Исследовательский проект ученицы 5 «В» класса МБОУ Лицея №185 Выполнила ученица 5 класса Пикула Светлана Павловна Руководитель проекта: учитель высшей категории Белина Л.И. Новосибирск 2014 «Составление магических квадратов представляет собой превосходную умственную гимнастику, развивающую способность понимать идеи размещения, сочетания и симметрии». Леонард Эйлер Цель исследования: изучить историю появления и один из способов заполнения магических квадратов, а также области их применения. Задачи исследования: познакомиться с историей появления магических квадратов; выяснить виды магических квадратов и способы их заполнения; провести исследование о утверждение Пифагора о том, что судьба человека зависит от числа его рождения; выявить области применения магических квадратов. Провести анкетирование пятиклассников Лицея № 185. В познавательных книгах, в журналах и на математических олимпиадах, очень часто встречаются задачи, когда необходимо в квадрат так вставить цифры от 1 до 9 , чтобы сумма этих цифр по строкам, столбцам и диагоналям была одной и той же, постоянной. На уроки математики я узнала, что это называется магическим квадратом. Конечно, имея время и терпение, можно решить эту задачу, методом подбора. Но метод перебора мне не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это побудило меня заняться исследовательской работой. Из литературы я узнала, что для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро. И мне стало интересно есть ли научное объяснение этим квадратам, и захотелось узнать историю их происхождения. В моей работе рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей магических квадратов. Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики. Работая над проблемой заполнения квадратов, я пришла к выводу, что общий метод построения квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные частные алгоритмы. квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу В китайской древней книге «Же-ким» («Книга перестановок») приводится легенда о том, что император Ню, живший 4 тысячи лет назад, увидел на берегу реки священную черепаху. На ее панцире был изображен рисунок из белых и черных кружков . Если заменить каждую фигуру числом, показывающим, сколько в ней кружков, получится такая таблица: У этой таблицы есть замечательное свойство. Сложим числа первого столбца: 4 +3 + 8=15. Тот же результат получится при сложении чисел второго, а также третьего столбцов. Он же получается при сложении чисел любой из трех строк. Тот же ответ 15 получается, если сложить числа каждой из двух диагоналей: 4+5+6=8+5+2=15. Минимальный нетривиальный случай имеет порядок n = 3. Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой. Название «магические» квадраты получили от арабов, Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях. На рисунке изображен магический квадрат 4-го порядка, известный еще древним индусам. Он интересен тем, что сохраняет свойство быть магическим после последовательной перестановки строк (столбцов). Общий метод построения квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные частные алгоритмы. Некоторые из них я представляю ниже. Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: четный, порядок которого равен степени числа 2; четный, порядок которого равен удвоенному нечетному; четный, порядок которого равен учетверенному нечетному; Изучая литературу по теме, я установила факт, что с увеличением размеров квадрата быстро растет количество возможных магических квадратов. Так, например, для 3 порядка - единственный, для 4 - 880, для 5 - приближается к четверти миллиона. МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ 3*3порядка 8 1 6 4 9 2 3 5 7 3 5 7 4 9 2 8 1 6 2 7 6 9 5 1 4 3 8 Такой магический квадрат был у древних китайцев символом огромного значения. Цифра 5 в середине означала землю, а вокруг нее в строгом равновесии располагались огонь (2 и 7), вода (1 и 6), дерево (3 и 8), металл (4 и 9). называется квадрат n*n клеток, в которых написаны числа от 1, до n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. Изображены два таких квадрата3*3. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными. 1 2 3 1 2 3 11 22 33 2 3 1 3 1 2 23 31 12 3 1 2 2 3 1 32 13 21 Портрет 1753 г., Впервые задачу отыскания ортогональных латинских квадратов поставил Л. Эйлер, причём в такой занимательной формулировке: «Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и, кроме того, поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить всех офицеров в каре 6 * 6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов?» Эйлер не смог найти решения этой задачи. В 1901 г. было доказано, что ортогональных квадратов 6*6 не существует Шифруемый текст вписывали в магические квадраты нужного размера в соответствии с нумерацией их клеток. Если затем выписать содержимое такой таблицы по строкам, то получится шифртекст, сформированный благодаря перестановке букв исходного сообщения. ПРОВОЖАЮ СЕДЬМОГО Шифртекст, получаемый при считывании содержимого правой таблицы по строкам, имеет вид: оорм оедю сжаь вгоп. Магический квадрат Пифагора. Изучая магические квадраты, я обнаружила еще один занимательный квадрат - квадрат Пифагора, представляющем исторический интерес и, возможно, полезном для составления психологического портрета личности по дате его рождения. Цифра, которая встречается только один раз (или не встречается вообще), говорит о том, что человеку в данной области необходимо приложить некоторые усилия, чтобы улучшить ситуацию. Две одинаковые цифры свидетельствуют о том, что это качество развито у него сильнее, чем у большинства людей. Это - его изюминка, козырь. Три и более одинаковых цифр - показатель самой яркой черты характера, доминирующей и определяющей жизненную позицию. Расшифровка цифр: 1 - личностные характеристики. 2 - эмоциональная сфера. 3 - гармония между чувством и разумом, некая точка равновесия. Эта характеристика не имеет отрицательного значения. 4 - выживаемость в экстремальных ситуациях. 5 - интуиция, шестое чувство. Умение разбираться в людях. 6 - логическое мышление. 7 - талант, понимаемый как умение делать что-то значительно лучше окружающих. 8 - целеустремленность, сила воли. 9 - способность к обучению, постижению материала и применению его на практике. большинство учащихся 5-х классов в основном слышали о магических квадратах, но не могли дать точного определения и не умели составлять магические квадраты высших порядков. 10 Ничего не слышали 10 Умеют строить магические квадраты четвертого порядка Знают о латинских квадратах 20 60 Слышали но не строили квадраты пятого порядка 1.В моей работе рассмотрены вопросы, связанные с историей развития магических квадратов которые, на протяжении тысячелетий занимают умы великих людей. Изучая теорию заполнения квадратов, я пришла к выводу, что существует несколько алгоритмов их построения. Можно сказать, что магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике. 2.Из литературы я выделила следующее схемы составления магических квадратов: а) чётные, чётно-нечётные(диагональный метод, порядок 2n), б)нечётные (метод достроения, метод А.де Лубера) а так же латинские квадраты. 3.Изучая магические квадраты, я выяснила, что существует занимательный квадрат - квадрат Пифагора, который можно использовать для составления психологического портрета личности человека. Я построила магические квадраты для всех членов моей семьи. И в результате анализа, я поняла, что его магические свойства совпадают на 68%. Можно сказать, что не следует слепо верить всему магическому. Ведь некоторые черты характера возможно и заложены в дате рождения человека, но мы всегда можем найти способы что-то изменить в своей судьбе. 4. Был проведен опрос учащихся пятых классов Лицея №185 города Новосибирска. В результате анкетирования большинство учащихся 5-х классов в основном слышали о магических квадратах, но не могли дать точного определения и не умели составлять магические квадраты среднего и высшего порядков. Спасибо за внимание! В магических квадратах можно увидеть красоту геометрической фигуры на основе взаимодействия науки и искусства.