О разностных схемах для уравнений с разрывными коэффициентами

Доклады Академии наук СССР 1956. Том 108, № 3
А. Н. Тихонов, А. А. Самарский
О разностных схемах для уравнений
с разрывными коэффициентами
1. Различные конечноразностные схемы, пригодные для решения
определенного типа дифференциальных уравнений, могут различаться
как по порядку точности, так и в смысле применимости в зависимости
от класса коэффициентов этих уравнений. Автоматизация вычислений,
связанная с использованием машин, ставит вопрос о выборе «наилучших» разностных схем, обладающих как максимальной точностью, так
и применимостью в возможно более широком классе коэффициентов.
Так, например, желательно, чтобы одна и та же разностная схема позволяла решать задачи для дифференциальных уравнений как в случае непрерывных, так и в случае разрывных коэффициентов, без явного выделения точек разрыва.
Рассмотрим ряд относящихся сюда вопросов на примере следующей краевой задачи:
Lk  y 
d 
dy 
k x     f x 

dx 
dx 
0  x  l ;
в классе кусочно-непрерывных коэффициентов
y 0  y 0  0 (1)
k x   k0  0 .
2. Будем рассматривать трехточечную разностную схему
Lh
где
 ki 
yi 
1
 Ai yi 1  Ci yi  Bi yi 1    f i , f i  f xi  (2)
h2
Ai , Bi , Ci являются
функциями
величин
ki 1  k xi 1 ,
ki  k xi , ki 1  k xi 1 , а h - шаг равномерной сетки.
Будем обозначать: C p - класс функций, имеющих p непрерывных
производных в интервале
0, l  ;
Q p - класс функций, кусочно-
непрерывных и имеющих кусочно-непрерывные производные до
порядка в интервале 0, l . Будем считать, что f  C1 .
 
97
p-го
Избранные труды
Определение 1. Разностную схему будем называть однородной, если
Ai  Aki 1 , ki , ki 1  , Bi  Bki 1 , ki , ki 1  , Ci  C k i 1 , k i , k i 1  .
Иными словами, для однородной схемы вычисление коэффициентов
Ai , Bi , Ci происходит во всех точках по единому закону.
Определение 2. Трехточечную однородную разностную схему
будем
называть
линейной,
если
функции
A ,  ,  , B ,  ,  , C ,  ,   линейны относительно своих аргументов, т. е
A  a 1  a0   a1 , B  b1  b0   b1 ,
C  c1  c0   c1 ,
где
a s , bs
(3)
s  1,0,1 - постоянные числа.
В этой заметке мы ограничимся изучением только линейных однородных схем.
Определение 3. Пусть Ly - некоторый дифференциальный оператор
m -го порядка, а Lh yi - некоторый разностный оператор, определенный для всякого значения h  h0 . Будем говорить, что разностный
оператор Lh yi имеет в точке xi локальный порядок точности, равный
n, если разность Lh yi  Ly i  O h n , где yx  - произвольная
функция, имеющая (m+n)-ю непрерывную производную.
k 
Определение 4. Разностная схема Lh i yi для дифференциального
оператора (1) имеет порядок n, если для всякой функции k  x  из класса Cn 1 n  1,2 соответствующий разностный оператор Lh yi имеет
n-й локальный порядок точности.
Определение 5. Разностная схема называется безавостной, если
краевая задача для нее разрешима при любом заданном шаге h, любых
значениях коэффициентов и любой правой части уравнения.
Если разностная схема не удовлетворяет такому условию, то при
машинном счете для этого значения h и этих коэффициентов и правой
части будет иметь место аварийный останов машины («авост»). Так как
наличие машинного авоста, вызванное неудачным выбором шага h, не
98
Академик А.Н.Тихонов
означает неразрешимости краевой задачи для дифференциального уравнения, то такой авост естественно назвать схемным авостом.
3. Рассмотрим схему (2) для k x  C2 и потребуем, чтобы она
имела первый порядок точности:
 
Lh y  Ly  Oh   ky   k y   Oh 
yx  в окрестности x  xi , получим
A  Ci  Bi
B  Ai
A  Bi
k 
Lh i yi  i
yi  i
yi  i
yi  O h .
2
h
h
2
(4)
Разлагая
(5)
Сравнение с (4) дает
Ai  Ci  Bi  O h 3 ,
Bi  Ai  kih  O h 2 ,
Bi  Ai  2ki  O h .
(6)
Отсюда следует, что
 i  Ai Bi  1  hk i k i  O h 2 .
(7)
Для линейных схем отсюда также получаем
Ci   Ai  Bi  ,
(8)
a 1  a0  a1  1, b1  b0  b1  1,
b1  b1   a1  a1   1.
(9)
 - точка разрыва функции k x  из класса Q2 и
k   0  k л  k пр  k   0 . Решение уравнения (1) y  ~
y x 
удовлетворяет при x   условиям сопряжения
~
  .
yл  ~
y пр  ~
y  , k л ~
y л  k пр ~
y пр
4. Пусть
99
Избранные труды
Разлагая
~
y x  и k x  в окрестности точки x    xn   h ,
0    1 получим:
R
Lh ~
y n  L~
y n  n ,
h
R
Lh ~
y n 1  L~
y n 1  n 1 ,
h
(10)
 1   k л   k пр An 
Rn   Bn
   O h ,
k л k пр
k л 

