F2_

E
где
F
q0 ,
(2.1)
F - электростатическая сила, действующая на заряд q0; q0 - пробный
электрический заряд. Под пробным точечным зарядом понимают положительный заряд, величина которого настолько мала, что своим действием не
может заметно изменить исследуемое поле.
По направлению напряженность поля совпадает с направлением силы.
Таким образом напряженность является силовой характеристикой поля.
Определим напряженность электрического поля E, создаваемого изолированным точечным зарядом q в точке, отстоящей от заряда на расстоянии r.
Согласно закону Кулона, на пробный заряд q0, помещенный на расстоянии r от
заряда q, действует сила
F
qq
1
 20
4 0 r
.
(2.2)
Напряженность поля Е в точке, где находится заряд q0, мы получим, поделив силу F на q0.
E
F
q

q0 4 0 r 2
.
(2.3)
Это и есть величина напряженности электрического поля, создаваемого изолированным точечным зарядом q на расстоянии r.
Во многих физических задачах мы сталкиваемся с несколькими точечными зарядами или с непрерывным распределением зарядов. В этом случае
напряженность электрического поля Е в любой данной точке будет представлять собой геометрическую сумму напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Это положение носит название принципа суперпозиции (наложения) электрических полей:
-22-
k
E   Ei
i 1
.
(2.4)
Направление векторов напряженности электрического поля Е во всем
пространстве можно изобразить с помощью непрерывных линий, или линий
напряженности. Линией напряженности называется линия, проведенная в
электрическом поле так, что касательная в любой
ее точке совпадает по
направлению с вектором напряженности в этой точке. Силовые линии могут
служить мощным и вполне надежным орудием количественного математического анализа. Используя силовые линии, можно вывести и доказать ряд положений, которые иначе потребовали бы применения интегрального исчисления.
Силовые линии имеют начало на положительных зарядах (или в бесконечности) и оканчиваются на отрицательных зарядах (или в бесконечности). На
рис.2.1, 2.2 и 2.3 приведено графическое изображение полей, образованных
системой зарядов.
Рис.2.1
Рис.2.2
-23-
Рис.2.3
Так как напряженность поля является однозначной функцией для каждой
точки поля, то силовые линии поля не пересекаются. Через любую точку поля
может быть проведена только одна силовая линия. Перечислим ряд положений, которые можно доказать, воспользовавшись силовыми линиями.
1. Напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой вне ее
q
4   r 2
.
2. Напряженность электрического поля Е внутри равномерно заряженной
сферической или цилиндрической оболочки равна нулю.
3. Напряженность электрического поля Е внутри проводника повсюду
равна нулю.
4. Избыточные заряды могут располагаться только на внешней поверхности проводника.
5. Напряженность электрического поля, создаваемого цилиндрическим
или линейным распределением заряда с плотностью  (Кл/м),

2  r
,
где r - расстояние от оси.
6. Напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженной плоскостью с плотностью зарядов  (Кл/м2),
-24-

2  
.
7. Напряженность электрического поля между двумя пластинами конденсатора с одинаковой по абсолютному значению поверхностной плотностью
 зарядов



При использовании силовых линий для количественных вычислений
необходимо, чтобы число силовых линий, проходящих через квадратный метр,
численно равнялось напряженности электрического поля в данном месте. Тогда по густоте линий напряженности можно судить о величине напряженности
поля .
Определим работу. которая совершается силами поля неподвижного точечного заряда q при перемещении в этом поле пробного заряда q0 из точки 1
в точку 2 (рис.2.4). Выделим на траектории движения заряда q 0 бесконечно
малый отрезок этой траектории dl, при перемещении по которому величина
действующей силы F оставалась бы постоянной по величине и направлению
(F=q0 E ). При перемещении заряда q0 в поле на отрезке dl эта сила будет совершать элементарную работу
dA = F dl cos .
(2.5)
Подставив в выражение (2.5) значение силы (2.2) и учитывая, что dl cos
=dr (рис.2.4), получим
dA 
qq0
dr
2
4  r
.
(2.6)
-25-
Рис.2.4
Полная работа переноса заряда из точки 1 в точку 2
2
r2
1
r1
A1, 2   dA  
qq0
qq0  1 1 
dr

   .
4   r 2
4  0  r1 r2 
(2.7)
Сила является центральной. Центральное поле сил консервативно. Следовательно, работа, которая совершается силами поля над зарядом при перемещении его из одной точки в другую, не зависит от формы пути, а является
функцией начального r1 и конечного r2 расстояний между зарядами . Силовое
поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным полем.
Работа сил консервативного (потенциального) поля может быть представлена как убыль потенциальной энергии,
A1,2 = WП1 - WП2
(2.8)
.
Сопоставление формул (2.7) и (2.8) приводит к следующему выражению
для потенциальной энергии заряда q0 в поле заряда q:
qq0
WП 
 const
4 0 r

