Решение показательных уравнений

 Образовательная – сформулировать у учащихся умение
решать показательные уравнения с использованием
различных методов и способов; подготовка к ЕГЭ
 Развивающая – развивать умения анализировать и
делать выводы; способствовать развитию логического
мышления и речи, внимания и памяти
 Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к
математике и положительного отношения к учёбе
«Недостаточно лишь понять задачу,
необходимо желание решить её…
Где есть желание, найдётся путь!
(Д. Пойа)
Какая функция называется показательной?
Какова область определения показательной функции?
Какова область значений показательной функции?
При каком условии показательная функция является
возрастающей?
 При каком условии показательная функция является убывающей?
 Какие из перечисленных показательных функций являются




𝑥
возрастающими и какие убывающими 𝑦 = 𝜋 ; 𝑦 = 49
𝜋
6
𝑥
−2
;𝑦=
(𝑐𝑜𝑠 )𝑥 ?




Какие уравнения называют показательными?
Решите уравнение 3𝑥 = 1
Какими способами можно решать показательные уравнения?
Укажите способ решения показательных уравнений:
𝑥
𝑥
9 − 3 − 45 = 0;
3
𝑥+1
−3
𝑥−2
= 26;
1
2𝑥+1
1
∗ 8𝑥+1
=2
1)
5𝑥+1
+ 5𝑥
+
5𝑥−1
1
1
= 31 7) 3𝑥 − (3)2−𝑥 = 4
2) 273−𝑥 = 81
3)
4)
5)
6)
9𝑥 − 3𝑥+1 = 54
4𝑥 − 3 ∗ 2𝑥 − 4 = 0
36 ∗ 2163𝑥+1 = 1
32𝑥+1 − 8 ∗ 3𝑥 = 3
8) 42𝑥+2 + 4𝑥+1 − 1 = 0
9) 3𝑥+2 − 5 ∗ 3𝑥 = 36
1 𝑥
𝑥+1
10) 49 = (7)
11) 7𝑥+2 −14 ∗ 7𝑥
12) 9 ∗ 811−2𝑥
Приведение к
одному основанию
Вынесение общего
множителя за
скобки
2, 5, 10, 12
1, 7, 9, 11
=5
= 272−𝑥
Введение новой
переменной
3, 4, 6, 8
Показательные уравнения
Методы решения
Стандартные
1. Сведение степеней к
одинаковому основанию.
2. Вынесение за скобку
степени.
3. Введение новой
переменной.
4. Составление отношений.
5. Использование
однородности.
Нестандартные
1. Функциональнографический.
2. Использование
монотонности.
Основные свойства
степени:
• 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
• 𝑎𝑚 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
• (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛
•
𝑎−1
=
1
𝑎
• 𝑎0 = 1
𝑛
𝑚
𝑛
•
=𝑎
Формулы верны, если
𝑎>0
𝑎𝑚
 Решить уравнение
𝟐𝒙−𝟏 = 𝟐 𝟐
𝟐𝒙−𝟏
=
𝟐𝒙−𝟏 =
𝟏
𝟐 ∙ 𝟐𝟐
𝟏
𝟏𝟐
𝟐
𝟏
𝒙−𝟏=𝟏
𝟐
𝟏
𝒙=𝟐
𝟐
𝒙 = 𝟐, 𝟓
Ответ: 2,5
1) 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥1,2 =
−𝑏± 𝐷
2𝑎
2) 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0
𝑥1 + 𝑥2 = −𝑝
𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑞
 Решить уравнение
𝟓𝟐𝒙 − 𝟐 ∙ 𝟓𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎
𝒚 = 𝟓𝒙 > 𝟎; 𝟓𝟐𝒙 = 𝒚𝟐
𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 − 𝟏𝟓 = 𝟎
𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 = 𝟐,
𝒚𝟏 ∙ 𝒚𝟐 = −𝟏𝟓,
𝒚𝟏 = −𝟑 − не удовл. условию
𝒚𝟐 = 𝟓
𝟓𝒙 = 𝟓
𝒙=𝟏
Ответ: 𝒙 = 𝟏
Вынесение за скобку общего
множителя
 Основные свойства степени
𝑎𝑚 ∗ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
(𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚∗𝑛
1
−1
𝑎 =
𝑎
 Решить уравнение
52𝑥+1 − 3 ∗ 52𝑥−1 = 110
52𝑥−1 ∗ 52 − 3 = 110
52𝑥−1 ∗ 22 = 110
52𝑥−1 = 5
2𝑥 − 1 = 1
2𝑥 = 2
𝑥=1
 Формулы верны, если а ≥ 0 .
 Ответ: 1
Ответ
Вариант 1
Вариант 2
1
2
3
4
6
2
5
1
-1
2
-2
1
1. Решите уравнение
9−1 ∗ 3𝑥 = 81
4−1 ∗ 2𝑥 = 8
2. Решите уравнение
2𝑥
+
2𝑥+2
= 20
3𝑥+2
−
3𝑥
= 24
1) Решить уравнение.
𝒙
𝒙
3) Найти сумму корней уравнения
𝒙
1. 𝟑 ∗ 𝟏𝟔 + 𝟐 ∗ 𝟖𝟏 = 𝟓 ∗ 𝟑𝟔
2. 𝟑𝒙 + 𝟑𝟑−𝒙 = 𝟏𝟐
𝒙
3. 𝟑 ∗
𝟏
𝟑
𝒙+𝟏
= 𝟐𝟒𝟑
𝟐 −𝟐𝒙
𝒙
𝟔
=𝟏
А) -2
Б) 2
В) 1
Г) 0
4. 𝟗𝒙 − 𝟑𝒙 − 𝟔 = 𝟎
2) Укажите промежуток, которому принадлежит корень
уравнения.
1. 𝟑𝒙+𝟐 + 𝟑𝒙+𝟏 + 𝟑𝒙 = 𝟑𝟗
2.𝟑𝟕𝒙+𝟔 = 𝟐𝟕
А) −2; 0
Б) −2; 4
В) (4;9)
Г) (0;2)
А) (-4;1)
Б) (-1;0)
В) (0;1
Г) (1;4)
3. 𝟑
𝟏
𝒙−𝟐
∗ 𝟑𝒙+𝟏 = 𝟏
А) −4; −2
Б) (-2;-1)
В) −1; 0)
Г) (1;2)
Графический способ решения используется в тех
случаях, когда уравнение 𝒂𝒙 = 𝒃, нельзя представить
в виде
𝒂𝒙 = 𝒂𝒎 .
Строят графики функций 𝒚 = 𝒂𝒙 , 𝒚 = 𝒃 на одной
координатной плоскости и определяют их точки
пересечения
Примеры:
𝟏 𝒙
𝟑
= 𝐱 − 𝟏,
Решить уравнение
𝟕
−𝒙 −
𝟒
𝟐
𝐱−
𝟑
𝟐𝒙 =
𝟏 𝒙
𝟑
=
Построим графики функций
𝒚=
𝟏 𝒙
𝟑
и
𝒚= 𝐱−
𝟐
𝟑
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-2
-1
-0.5
0
1
2
3
-1
Ответ: x = 1
Умение решать задачу – практическое
искусство, подобное плаванию, или
катанию на лыжах, или игре на
фортепиано: научиться этому можно,
лишь подражая избранным образцам и
постоянно тренируясь…
Д. Пойа
1;2
8
А
1
Б
В
Г
(2;1)
(1;2)
1) Определите знак корня уравнения:
1
1) (5)𝑥 = 10
3) 2,1𝑥 = 4
2) 0,4𝑥 = 0,1
4) 0,6𝑥 = 3
2) Найдите ошибку в решении уравнения:
4 𝑥+3 − 32 = 4 ∗ 2 𝑥+3 ;
2 𝑥+3 − 4 ∗ 2 𝑥+3 − 32 = 0
Пусть 2
𝑥+3
= 𝑡, где 𝑡 > 0, тогда 𝑡 2 − 4𝑡 − 32 = 0
Откуда 𝑡1 = −8, 𝑡2 = 4
т. к. 𝑡 > 0, то 2
Проверка показала, что
𝑥 = 1 – посторонний корень
Ответ: нет корней.
𝑥+3
= 4;
𝑥 + 3 = 2;
𝑥 = 1.
 Повторили основные способы решения показательных
уравнений;
 Рассмотрели примеры на каждый способ.
Посредством уравнений, теорем
Он уйму всяких разрешал проблем
И засуху предсказывал, и ливни –
Поистине его познания дивны.
(Госер)
1. а) 5𝑥−1 + 5 ∗ 0,2𝑥−2 = 26
б)3 ∗ 16𝑥 + 37 ∗ 36𝑥 = 26 ∗ 81𝑥
в)( 2 + 3)𝑥 +( 2 − 3)𝑥 = 4
2. Из сборника для экзаменов.
а) 2 𝑥−2 = 2 𝑥+4
б) 52+4+6+⋯+2𝑥 = 0,04−45
3. Теоретический материал.