МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 55

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 55
СОВЕТСКОГО РАЙОНА ГОРОД ВОРОНЕЖ
Научно-исследовательская работа
на тему:
«Тайна квадратного корня»
Выполнил ученик 8 «Б» класса:
Гудков Василий
Руководитель: учитель математики
Беляева М.В.
Введение
Перейдя в восьмой класс, мы познакомились с квадратными корнями. В ходе
решения некоторых математических задач приходится оперировать с ними, но
ведь не всегда корень можно вычислить просто заглянув в таблицу квадратов, не
всегда число рационально, а квадрантные корни встречаются в огромном числе и
в ряде других наук. Поэтому и были придуманы многочисленные формулы и
способы для извлечения квадратного корня, некоторые из которых относят к
древней Греции , к Вавилону, Древнему Египту.
Также меня заинтересовала история их появления, которая чем-то была похожа
на историю изобретения колеса, ведь привычный нам термин и его графическое
обозначение прошли много веков, перед тем как стать такими, какими мы
привыкли их видеть.
Цели и задачи:
• Познакомиться с историей квадратного
корня.
• Исследовать способы извлечения
квадратного корня.
• Постараться применить их на
практике.
a
Квадратный корень из числа а – это число,
дающее при возведении в квадрат а.
Операция вычисления а называется
«извлечением квадратного корня» из числа.
Пример: 16  4 , т.к.  42  16.
Свойства графика функции у  х :
1. Область определения функции -- луч [0;+∞);
2. у = 0 при x = 0; y > 0 при x > 0;
3. функция возрастает на луче [0;+∞);
4. унаим = 0 при х = 0, унаиб не существует;
5. функция непрерывна и выпукла вверх.
Вавилонская
башня
Город
(Врата Бога) символы
с населением
Когда Вавилон
были расшифрованы
клинописи,
полтора
тысяч
человек был
основан вуравнения
археологи
с изумлением
прочитали
Междуречье
3000 лет
до н.э. сНа
раскопках
вычисления более
различных
площадей
помощью
этого
древнего
поселения были найдены
квадратных
корней.
глиняные таблички с нанесенными на них
знаками. Их возраст превышает 5000 лет.
Глиняные
клинописные
таблички
В 2500 гг. до н.э. в Древнем Египте возводились
пирамиды – усыпальницы фараонов. Археологи
просчитали, что без знания числа π и квадратного
корня построить такие сооружения с четко
выстроенными коридорами и строгой ориентацией
помещений по сторонам света было просто
невозможно.
В V веке до н.э. астроном, врач и
математик Гиппократ написал первый
учебник по геометрии, в котором ввел и
объяснил множество математических
формул и терминов, в том числе
«гиппократовы луночки», при помощи
которых пытался вычислить квадратуру
круга.
Древнегреческому математику Эвклиду в
III веке до н.э. досталась великая миссия
сублимировать мудрость предков, работы
Гиппократа, изложить все в своих трудах
«Начала», объяснив между прочим значение
квадратного корня, и донести до
последующих поколений.
Спустя 600 лет в той же Греции Диофант
Александрийский, основываясь на работах своих
предшественников, ввел математические
обозначения, которые человечество использует и
сегодня, описал решения неопределенных
уравнений, ввел понятия рациональных и
иррациональных чисел. Им было написано 13
трактатов «Арифметика», только 6 из которых
сохранились. В этих трудах великий грек объясняет
решения уравнений с двумя неизвестными второго
порядка, используя для их решений извлечение
квадратного корня из числа, как давно известное
математическое действии.
Термин корень имеет долгую и сложную историю
Греческое слово «сторона»
«Мула»(сторона на санскрите)
Арабское слово «джизр»
«Radix»(перевод с арабского на латинский)
Rx(𝑎)
r 𝑎
r 𝑎
𝑎
В геометрии
К извлечению квадратных корней
сводятся многие геометрические задачи.
Например, теорема Пифагора: квадрат
гипотенузы прямоугольного треугольника
равен сумме квадратов катетов этого
треугольника.
a
b
a
c
b
b
a
a
b
b
a
В информатике
Во многих языках программирования
функционального уровня функция
квадратного корня обозначается как sqrt
(от англ. squareroot «квадратный
корень»). Эта функция широко
применяется в среде MS Exele, при
исследовании и построении графиков
квадратичной функции, в средах
объектно-ориентированных языках
(Delfy, Visual Basic и др.).
В физике
E = mc2
c=
E
m
В химии и биологии
Радикал — группа атомов, содержащая
углеводородный остаток в молекуле.
В истории и психологии
Радикал сторонник
резких решений.
В ходе данного исследования мною было обнаружено несколько
способов извлечения квадратного корня:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Арифметический
Геометрический
Метод Герона
Метод Ньютона
Столбиком
Метод подбора.
Арифметический способ
Для квадратов чисел верны следующие равенства:
1 = 12
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
и так далее.
То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из
него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше
следующего вычитаемого числа или равен нулю, и посчитав количество
выполненных действий. Например, так: 9 − 1 = 8
8−3=5
5−5=0
Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.
Метод Ньютона
Вычислим 2, то есть найдем с помощью метода приближенных вычислений
положительный корень уравнения x2 = 2. Это уравнение равносильно
следующему: 𝑥 =
2
𝑥
Среднее арифметическое этих чисел x1=
1
2
(x0+
2
𝑥0
) является лучшим
приближением числа 2, чем исходное приближение x0, то есть
1
2  1 2 3
х1   х0    1     1,5 .
2
х0  2  1  2
Метод Ньютона
1
2  13
2  17
х2   х1     
 1,416666667

2
х1  2  2 3 / 2  12
1
2  1  17
2  577
х3   х2     
 1,4142115686

2
х2  2  12 17 / 12  408
1
2  1  577
2
 665857
х4   х3    

 1,414213562

2
х3  2  408 577 / 408  470832
1
2  1  665857
2

х5   х4    

  1,414213562
2
х4  2  470832 665857 / 470832 
Метод подбора
В нем всего лишь три шага но с его помощью можно извлекать только корни из
рациональных чисел и при этом только от 100 до 10 000. Для примера возьмём
число 3364
1. Ограничить корень числами кратными десяти, наше число находится между
2. Отсеем числа, которые не могут быть корнями.
Последняя цифра корня взаимосвязана с последней цифрой подкоренного
выражения.
2 = 2704 – не подходит, 582 = 3364 – это и есть наш корень.
52
Числа
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
4
9
6
5
6
9
4
1
0
Последние цифры их квадрата
Следовательно, наше число либо 52, либо 58
Столбиком
2ав  в
Возьмем число 277729
27 , 77 , 29  5 2 7
25
277
204
7329
7329
0
102*2 = 204
1047*7 = 7329
Вывод
Как любое великое открытие, оно возникло одновременно в
нескольких местах в головах разных гениальных людей, и отдать
его некому, а само их появление квадратных корней – не прихоть
математиков, а объективная необходимость решения реальных
жизненных ситуаций, математические модели которых содержат
операцию извлечения квадратного корня. Квадратный корень
имеет историю в несколько десятков веков, а способы его
извлечения возникли почти с появлением самого корня во всех
частях света еще в древности, но остаются актуальны и по сей
день ведь не всегда мы имеем под рукой калькулятор.
4 апреля 2016 года