ПРОИЗВОДНАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ВЫПУКЛОСТИ, ТОЧКИ ПЕРЕГИБА. ГБОУ №1392 имени Д. Рябинкина

ГБОУ №1392 имени Д. Рябинкина
Давтян Римма Артемовна
ПРОИЗВОДНАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
ВЫПУКЛОСТИ, ТОЧКИ ПЕРЕГИБА.
 Производные второго порядка
 Вогнутость, выпуклости и точки перегиба
Понятие касательной
к данной непрерывной
Определение: Касательной
кривой в данной ее точке М (точка
касания) называется предельное
положение секущей ММ', проходящей
через точку М, когда вторая точка
пересечения М' неограниченно
приближается по кривой к первой.
Рис. 1
Общее определение производной
Определение: Производной функции у = f(х)
называется предел отношения
приращения функции к приращению
аргумента при условии, что
приращение аргумента стремится к
нулю, если этот предел существует

y
x 0 x
y  f ( x)  lim
Найти производную функции у = х2
x  0
 y = (х + x )2
y   lim
x  0
y  ( x  x) 2  x 2  2 x * x  (x) 2
y
 lim
(2 x  x)  2 x
x  0
x
(х2)' = 2х
Смысл производной
Физический
Геометрический
Если функция описывает f ( x)  k касательной к
какой-либо физический
графику функции y=f (x) в
процесс, то y  f (x) есть точке, абсцисса которой
скорость
протекания
равна x.
y
этого процесса.
Например
Точка движется
прямолинейно по закону S  t 2
.Найти скорость движения
в момент времени t=3
y=kx+b
Уравнение
касательной к кривой
y  x2 1
в точке А(1;2)
k  y( x)  ( x 2  1)  2 x
k=2*1=2
2=2*1+b
b=0
y=2x
Производная сложной функции
ТЕОРЕМА:
Если у = f(z)и z=  (x)— дифференцируемые
функции от своих аргументов, то производная
сложной функции
y  f  (x)
существует и равна производной данной
функции у по промежуточному аргументу z,
умноженной на производную самого промежуточного
аргумента г по независимой переменной х, т. е.
y x  y z z x
Например
y  ln( x  3x  1)
2
1
yx  y *  x  (2 x  3)
u
y  ln 
  x 2  3x  1
2x  3
x 2  3x  1
Производная обратной функции
ТЕОРЕМА. Для дифференцируемой функции с
производной, не равной нулю, производная обратной
функции равна обратной величине производной данной
функции.
Доказательство. Пусть у = f(х) Например y=arctg x
y  0
x=tg x обратная для y
yx  f ( x)  0
1
1
x   ( y)
yx 
x
1
(tgy)
cos 2 x
x
y
2
 1:
cos
y
cos 2 y
y
x
cos 2 y  sin 2 y
1
x
y
2
lim
 1 : lim
cos
y
y 0 y
x 0 x
2
1
2
1
ctg
y
sin y
1

1
1
xy 
2

1

tg
x
yx
1  x2
Производная неявной функции
Определение:
Если y как функция от x задается
соотношением F(x, y)=0, где F(x, y) выражение, содержащее x и y, то y
называется неявной функции от x.
Алгоритм нахождения производных заданных
функций в неявном виде.
1) Находим производную от
Пример. Найти y 
левой части равенства F(x,
y)=0, рассматривая y как
x 3 y 2  5 xy  4
функцию от x и
3 2
приравниваем ее к нулю.
  (5xy)  4
(
x
y
)
2) Решаем полученное уравнение
относительно y, в
( x 3 ) y 2  x3 ( y 2 )  (5x) y  5xy  0
результате будем иметь
выражение производной от
2 2
3
неявной функции в виде
3x y  x 2 yy  5 y  5xy
y=f(x)
Производная функции, заданной
параметрически
ТЕОРЕМА:
Если
функция
параметрически
у
от
x   (t )
где функции  (t ) и
и
аргумента
задана
y   (t )
 (t )
дифференцируемы и  (t )
 0 , то производная

y
этой функции есть
x 
yt
xt
x

y
х
 t2
 t3



Например
yt  3t 2
xt  2t



3
y x  yt : xt  3t : 2t  t
2
2
Понятие о производных высших порядков
Производная f '(х) от
Пример
функции f (х) называется
производной первого порядка
1)Пусть y = sin x
и представляет собой
Тогда имеем последовательно
некоторую новую функцию.
y  cos x, y   sin x, y   cos x, y IV  sin x,.....
Может случиться, что эта
3
функция сама имеет
2)Пусть y ( x)  4 x  2 cos x
производную. Тогда
Найти: y
производная от производной
y  12 x 2  2 sin x
первого порядка называется
производной второго порядка
y   24 x  2 cos x
или второй производной и
y   24 x  2 sin x
обозначается так: f "(х).
Итак,



f ( x)   f ( x)

f ( x)   f ( x)
Вогнутость и выпуклость графика
функции. Точки перегиба
Определение: График дифференцируемой функции у =
f(х) называется вогнутым вверх (или
выпуклым вниз) в промежутке (а, b), если
соответствующая часть кривой
y  f ( x)( x  a, b )
расположена выше касательной,
проведенной в любой ее точке М(х, f(x)).
Аналогично, график дифференцируемой
функции у = f(х) называется выпуклым вверх
(или вогнутым вниз) в промежутке (а, b),
если соответствующая часть кривой
расположена ниже касательной,
проведенной к любой ее точке М(х, f(х))
Определение: Точкой перегиба графика дифференцируемой
функции у = f(х) называется его точка, при
переходе через которую кривая меняет свою
вогнутость на выпуклость или наоборот
ТЕОРЕМА:
Если для дважды дифференцируемой функции y =
f(х) вторая ее производная f "(х) положительна внутри
промежутка (а,b), то график этой функции вогнут
вверх в данном промежутке.
Доказательство: Пусть f "(х) > 0 при а<х<bих0 — любая
точка промежутка (а, b). Сравним в
точке х ординату у кривой y=f(x)
ординатой у ее касательной MоN,
проведенной в точке
Достаточные условия вогнутости
(выпуклости) графика функции.
Теорема: Если же вторая
производная f"(х) отрицательна
внутри промежутка (а, b), то
график функции у = f(х) вогнут
вниз в этом промежутке.
Доказательство:
Аналогично
доказывается, что если
f "(x) < 0 при а < х < b,
то график функции у =
f(х) вогнут вниз на
промежутке (а, b).