Решение логарифмических уравнений

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ НАЗЫВАЮТ УРАВНЕНИЕ,
СОДЕРЖАЩЕЕ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ ЛОГАРИФМА
Примеры логарифмических уравнений:
log 2 𝑥 = 1 − 𝑥
log 2 (𝑥 + 6) = 3
log 𝑥 (𝑥 − 1) = 2
lg 𝑥 = lg 𝑥
Решить логарифмическое уравнение – это значит
найти все его корни или доказать, что их нет.
В рассматриваемых ниже способах решения
логарифмических уравнений применяются такие
преобразования, которые не приводят к потере корней,
а могут лишь привести к приобретению посторонних
корней.
Поэтому проверка каждого из полученных корней
обязательна, если нет уверенности в равносильности
уравнений.
СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ:
1. Решение логарифмических уравнений на
основании определения логарифма.
2. Метод потенцирования.
3. Приведение логарифмического уравнения к
квадратному.
4. Уравнения, решаемые приведением
логарифмов к одному и тому же основанию.
5. Уравнения, решаемые логарифмированием
его обеих частей.
РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НА
ОСНОВАНИИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА
Пример1. Решите уравнение log 3 (2𝑥 + 1) = 2
Решение.
По определению логарифма имеем:
2𝑥 + 1 = 32
2𝑥 = 8
𝑥=4
Проверка: log 3 (2 ∙ 4 + 1) = log 3 9 = 2
Ответ: 4.
РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НА
ОСНОВАНИИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА
Пример 2. Решите уравнение log 𝑥+1 (2𝑥 2 + 1) = 2
Решение.
По определению логарифма имеем:
2𝑥 2 + 1 = (𝑥 + 1)2
2𝑥 2 + 1 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1
𝑥 2 − 2𝑥 = 0
𝑥1 = 0,
𝑥2 = 2
Проверка: 1) Значение 𝑥 = 0 не может быть корнем данного
уравнения, т.к. основание логарифма 𝑥 + 1 не должно равняться 1.
2) log 2+1 (2 ∙ 22 + 1) = log 3 9 = 2
Ответ: 2.
РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. log 2 (3𝑥 + 7) = 4
2. log 𝑥−1 (3𝑥 2 − 8𝑥 + 1) = 2
МЕТОД ПОТЕНЦИРОВАНИЯ
Пример 3. Решите уравнение log 5 𝑥 = log 5 (6 − 𝑥 2 )
Решение.
Из равенства логарифмов чисел следует:
𝑥 = 6 − 𝑥2
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0
𝑥1 = −3,
𝑥2 = 2
Проверка: 1) Число −3 корнем данного уравнения быть не может,
т.к. логарифмы отрицательных чисел не существуют.
2) log 5 𝑥 = log 5 2, log 5 6 − 𝑥 2 = log 5 6 − 22 = log 5 2
Ответ: 2.
РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО
3. log 2 (𝑥 + 13) = 2 log 2 (𝑥 + 1)
4. log 3 𝑥 + 2 + log 3 (𝑥 + 1) = log 3 (𝑥 + 5)
ПРИВЕДЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
К КВАДРАТНОМУ
Пример 4. Решите уравнение lg 2 𝑥 = 3 − 2 lg 𝑥
Решение. Обозначим lg 𝑥 через y.
Данное уравнение принимает вид:
𝑦 2 = 3 − 2𝑦
𝑦 2 + 2𝑦 − 3 = 0
𝑦1 = −3,
𝑦2 = 1
lg 𝑥 = −3,
lg 𝑥 = 1
𝑥1 = 0,001,
𝑥2 = 10
Проверка: 1) lg 2 0,001 = 9, 3 − 2 lg 0,001 = 9, 𝑥 = 0,001- корень
2) lg 2 10 = 1, 3 − 2 lg 10 = 1, 𝑥 = 10 - корень
Ответ: 0,001; 10.
РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО
5. log 3 2 𝑥 − log 3 𝑥 = 2
6.
1
lg 2 𝑥
12
=
1
3
1
− lg𝑥
4
УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ ПРИВЕДЕНИЕМ
ЛОГАРИФМОВ К ОДНОМУ И ТОМУ ЖЕ
ОСНОВАНИЮ
Пример 5. Решите уравнение log16 𝑥 + log 4 𝑥 + log 2 𝑥 = 7
Решение.
log2 𝑥
log 𝑥
+ 2
log2 16
log2 4
+ log 2 𝑥 = 7
1
1
log 𝑥 + log 2 𝑥 + log 2 𝑥 = 7
4 2
2
7
log 2 𝑥 = 7
4
log 2 𝑥 = 4
𝑥 = 16
Проверка: log16 16 + log 4 16 + log 2 16 = 1 + 2 + 4 = 7
Ответ: 16.
УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ ПРИВЕДЕНИЕМ
ЛОГАРИФМОВ К ОДНОМУ И ТОМУ ЖЕ
ОСНОВАНИЮ
Пример 6. Решите уравнение log 3𝑥 3 = log 𝑥 2 3
log3 3
Решение.
log3 3𝑥
=
log3 3
log3 𝑥 2
1
1+log3 𝑥
=
1
2 log3 𝑥
2 log 3 𝑥 = 1 + log 3 𝑥
log 3 𝑥 = 1
𝑥=3
Проверка: log 3∙3 3 = log 9 3
Ответ: 3.
РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО
7. log 3 𝑥 − 2 log 1 𝑥 = 3
3
8. log 𝑥 2 9 + log 3𝑥 81 = 3
УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ ЛОГАРИФМИРОВАНИЕМ
ЕГО ОБЕИХ ЧАСТЕЙ
Пример 7. Решите уравнение 𝑥 lg 𝑥+2 = 1000
Решение. Логарифмируя обе части уравнения (𝑥 > 0), получим:
lg 𝑥 + 2 ∙ lg 𝑥 = lg 1000
lg 2 𝑥 + 2 lg 𝑥 − 3 = 0
Заменим lg 𝑥 = y. Уравнение принимает вид:
𝑦 2 + 2𝑦 − 3 = 0
𝑦1 = −3,
𝑦2 = 1
lg 𝑥 = −3,
𝑥1 = 10−3 = 0,001
lg 𝑥 = 1,
𝑥2 = 10
Проверка:
1) 0,001lg 0,001+2 = 0,001−3+2 = 0,001−1 = 1000, 𝑥 = 0,001- корень
2) 10lg 10+2 = 101+2 = 103 = 1000, 𝑥 = 10 - корень
Ответ: 10; 0,001.
РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО
9. 𝑥
lg𝑥+5
3
= 105+lgx