(2.9)
-26-
Значение константы в выражении потенциальной энергии обычно выбирается таким образом, чтобы при удалении заряда в бесконечность (r = ) потенциальная энергия обращалась в нуль. При этом условии получается, что
WП 
qq0
4 0 r
.
(2.10)
Разные пробные заряды будет обладать в одной и той же точке поля
различной потенциальной энергией. Однако отношение Wn /q0 будет для всех
зарядов одно и то же и, следовательно, может служить характеристикой поля.
Это отношение называется потенциалом электростатического поля в данной
точке:

WП
q

q0
4  0 r
.
(2.11)
Потенциал - величина скалярная и является энергетической характеристикой поля. Пользуясь понятием потенциала, работу сил электростатического поля при перемещении заряда из точки 1 и 2 можно выразить следующим
образом:
A1,2 = WП1 - WП2 = q0 (1 - 2),
(2.12)
где 1 и 2 - потенциал в 1-й и 2-й точках поля.
В СИ за единицу потенциала и разности потенциалов принят вольт
(В).
1В =
1Дж
.
1К л
В атомной и ядерной физике часто пользуются единицей энергии и работы,
называемой электрон-вольтом (эВ).
1эВ = 1,60  10-19 Кл  1В = 1,60  10-19 Дж .
Если электрическое поле создается системой зарядов, то потенциал результирующего поля равен алгебраической сумме потенциалов полей,
-27-
создаваемых каждым из зарядов в отдельности:
n
     i  .
i1
Потенциал электростатического поля представляет
(2.13)
собой
функцию,
непрерывно меняющуюся от точки к точке. Однако во всяком поле можно
выделить совокупность точек, потенциалы которых одинаковы. Геометрическое место точек одинакового потенциала называют поверхностью уровня потенциала или эквипотенциальной поверхностью. Пользуясь эквипотенциальными поверхностями (линиями), можно любое поле изобразить графически,
подобно тому, как это делается с помощью силовых линий.
Так как все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый
потенциал, то работа перемещения заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю. Это значит, что электрические силы действующие на
заряд всегда направлены по нормалям к поверхности равного потенциала.
Отсюда следует, что силовые линии всегда перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.
Установим связь между напряженностью электрического поля и потенциалом. Существование такой связи следует из того, что работа электрических
сил может быть выражена двояко - через разность потенциалов и напряженность поля.
Рис.2.5
-28-
Проведем в произвольном электрическом поле две бесконечно близкие
эквипотенциальные поверхности с потенциалами  и +d; пусть d>0
(рис.2.5). Из некоторой точки 1 поверхности уровня потенциала  проведем
нормаль n до пересечения с поверхностью уровня +d обозначим точку пересечения 2. Расстояние между точками 1 и 2 пусть будет равно dl. Напряженность поля Е перпендикулярна к эквипотенциальным поверхностям, т.е. она
направлена вдоль нормали n. Так как отрезок мал, то можно положить, что
напряженность поля Е = соnst. Тогда работа поля по перемещению заряда из
точки 1 в точку 2
dA = F dl =q0 E dl .
(2.13)
С другой стороны, та же работа может быть выражена через разность
потенциалов точек 1 и 2:
dA = q0[ - ( + d)] = - q0 d .
(2.14)
Сравнивая (2.13) и (2.14), получаем следующее выражение:
E 
Величина
d
.
dl
(2.15)
d
, характеризующая быстроту изменения потенциала в проdl
странстве, носит название градиента потенциала. Градиент есть вектор,
направленный по нормали к поверхности. Знак "минус" в формуле (2.15) показывает, что вектор напряженности электрического поля направлен в сторону
убывания потенциала. Таким образом, напряженность в какой - либо точке
электрического поля равна "минус" градиенту потенциала в этой точке.
E = - grad  .
(2.16)
-29-
Формула (2.16) позволяет по известным значениям потенциала найти
напряженность поля в каждой точке. Можно решить и обратную задачу, т.е. по
заданным значениям напряженности Е в каждой точке найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля.
E
    U
.

