Лекция 1 - Edu.dvgups.ru

Лекция 1:
Дифференциальные уравнения.
Разностный метод.
п.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения
ОДУ- уравнение, в которое входит независимая переменная x,
функция y(x) и некоторые производные этой функции.
ДУ 1-го порядка: F ( x, y, y)  0
ДУ 2-го порядка: F ( x, y, y, y)  0
ДУ n-го порядка:
(n)
 
F ( x, y, y , y ,..., y )  0
Рассмотрим следующую задачу:
Пусть тело, имеющее температуру ,0 помещено в среду,
температура которой равна 0 градусов С. Требуется выяснить
формулу, по которой можно было бы определить значение температуры
тела в любой момент времени нахождения тела в этой среде.
Обозначим:
t - переменная времени, (t ) - функция температуры тела,
t=0 - момент времени, в который тело было помещено в среду
с температурой 0 градусов С,
(0)  0 - начальное условие.
Из физики: скорость охлаждения какого-либо тела в любой момент
времени пропорциональна разности температур этого тела и
окружающей среды.
Из матем. анализа: скорость любой величины –производная от
этой величины.
d
(1.1)
,
dt
  k(t )
k - коэффициент пропорциональности. Знак “минус” поставлен
потому, что температура убывает, а производная убывающей
функции отрицательна.
Перепишем (1.1) в виде:
d
 d (  kt)
(1.2)

Интегрируем обе части (1.2), получаем: ln   kt  c
Отсюда потенцированием находим:
(1.3)
(t )  e  kt c
Величина постоянной будет найдена из начальных условия: при t=0
 0  e c  c  ln 0
(1.4)
 (t )   e  kt
0
Определение 1.1:
Начальным условием для ОДУ будем называть известное значение
неизвестной функции (решение ДУ) в начале координат, т.е. U (0)  a ,
(x=0).
Определение 1.2:
Если задано значение решения в т. x0  0,т.е.U ( x0 )  b, x0  0, то это условие
называют краевым или граничным.
Пример:
Найти функцию U ( x),0  x  1 ,
которая является решением ДУ 2-го порядка:
d
du
(1.5)
Lu 
( p( x)
)  q ( x)u ( x)  f ( x) 0  x  1
dx
dx
В (1.5) p ( x ) и q (x) -известные (заданные) функции, которые
называются коэффициентами ДУ.
f (x ) -заданная функция, называется правой частью ДУ.
Левая часть (1.5) называется дифференциальным
выражением. Ее можно записать в операторном виде, что и сделано
в (1.5).
Зададим краевые условия, для того, чтобы ДУ (1.5) имело
единственное решение. Так как уравнение 2-го порядка, значит 2
краевых условия, например, в виде: u (0)  u (1)  0
Определение 1.3:
Если на концах отрезка заданы значения неизвестной величины, которую
требуется найти, то эти условия называют краевыми условиями 1-го рода.
Определение 1.4: Если правая часть краевых условий равна нулю, то такие
условия называют однородными.
Определение 1.5: Если на концах отрезка заданы краевые условия
(1.6)
u(0)  u(1)  0 ,
то задача (1.5), (1.6) называется второй краевой задачей, а (1.6) –
краевыми условиями 2-го рода.
Определение 1.6: Пусть для (1.5) на концах отрезка заданы следующие
граничные условия:
(1.7)
u (0)  0, p (1)u (1)  u (1)  g
p(1)u(1)  u (1)  g - граничное условие 3-го рода.
Если бы на обоих концах отрезка были заданы граничные условия 3-го
рода, то мы имели бы третью краевую задачу.
В нашем случае (1.5), (1.7) – смешанная краевая задача.
П2. Разностный метод.
Сетка и сеточные функции.
Рассмотрим следующую задачу:
(1.8) Lu  u( x)  p( x)u( x)  q( x)u ( x)  f ( x),
x 
здесь   (0,1)
(1.9) u (0)   0 , u (1)   1
Построим разностный метод для решения задачи (1.8), (1.9).
1
Зададим на [0,1] множество точек (узлов): h   xi : xi  ih, i  0,..., N , h  
N

h

xi - узлы, -шаг сетки, h - совокупность или множество узлов на
отрезке  .
Введем обозначения:
h  x0 , xN  - множество граничных узлов.  h  h \  h h   h   h
Узлы, принадлежащие  h называются внутренними.
Определение 1.7:
Функцию y будем называть сеточной функцией, если областью
определения этой функции будет являться какое -либо множество узлов
сетки.
Значения сеточной функции в узлах сетки будем обозначать yi  y ( xi ).
Введем пространство сеточных функций с нормами
y C (  )  max y ( xi )
h
y
___
C ( h )
h
xi
 max y ( xi )
xi h
N
y
L2 ( h )
 [ yi2h]
1
2
i 1
Введенные сеточные пространства и нормы иногда называют разностными
аналогами пространств C ( h ) и L2 ( h ).
Разностные отношения.
Согласно формуле Тейлора:
h2
u ( x  h)  u ( x)  hu( x) 
u( x)  O(h 3 )
2
На основании этой формулы имеем:
ux 
ux 
u ( x  h)  u ( x )
 u ( x)  O(h)
h
u ( x )  u ( x  h)
 u ( x)  O(h)
h
u x0 
конечная разность вперед.
конечная разность назад.
u ( x  h)  u ( x  h)
 u ( x)  O( h 2 ) центральная разность.
2h
Эти четыре формулы обозначим (1.10).
(1.11)
u xx 
u ( x  h)  2u ( x)  u ( x  h)
2



u
(
x
)

O
(
h
)
2
h
Вторя разностная производная.
Разностная схема.
Зададим:
Lu  u   pu  qu
(1.12)
u (0), x  0
lu  
 u (1), x  1
и перепишем (1.8), (1.9) в виде:
(1.13)
Lu  f , x  
(1.14)
lu   , x  
 0 , x  0
 
  1, x  1
Общая схема (план) применения разностного метода:
1)Идея состоит в замене дифференциального уравнения на
разностное.
2) Вводятся сетка и сеточные функции.
3) В (1.8) заменяются производные разностными отношениями.
4) Полученная разностная краевая задача может быть записана в
операторном виде.
5) Необходимо исследовать разностную задачу прежде, чем находить ее
решение, т.е. изучить вопросы аппроксимации, устойчивости и
сходимости.
Запишем разностную задачу (точнее семейство таких задач,
зависящих от параметра h) для задачи (1.13), (1.14):
Lh y  f h на  h .
lh y  g h на  h .
(1.16)
Оператор Lh задан во внутренних узлах сетки, т.е. для j  1,..., N  1он будет
(1.15)
иметь следующий вид:
Lh y  j
pj,qj
Lh y  j  
y j 1  2 y j  y j 1
h
2
 pj
- оператор определен в узле x j .
- значения коэффициентов ДУ исходной задачи в узле
 y0
lh y  
 yN
 fh j  f (x j )
  0 , j  0,
gh  
 1 , j  N .
y j 1  y j 1
2h
x j.
 qj yj
Определение 1.8:
Разностная задача (1.15), (1.16) называется разностной схемой для
дифференциальной краевой задачи (1.8), (1.9). Разностная схема более
подробно может быть записана в виде:

y j 1  2 y j  y j 1
y0   0 ,
h
2
yN   1.
 pj
y j 1  y j 1
2h
 q j y j  f j , j  1,..., N  1