Rn 1
(11)
B
1   k л   k пр 
  n 1  An 1
  O h .
k л k пр
 k пр

Если в окрестности точки

при
  x  0 ,
где
 0 >0
- любое
f x  дифференцируема,
то для схемы 1-го порядка точности разность zi  yi  ~
yi удовлетвочисло, не содержится других точек разрыва и
ряет уравнениям
Bi ri 1  Ai ri  i , ri  zi  zi 1 ,
i   n i ,n   n 1 i ,n 1  O h 3 ;
(12)
 1, i  j,



 ij  
 n  O h ,  n 1  O h .
0, i  j;



 - некоторая фиксированная точка интервала
~
0, l  и zi  yi  yi удовлетворяет условиям (12) для любого шага h,
причем xn    xn 1 . Для сходимости любой последовательности
h
y дифрешений y разностного уравнения L y   f к решению ~
5. Лемма. Пусть
i
h
i
i
i
ференциального уравнения (1) в некотором интервале
  x  0
 0  0
необходимо выполнение условия
 n  An1n  Bnn1  oh ,
где
oh   0 при h  0 быстрее, чем первая степень h.
100
(13)
Академик А.Н.Тихонов
n  Rn h, n1h  Rn1h и пользуясь для
Rn , Rn 1 формулой (11), получаем необходимое  -условие сходимости
Полагая в условии (13)
разностной схемы в точке разрыва:
n 
Bn Bn1 An An1

 Oh .
k пр
kл
( )
6. Для линейных схем 1-го порядка из
нения для
ak , bk

-условия получаем 4 урав-
k  1,0,1 , решая которые совместно с уравне-
ниями (9), приходим к следующим 4 семействам схем:
I. Ai  1  a0 ki 1  a0 ki , Bi  1  a0 ki  a0 ki 1 
II.
III.
IV.
Ai 1.
Ai  1  a0 ki 1  a0 ki , Bi  1  a0 ki 1  1  a0 ki  ki 1.
Ai  ki 1  a0 ki  a0 ki 1 , Bi  1  a0 ki  a0 ki 1.
Ai  ki 1  a0 ki  a0 ki 1 , Bi  1  a0 ki 1  1  a0 ki  ki 1.
7. Условие безавостности, предъявляемое нами к разностным
схемам, означает, что Ai  0 и Bi  0 при любых значениях  ki . В
самом
деле,
y0  0, rN 1  y N 1  y N
номер, при котором
рассмотрим
краевую
задачу
 0 и предположим, что n - наибольший
An  0 . Если Bi  0 для i  n , то можно напи-
сать:
rN 1   f n 1h 2
N

m

m  n 1
Полагая
N 1
h
k  n 1
N
2
fk

m
 f N h2
f
i
 f i Bi .
m  k 1
f i  0 для n 1  i  N , а
fN  0 ,
получим
rN 1  0 , т. е. разностная краевая задача неразрешима. Если Bm  0
при m>n, то аналогичное рассуждение также приводит к противоречию. Если Bn  0 , то аналогичные рассуждения следует провести для
задачи
r1  0, y N 1  0 .
Для линейных однородных схем требование безавостности означает неотрицательность a s , bs s  1,0,1 .
101
Избранные труды
8. Нетрудно видеть, что из четырех схем, полученных в п. 6, только
первая схема Ai  1  a0 ki 1  a0 ki , Bi  Ai 1 при 0  a0  1 является безавостной.
Если Bi  Ai 1 , то такую разностную схему будем называть консервативной. Для консервативной схемы можно ввести понятие потока
 i 1 2   Ai  yi  yi 1  h , относимого к «полуцелой» точке
x  xi 1 2 , и записать разностное уравнение в виде
 i 1 2   i 1 2   qi , qi  f i h
(14)
Если уравнение (14) интерпретировать как некий «закон сохранения» для интервала xi 1 2 , xi 1 2 , означающий, что разность потоков


равна источнику
qi , то для консервативной схемы закон сохранения
для любого интервала x m 1 2 , x n 1 2  имеет вид
n
 m 1 2   n 1 2    qi .
i m
Формулу
 i 1 2   Ai  yi  yi 1  h
следует рассматривать как
интерполяционную формулу для вычисления потока
   ky 
при
x  xi 1 2 .
Нетрудно заметить, что всякая консервативная схема 1-го или 2-го
порядка точности удовлетворяет  - условию.
Если точки разрыва k x являются узловыми точками разностной
 
сетки, то формулы для
Ai и Bi следует брать в виде
Ai  1  a0 k i 1,пр  a0 k i , л ,
9. Теорема 1. Пусть
Lh
Bi  1  a0 k i ,пр  a0 k i 1, л  Ai 1 .
 ki 
yi - однородная, линейная, трехточеч-
ная разностная схема, удовлетворяющая требованию безавостности,
необходимому  - условию сходимости на разрыве. Тогда:
1) если она имеет 1-й порядок точности, то она принадлежит однопараметрическому семейству консервативных разностных схем:
102
Академик А.Н.Тихонов
Ai  1  a0 ki 1  a0 ki , Bi  Ai 1
0  a0  1;
(15)
2) если она имеет 2-й порядок точности, то она определена
однозначно:
Ai  0.5 ki 1  ki , Bi  Ai 1
a0  0.5.
(15)
Теорема 2. Решение разностной краевой задачи
1
i1 2  i1 2    f i , i1 2  Ai  yi1  yi ,
h
y0  0,  N 1 2  0,
Lh yi 
Ai  1  a0 ki 1  a0 ki ,
0  a0  1
сходится к решению краевой задачи (1), если коэффициент
k x   Q1 .
Если
k x   Q2 , то
zi  y i  ~
yi  Oh  .
Аналогичные теоремы имеют место и для линейных краевых условий других типов.
103