3. Дискретизация расчётной области

Работу выполнил: Вилданов В.Р.
Научный руководитель: Сергеев О.Б.
1. Постановка задачи
2/21
2. Система уравнений нестационарного
потока идеального совершенного газа
  u  v  w



 0;
t
x
y
z
 u  ( p   u 2 )  uv  uw



 0;
t
x
y
z
 v  uv  ( p   v 2 )  vw



 0;
t
x
y
z
 w  uw  vw  ( p   w2 )



 0;
t
x
y
z
E   E  p  u   E  p  v   E  p  w



 0;
t
x
y
z
  u 2  v 2  w2 
p
E

 1
2
3/21
Граничные и начальные условия
Граничные условия:
p  p0 , 

  0 , 
q  0, 
при z  0,
qn  0 на стенках канала,
Начальные условия
p t  0  p  x, y , z  ,
 t  0    x, y , z  ,
q t  0  q  x, y , z  .
4/21
Вводим вспомогательные вектор-столбцы
 w 
 u 
 v 
  
  uw 
 p  u 2 
  uv 
 u 








2
σ    v  , a    uv  , b   p   v  , c    vw 







2 

uw

vw

w
p


w








 E 
  p  E u 
  p  E v 
 p  Ew








σ a b c

  0
t x y z
5/21
3. Дискретизация расчётной области
6/21
4. Метод Годунова
7/21
σ a b c

  0
t x y z
Закон сохранения
d
σ dxdydz   (a dydz  bdxdz  cdxdy )  0

dt 
S
8/21
 k
1
1
1
2 ,l  2 , m  2
  k  12,l  12,m 12 

Ω
 A2  A1  A4  A3  A6  A5 
A1   RU 1 S1x   RV 1 S1y   RW 1 S1z ,
A2   RU 2 S2x   RV 2 S 2y   RW 2 S 2z ,
A3   RU 3 S3x   RV 3 S3y   RW 3 S3z ,
A4   RU 4 S4x   RV 4 S 4y   RW 4 S 4z ,
A5   RU 5 S5x   RV 5 S5y   RW 5 S5z ,
A6   RU 6 S6x   RV 6 S6y   RW 6 S6z .
9/21
( u )k 
1
1
1
2 ,l  2 , m  2
 (  u ) k  1 2,l  1 2,m 1 2 

Ω
 B2  B1  B4  B3  B6  B5 
x
B1  PS
1 1  AU
1 1,
B2  P2 S 2x  A2U 2 ,
B3  P3 S3x  A3U 3 ,
B4  P4 S 4x  A4U 4 ,
B5  P5 S5x  A5U 5 ,
B6  P6 S6x  A6U 6 ,
10/21
(  v)
k  1 2 ,l  1 2 ,m  1 2
 (  v) k  12,l  12,m 12 

Ω
 C2  C1  C4  C3  C6  C5 
y
C1  PS
1 1  AV
1 1,
C2  P2 S2y  A2V2 ,
C3  P3 S3y  A3V3 ,
C4  P4 S4y  A4V4 ,
C5  P5 S5y  A5V5 ,
C6  P6 S6y  A6V6 ,
11/21
(  w)
k  1 2 ,l  1 2 ,m  1 2
 (  w) k  12,l  12,m 12 

Ω
 D2  D1  D4  D3  D6  D5 
z
D1  PS
1 1  AW
1 1,
D2  P2 S2z  A2W2 ,
D3  P3 S3z  A3W3 ,
D4  P4 S4z  A4W4 ,
D5  P5 S5z  A5W5 ,
D6  P6 S6z  A6W6 ,
12/21
 p
 u  v  w  




  1

2


 p
  u 2  v 2  w2  





  F2  F1  F4  F3  F6  F5  ,
  1

2
Ω

 k  12,l  12,m 12
2
2
2
k  1 2 ,l  1 2 ,m  1 2
F1  H1 A1 ,
F2  H 2 A2 ,
F3  H 3 A3 ,
F4  H 4 A4 ,
F5  H 5 A5 ,
F6  H 6 A6 ,

Pi U i2  Vi 2  Wi 2
Hi 

, i  1,6
  1 Ri
2
13/21
Определение параметров на гранях ячейки
Внутренняя грань: решается задача о распаде произвольного разрыва
со следующими параметрами
p1 , 1 ,U1n
p2 ,  2 ,U 2 n
Твёрдая стенка: решается задача о распаде произвольного разрыва
со следующими параметрами
p1 , 1 ,U1n
p1 , 1 , U1n
Входное сечение: решается задача о распаде произвольного разрыва
со следующими параметрами
p0 , 0 ,0
p1 , 1 ,U1n
Выходное сечение: решается задача о распаде произвольного разрыва
со следующими параметрами
p1 , 1 ,U1n
p* , * ,U n*
14/21
Выбор шага по времени
 x y z
  min
k ,l ,m        
x y
y z
x z
x 
y 
z 
hx
k  1 ,l  1 , m  1
2
2
2
uk  12,l  12,m 12  ak  12,l  12,m 12
hy
k  1 ,l  1 , m  1
2
2
2
vk  12,l  12,m 12  ak  12,l  12,m 12
hz
k  1 ,l  1 , m  1
2
2
2
wk  12,l  12,m 12  ak  12,l  12,m 12
,
,
,
15/21
5. Начальное приближение
F*    1 


F  2 

p
 1
2(  1)
M
  1 2 
M 
1 
2


   1 2 
 1 
M 
* 
2

p   1 2 
 1 
M 
p* 
2

 1
2(  1)
1
 1

 1
16/21
6. Результаты расчётов
17/21
График сходимости решения
0.00014
0.00012
0.00010
0.00008
0.00006
0.00004
0.00002
0.00000
0
50
100
150
200
Шаг
18/21
Распределение числа Маха вдоль оси и стенки канала
сопла
19/21
Распределение давления вдоль оси и стенки канала
сопла
20/21
Вывод
 Была проверена реализация разностной схемы
Годунова на осесимметричном канале.
 Для данного сопла решение практически совпало с
квазиодномерным с небольшими отклонениями.
 В дальнейшем планируется использовать данный
программный комплекс на несимметричных
каналах.
21/21