d
d
(2.17)
Причем под d следует понимать в этом случае проекцию расстояния
между точками 1 и 2 на направление вектора Е (рис 2.6).
Рис 2.6
3. Описание установки и метода работы
Для изучения качественной картины электростатического поля пользуются установкой, упрощенная схема которой представлена на рис.2.7.
Рис.2.7
На этой схеме А и Б электроды;
-
источник постоянного напряжения; V -
микровольтметр; З - зонд; КЛМН - контуры ванны с раствором электролита.
Оси Х и У указаны на миллиметровой бумаге на дне ванны. При помощи источника постоянного напряжения между А и Б создается постоянная разность
-30-
потенциалов. Как уже указывалось ранее,
изучение электрических полей
стационарных зарядов на неподвижных телах затруднено тем, что внесение
всякого другого тела в эти поля (например, зонда, связанного с вольтметром)
вызывает перераспределение зарядов, изменение потенциалов, вследствие
чего искажается картина поля (т.е. картина распределения силовых линий и
эквипотенциальных поверхностей
поля). Электрическое поле постоянного
тока по своему строению одинаково с электрическим полем неподвижных
зарядов. Действительно, если два электрода подключены к источнику постоянной разности потенциалов (например, к батарее), а пространство между ними заполнено идеальным диэлектриком, то электрическое поле этой системы
тождественно электростатическому. Если же среда, в которой находятся электроды, обладает очень маленькой электропроводностью, то возникший электрический ток незначительно изменит потенциалы электродов, и их поверхности по-прежнему можно будет считать поверхностями равного потенциала. А
так как в однородном проводнике нет объемных зарядов, то поле практически
останется таким же, каким оно было в отсутствие среды с малой электропроводностью.
Цепь зонда имеет очень большое сопротивление, поэтому введение зонда
в электролит не изменяет заметным образом картины поля (тем более, что постоянство потенциалов на электродах поддерживается внешним источником),
а потенциал зонда всегда равен потенциалу той точки поля, в которой он находится.
Исследование поля производится в плоскости, совпадающей с поверхностью слабого электролита в ванне. Поэтому точки с одинаковым потенциалом будут находиться на линии пересечения эквипотенциальной поверхности
с поверхностью электролита, т.е. в данной работе вместо эквипотенциальных
поверхностей определяются эквипотенциальные линии.
4. Порядок выполнения работы
-31-
1. На листе миллиметровой бумаги нанести оси координат.
2. Изобразить на миллиметровой бумаге вертикальные проекции электродов (в выбранном Вами масштабе).
3. Включить источник постоянного напряжения, зонд поставить в точку
с координатами (0,2).
4. Записать показания вольтметра.
5. Перемещая зонд так, чтобы показания вольтметра не изменялись, записать координаты этих точек.
6. Отметить положения найденных точек на миллиметровой бумаге.
7. Соединив полученные точки, изобразить линию равных потенциалов
(эквипотенциальную линию).
8. Аналогичным образом построить эквипотенциальные линии, проходящие через точки с координатами (0,4), (0,8), (0,12) и т.д.
9. Построить эквипотенциальные линии, проходящие через точки с координатами (0,2), (0,4), (0,8) и т.д.
10. Получив семейство эквипотенциальных линий, постройте ортогональное семейство силовых линий поля (пастой или карандашом другого цвета провести линии, перпендикулярные эквипотенциальным линиям).
11. Воспользовавшись соотношением Е=-l, определить напряженность поля в нескольких точках с различными координатами. Для этого измерить потенциалы в окрестности выбранных точек (1- слева и 2-справа) и
найти  , записать значения в таблицу. Измерить расстояние l между выбранными точками и определить Е.
12. Отключить источник постоянного напряжения.
13. Все полученные данные занести7 в таблицу.
14. Обработать результат определения напряженности электростатического поля:
-32-
а) определить относительную погрешность:

E     x 1  x 2


,
E cp
(     )
(x 2  x 1 )
где x1 = x2 = C min деления миллиметровки ;
      
  H
.
100
При работе с мультиметром ВР-11А основная погрешность
 = (0,5 х + 4)10-2 (В) ,
где  - класс точности прибора (приведенная погрешность вольтметра),
х - показание прибора,
H - номинальная (максимальная) измеряемая величина шкалы прибора;
б) вычислить абсолютную погрешность:
E = Ecp  .
15. Записать окончательный результат и вывод.
 E = Ecp +E

 % = .
Вывод:
Таблица результатов
№
-33-
Координаты
опыта
x
y
,
 ,
l,
d,
В
В
м
м
В
E, 
м
Е,
%
5. Контрольные вопросы
1. Какие поля называются электростатическими?
2. Что представляет собой электромагнитное поле?
3. Какой заряд называется пробным?
4. В чем состоит принцип суперпозиции?
5. Напишите закон Кулона и сформулируйте его.
6. Что такое силовые линии поля?
7. Как определить напряженность поля, создаваемого несколькими электрическими зарядами?
8. Какая величина называется напряженностью электростатического поля?
9. Как направлена напряженность электростатического поля в данной точке?
10. Что характеризует густота силовых линий?
11. Каков физический смысл потенциала и разности потенциалов?
12. Каково условие потенциальности силового поля?
13. Запишите, чему равен потенциал поля точечного заряда на расстоянии от
него в единицах СИ.
14. Что такое вольт?
-34-
15. Как определить работу, совершаемую при перемещении заряда из одной
точки поля в другую?
16. Что такое эквипотенциальные поверхности?
17. Что принято за единицу напряженности электростатического поля в СИ?
18. Что характеризует градиент потенциала?
19. Нарисуйте электрическую схему установки?
20. Почему опыт должен проводиться в среде, имеющей малую электропроводность?
21. Как определить напряженность поля в заданной точке, используя данные
опыта?
22. Как связаны между собой напряженность и потенциал электростатического поля?
23. Как можно графически изобразить электростатическое поле?
24. Что характеризует класс точности прибора?
25. Формулы для вычисления относительной и абсолютной погрешности?
26. Формула окончательного значения определения напряженности электрического поля?
Литература: [1], [4], [8].
Лабораторная работа N3
ИЗУЧЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ СОПРОТИВЛЕНИЯ
МЕТАЛЛОВ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
1. Цель работы.
Изучение температурной зависимости сопротивления металлов и их
сплавов и определение их температурного коэффициента сопротивления.