комплексные числа 10- класс введение Чернышова ИС

Комплексные числа
-минимальные условия;
-определения;
-арифметические операции;
-свойства.
Основные числовые системы:
Числовая система Допустимые алгебраические операции
Натуральные
Сложение и умножение.
числа, N
Целые числа, Z Сложение и умножение; вычитание.
Рациональные Сложение и умножение; вычитание и
числа, Q
деление.
Действительные Сложение и умножение; вычитание и
числа, R
деление; извлечение корня из х≥0
Комплексные Любые операции
числа, C
Построение множества С
комплексных чисел:
N
ZQ
R
C
Минимальные условия, которым
должны удовлетворять комплексные
числа:
 С(1) Существует комплексное число, квадрат которого
равен -1
С(2) Множество комплексных чисел содержит все
действительные числа.
 С(3) Операции сложения, вычитания, умножения и
деления удовлетворяют законам арифметических
действий(сочетательному, переместительному,
распределительному)
Число, квадрат которого равен -1,
называется мнимой единицей и
обозначается i
• Это обозначение предложил Леонард
Эйлер в 18 веке. Таким образом:
2
i
=-1, i-мнимая единица
• Так как, по условию, множество С содержит
всё множество R, то имеет смысл
рассматривать выражения вида:
i; 2i; -3i; 0,6i
Такие произведения называются чисто
мнимыми.
3i+5i=8i (сложение)
3i-5i=-2i (вычитание)
3i·5i=15i ( умножение)
3
2
(3i)=27i ·i=-27i (степень)
Правила арифметических операций
с чисто мнимыми числами:




ai+bi=(a+b)i
ai-bi=(a-b)i
a(bi)=(ab)i
(ai)(bi)=abi =-ab
2
(a и b – действительные числа)
0· i=0
(0 – одновременно является и
действительным, и чисто мнимым числом)
Решаем
№ 32.5; 32.7;
32.8; 32.10; 32.11
Определения комплексных чисел:
Комплексным числом называется сумма
действительного числа а и чисто мнимого
числа bi
z= a +bi С <=>
a R, b R, i Э
мнимая единица
Э
Два комплексных числа называются
равными, если равны их действительные
части и равны их мнимые части.
a +bi=c +di <=> a=c, b=d
Арифметические операции над
комплексными числами:
Z +Z =
I. (сложение)
1
2
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(bi+di)=(a+c)+(b+d)i
Z – Z=
II. (вычитание)
1
2
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(bi-di)=(a-c)+(b-d)i
III. (произведение)
Z ·Z=
1
2
2
(a+bi) (c+di)=ac+adi+cbi+bdi =ac+(ad+cb)i-bd=
=(ad-bd)+(ad+cb)i
Решаем № 32.19; 32.20; 32.21.
Самостоятельная работа
Вариант 1.
1). Вычислите:
(-i)(-2i); 12i·(-0,5i)
Вариант 2.
1). Вычислите:
(-3i)(-0,2i); -1,2i·(-5i)
2). Найдите
действительные числа а
и в, для которых верно
равенство z=az1- bz2
если z1=-2, z2=1-3i, z=4+i
2). Найдите
действительные числа а
и в, для которых верно
равенство z=az1+bz2,
если z1=-2i, z2=4, z=-2+3i
3) Назовите
действительную и
мнимую части числа
-23-45i
3) Назовите
действительную и
мнимую части числа
2,3i-56
 Если у комплексного числа
сохранить действительную часть и
поменять знак у мнимой части, то
получится комплексное число,
сопряжённое данному.
Z=a+bi –комплексное число
- сопряжённое число
Найдите сопряженные данным
числа:
 13+2i
 1-23i
 3i-14
 -5i+2
 18i
21-i
-i-1
-3+2i
4i+2
-2,7i
Свойства операции перехода к
сопряжённому числу:
Свойство 1. Если z=x+yi, то · z=
К примеру: x2+9= (x+3i)(x-3i)
Свойство 2.
Свойство 3.
Свойство 4.
Свойство 5.
Свойство 6.
n
Решаем:
• № 32.32
• №32.33
• №32.35
• №32.22
Домашнее задание:
•
•
•
•
Учить §32(определения и свойства)
№32.27
№32.28
№32.34