Десятичная и двоичная системы счисления

Десятичная и двоичная системы счисления
Обзор десятичной системы
счисления
Система счисления – это способ записи чисел с
помощью специальных знаков – цифр.
Числа:
123, 45678, 1010011, CXL
Цифры:
0, 1, 2, …
I, V, X, L, …
Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Типы систем счисления:
 непозиционные – значение цифры не зависит от ее
места (позиции) в записи числа;
 позиционные – значение цифры зависит от ее места
(позиции) в записи числа;
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Основание (количество цифр): 10
Позиционная система: значение цифры
определяется ее позицией в записи числа.
3
2
1
0
4129=
3
2
1
= 4x10 +1x10 +2x10 +9x10
тысячи
сотни
десятки
0
единицы

Все мы пользуемся десятичной системой
счисления в которой числа соответствуют
следующим цифрам:
Число
Цифра
0
0
1
1
2
2
..
..
8
8
9
9
10
-
11
-
Видно, что после числа «девять»
в десятичной системе нет
соответствующих знаков для
обозначения чисел.
Для этого используется
сочетание нескольких знаков
(например, для «десяти» это «1»
и «0»).
Характеристика системы.
Перевод чисел из двоичной
системы счисления в
десятичную и обратно.
Алфавит: 0, 1
Основание (количество цифр): 2
Позиционная система: значение цифры
определяется ее позицией в записи числа.
3
3
2
1
0
1 1 0 12 =
2
1
0
= 1x2 + 1x2 + 0x2 + 1x2 =
= 8 + 4 + 0 + 1 = 1310

Обобщенный метод:
1. Нумеруем цифры справа налево начиная с «0».
2. Вычисляем значение числа по формуле:
𝑛
𝑛
(𝑚𝑖 × 𝑎𝑖 ) =
𝑖=0
(𝑚𝑖 × 2𝑖 ) ,
𝑖=0
где 𝑚𝑖 - цифра, стоящая на i-ом месте,
𝑎 – основание системы (в данном случае 2),
𝑖 – позиция цифры.

Дано число: 11101012
Задача: перевести число в десятичную систему.

Вычисление:

6
5
4
3
2
1
0
1110101=
=1*26+1*25+1*24+0*23+1*22+0*21+1*20 =
= 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 117

Обобщенный метод:
1. Деление числа в 10-ой системе на основание
двоичной системы (на 2).
2. Деление полученного частного на 2.
3. Повторять шаги 1-2 пока частное не будет
меньше основания системы (меньше 2).
4. Записать последнее частное и все остатки от
деления в обратном порядке.

Дано число: 1172
Задача: перевести число в двоичную систему.

Вычисление:

117 2
116 58
1 58
0
2
29
28
1
2
14
14
0
2
7
6
1
2
3
2
1
11101012
2
1
128 → X2 = 10000000
79 → Y2
= 1001111
1011101 → A10 = 93
1100110 → B10 = 102


Предположим у нас есть число «пять».
В случае записи нуля(-ей) слева от цифры 5, мы
получим также число «пять»:
005 = 05 = 5
В этом случае нули незначащие (т.к. не влияют на
значение числа)

В случае записи нуля(-ей) справа от цифры 5, мы
получаем другие числа, отличные от пяти:
500 = 50 = 5
В этом случае нули значащие (т.к. влияют на
значение числа)
00110010 ? 3
01010001 ? 4
11000000 ? 6
00001101 ? 1