ПРОГРАММА КУРСА ЛЕКЦИЙ

ПРОГРАММА КУРСА ЛЕКЦИЙ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
II курс, 3 семестр, 2 поток
Лектор: доц. А.А.Федотов
Глава 1. Интегрирование и дифференциальные формы.
Раздел 1. Внешняя алгебра.
1. Пространство p-векторов. Проверка аксиом линейного пространства. Вычисление
размерности.
2. P-вектора и определители линейных отображений.
3. Внешнее произведение p-векторов и его свойства.
4. Пространства с внутренним произведением. Ортонормированные базисы. Линейные
функционалы.
5. Внутреннее произведение p-векторов. Ортонормированный базис.
6. Оператор Ходжа и его свойства. Примеры.
Раздел 2. Дифференциальные формы на области в Rn.
7. Определение и элементарные свойства дифференциальных форм.
8. Внешняя производная и ее свойства.
9. Замена переменных, индуцированное отображение и его свойства.
10. Подъем дифференциальных форм и решение уравнения dg=h.
Раздел 3. Примеры применения исчисления дифференциальных форм.
11. Дивергенция, ротор и градиент: классические определения и их перевод на язык
дифференциальных форм. Формулы div rot a=0 и rot grad f=0. Решение уравнений
12. rot a=b и div a=f.
13. Применения к уравнениям Максвелла (поле, создаваемое токами в вакууме).
Уравнение Максвелла на языке дифференциальных форм. Условие разрешимости.
Магнитный потенциал. Gauge-преобразования. Построение магнитного потенциала.
Раздел 4. Классическая теория n-мерного интегрирования.
14. Интеграл Римана.
15. Множества меры нуль.
16. Интегрируемые функции.
17. Сведение к повторным интегралам (теорема Фубини).
18. Замена переменной.
Раздел 5. Интегрирование дифференциальных форм по многообразиям в Rn.
19. Многообразия. Ориентируемость и ориентация. Примеры.
20. Касательные вектора и их свойства.
21. Гладкие функции и дифференциальные формы на многообразии. Примеры форм на
окружности и сфере.
22. Образ куба при гладком отображении. Ориентация образа куба и его границы.
23. Интеграл от формы по образу куба. Инвариантность.
24. Формула Стокса для образа куба.
25. Цепи и границы.
26. Интегралы от форм по многообразиям и общая формула Стокса.
1
27. Практические вычисления интегралов от дифференциальных форм. Примеры.
28. Уравнение dg=h на многообразии. Теорема де Рамма. Примеры.
Раздел 6. Применения и примеры.
29. Криволинейные интегралы 1-го рода и 2-го рода.
30. Формула Грина. Следствия формулы Грина.
31. Поверхностные интегралы 1-го рода и 2-го рода.
32. Формула Остроградского-Гаусса.
33. Формула Стокса.
34. Геометрический смысл дивиргенции и ротора. Их инвариантность.
35. Вычисления в криволинейных ортогональных координатах.
36. Метрика на поверхности. Первая квадратичная форма Гаусса.
37. Вторая квадратичная форма Гаусса. Кривизна.
38. Тензора на многообразии. Примеры.
39. Связь тензоров с дифференциальными формами.
Глава 2. Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений.
Раздел 1. Теорема существования и единственности.
1. Автономные и неавтономные дифференциальные уравнения. Фазовое пространство,
траектории решений и интегральные кривые векторных полей.
2. Теорема существования и единственности для задачи Коши.
3. Гладкость зависимости решений задачи Коши относительно начальных данных и
параметров.
4. Теорема о продолжении.
Глобальное существование решений для линейных
уравнений.
5. Интегралы движения.
Раздел 2. Устойчивость и неподвижные точки.
6. Положения равновесия и линеаризация. Характеристическое уравнение.
7. Устойчивость положения равновесия. Теорема об асимптотической устойчивости.
8. Поведение решений вблизи гиперболической особой точки.
9. Индекс кривой и его свойства. Теорема о сумме индексов.
10. Индекс неподвижной точки векторного поля.
Литература:
1. Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. 2, т. 4 (часть 2).
2. Спивак М. Математический анализ на многообразиях.
3. Шилов Г.Е., Гуревич Б.А. Интеграл, мера, производная.
4. Пункаре А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.
5. Ефимов Н.В. Введение в теорию внешних форм.
6. Фландерс Х. Дифференциальные формы и их приложения в физике.
7. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
2