Задачи на вероятность

Задачи на
вероятность
Повторение
Задача 1
В партии из 100 деталей отдел
технического контроля обнаружил
15 нестандартных деталей. Чему
равна вероятность того, что
взятая наугад деталь окажется
нестандартной? N ( A)
P
Решение.
N
Р = 15/100 = 0,15
Ответ: 0,15.
Задача 2
При стрельбе из винтовки
вероятность попадания в цель
оказалась равной 0,85. Найти число
попаданий, если всего было
произведено 120 выстрелов.
Решение.
N ( A)
N ( A)
Р
N
, 0,85 
,
120
N ( A) 1200,85;
N ( A) 102.
Ответ: 102 попадания.
Вероятностная шкала.
Чем больше у случайного
события шансов произойти, тем
оно более вероятно и тем правее
его следует расположить на
вероятностной шкале; чем
меньше шансов - тем левее. Если
два события, на наш взгляд,
имеют равные шансы, будем
располагать их в одном и том
же месте шкалы друг над другом.
Вероятностная шкала
случайные
События:
0
Вероятность:
0,5
1
Попытаемся расположить на
специальной вероятностной шкале
А={сегодня
события: будет землетрясение};
B={при бросании кубика выпадет
шестерка};
C={пpu бросании кубика выпадет четное
число очков};
Задача 3
Вова хочет вытянуть наугад одну
карту из колоды с 36-ю картами.
Маша, Саша, Гриша и Наташа
предсказали следующее:
Маша: Это будет король.
Саша: Это будет пиковая дама.
Гриша: Эта карта будет красной
масти.
Наташа: Эта карта будет пиковой
масти.
Решение :
• Как сравнить между собой шансы
предсказателей?
• Обозначим все события, предсказанные
ребятами, буквами:
• А={Вова достанет короля};
• В={Вова достанет пиковую даму};
• С={Вова достанет карту красной масти};
• D={Вова достанет карту пиковой масти}.
• Всего в колоде: 36 карт;
• королей - 4;
Р(А)=4/36
• пиковая дама - 1;
Р(В)=1/36
• карт красных мастей-18;
Р(С)=18/36
• пик- 9;
Р(D)=9|36
Задача 4
Из озера выловили 86 рыб,
которых пометили и
отпустили обратно в озеро.
Через неделю произвели
повторный отлов, на этот раз
поймали 78 рыб, среди которых
оказалось 6 помеченных.
Сколько приблизительно рыб
живет в озере?
Решение :
• Обозначим неизвестную нам
численность рыб в озере через N.
• Тогда вероятность поймать
помеченную рыбу в озере будет
86/N.
• С другой стороны, эта
вероятность должна
приближенно равняться
полученной во втором улове
вероятности: 86/N=6/78.
Отсюда N = 86 • 78 / 6 = 1118.
Ответ: 1118 рыб.
Задача
В некоторой ограниченной
области  случайно выбирается
точка. Какова вероятность, что
точка попадет в область А? На
прямую n?
S ( A)
P( A) 
S ( )
n
А

0
S (n)  0; P(n) 
0
S ( )
Геометрическое определение вероятности
Если предположить, что
попадание в любую точку области
 равновозможно, то вероятность
попадания случайной точки в заданное
множество А будет равна отношению
площадей:
S ( A)
P( A) 
S ()
Если А имеет нулевую площадь, то
вероятность попадания в А равна нулю.
Можно определить геометрическую
вероятность в пространстве и на
прямой:
V ( A)
L( A)
P( A) 
V ()
; P( A) 
L()
Задача 5
В квадрат со стороной 4 см
«бросают» точку. Какова
вероятность, что расстояние от
этой точки до ближайшей стороны
квадрата будет меньше 1 см?
Закрасим в квадрате
множество точек,
удаленных от
ближайшей стороны
меньше, чем на 1 см.
Площадь
закрашенной части
квадрата
16см2 – 4см2 = 12см2.
12 3
P( A) 
  0,75
16 4