текущего расстояния 𝑟 до 𝑅2 𝜑2 − 𝜑3 =
𝑅
𝑅
𝑞
2
2
∫𝑟 𝐸𝑑𝑟 = ∫𝑟 4𝜋𝜀
0
𝑞
𝑟2
1
1
𝑑𝑟 = 4𝜋𝜀 (𝑟 − 𝑅 ) . Это для 𝑅1 < 𝑟 < 𝑅2 . При 0 < 𝑟 < 𝑅1 , взяв 𝑟 = 𝑅1 ,
0
2
получим
𝑞
1
1
𝜑1 = 4𝜋𝜀 (𝑅 − 𝑅 ).
0
1
2
Пример3. Равномерно заряженный шар радиуса 𝑅 имеет объемную плотность заряда 𝜌.
Найдите напряженность поля и потенциал шара в зависимости от расстояния до его
центра.
3
В этой задаче также более удобно найти напряженность (смещение) электрического поля,
а затем определить потенциал. Замкнутую поверхность выбираем в виде сферы, как
⃗ сквозь поверхность 𝑠1 равен сумме зарядов
показано на рис. Поток вектора смещения 𝐷
4
внутри этой поверхности, которая равна заряду в объеме сферы радиусом 𝑟: 𝑞 = 𝜌 3 𝜋𝑟 3 .
По теореме Гаусса при 0 < 𝑟 < 𝑅
4
𝐷 ∙ 4𝜋𝑟 2 = 𝜌 3 𝜋𝑟 3 или 𝐷 =
𝜌𝑟
3
. C учетом взаимосвязи между напряженностью и
смещением 𝐷 = 𝜀𝜀0 𝐸 для напряженности получим
𝜌𝑟
𝐸 = 3𝜀𝜀 .
0
𝜌𝑟
В частности, для 𝜀 = 1 𝐸 = 3𝜀 . Для второй сферы 𝐷 ∙
0
2
4𝜋𝑟 = 𝜌
4𝜋
3
3
𝑅 . Справа заряд всего шара. Тогда
𝜌𝑅 3
смещение электрического поля 𝐷 =
3𝑟 2
𝜌𝑅 3
Напряженность поля равна 𝐸 = 3𝜀
0𝑟
2
.
. Найдем
потенциал внутри заряженного шара и вне. Для чего
проинтегрируем напряженность как внутри шара, так
и вне шара.
𝜌𝑟 2
𝜌𝑟
𝜑 = − ∫ 𝐸1 𝑑𝑟 = − ∫ 3𝜀 𝑑𝑟 + 𝐶1 = − 6𝜀 + 𝐶1 , 𝐶1 − постоянная интегрирования. Вне шара
0
0
𝜌𝑅 3
𝜑 = − ∫ 𝐸2 𝑑𝑟 = − ∫ 3𝜀
0𝑟
2
𝜌𝑅 3
𝑑𝑟 = 3𝜀 𝑟 + 𝐶2 . Нормируя потенциал условием 𝜑(∞) = 0,
0
𝜌𝑟 2
получим, что 𝐶2 = 0. Чтобы 𝜑(𝑟) было непрерывно при 𝑟 = 𝑅, должно быть – 6𝜀 + 𝐶1 =
0
𝜌𝑅 3
𝜌𝑅 2
0
2𝜀0
= 3𝜀 𝑅. Откуда 𝐶1 =
𝜌
= 2𝜀 (𝑅 2 −
0
𝑟3
𝜌𝑟 2
𝜌𝑅 2
0
2𝜀0
. Тогда потенциал внутри шара равен 𝜑 = − 6𝜀 +
𝜌𝑅 3
) для 0 < 𝑟 < 𝑅 и 𝜑 = 3𝜀
3
0𝑟
=
при 𝑟 > 𝑅.
Литература
1. Физика: Учеб. Пособие для 10 кл. шк. И классов с углубл. Изуч. физики / Ю. И.
Дик, О. Ф. Кабардин, В. А. Орлов и др.; Под ред. А. А. Пинского. – М.:
Просвещение, 1993. – 416 с.
2. Зорин Н. И. ЕГЭ 2009. Физика. Решение задач частей В и С. –М.: Эксмо, 2009. –
288 с.
3. Задачи по физике: Учеб. Пособие / И. И. Воробьев, П. И. Зубков, Г. А. Кутузова и
др.; Под ред. О. Я. Савченко. Новосибирск: Новосибирский государственный
университет, 1999. – 370 с.
4. Москалев А. Н. Готовимся к единому государственному экзамену. Физика / А. Н.
Москалев, Г. А. Никулова, - М.: Дрофа, 2008. – 224 с.
5. Физика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы / Ю. И. Дик,
В. А. Ильин, Д. А. Исаев и др.- М.: Дрофа, 2008. – 735 с.
4