ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ Математические основы информатики

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О
СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ
Математические основы
информатики
Способ представления любого числа с
помощью алфавита символов, называемых
цифрами
• Бывают позиционные и непозиционные
Позиционные системы
Это системы, в которых
количественное значение цифры
зависит от её положения в числе
.
Непозиционные
• Это системы, в которых количественное
значение цифры не зависит от её
положения в числе
Римская Система
Единицы
Десятки
Сотни
Тысячи
1-I
23-
10 - X
20 30
100 - C
200 300 -
1000 - M
2000 3000 -
4 - IV
5-V
6 – VI
40 - XL
50 - L
60 – LX
400 - CD
500 - D
600 -
7 - VII
8 - VIII
9 - IX
70 - LXX
80
90 - XC
700 800 900 - CM
Славянский алфавит
Позиционные системы счисления
• Цифры (алфавит) – это набор символов для
обозначения чисел
• Основание – количество различных цифр в
алфавите
ЗАПИСЬ
• 170 10
• 11100 2
• 175 8
• 349С16
Система
счисления
Десятичная D
Основание
10
Двоичная B
2
Восьмеричная O 8
Шестнадцате16
Ричная H
Алфавит цифр
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
0,1
Развернутая форма числа
• Развернутая форма – сумма числового
ряда степеней основания
53210=5*100+3*10+2*1=
2
1
0
= 5 *10 + 3 *10 + 2 *10
•
•
•
•
•
•
1010112
17816
2568
7А16
12D16
101112
Перевод из десятичной системы в
двоичную, восьмеричную,
шестнадцатеричную , n-ричную системы
• 1. Последовательно выполнить деление
исходного целого десятичного числа и
получаемых частных на основание другой
системы, до тех пор, пока не получится
частное меньше делителя.
• 2. Записать полученные остатки в обратной
последовательности в соответствии с
алфавитом новой системы счисления.
Перевод из десятичной системы
счисления в двоичную
Переведите десятичные числа в двоичную, восьмеричную и
шестнадцатеричную системы счисления.
•
•
•
•
88
300
650
2013
Запишите десятичной эквивалент
следующих чисел
• 1728
• 2ЕА16
• 1010102
Укажите какое из чисел является
?наибольшим ?наименьшим
•
•
•
•
11000112
1114
358
1В16
1. Десятичное число 49 в некоторой системе
счисления записывается как 100.
Определите основание системы счисления.
2. В системе счисления с некоторым
основанием десятичное число 18
записывается в виде 30. Укажите это
основание.
3. Сколько единиц в двоичной записи
десятичного числа 636
Заполните таблицу
Найдите основание x системы
счисления, если:
• 1) 14х=910
• 2) 2002х=13010
Верны ли следующие равенства:
• 334=217
• 338 = 214
Десятичная
Двоичная
Восьмеричная
Шестнадцатеричная
Основание 10
Основание 2
Основание 8
Основание 16
1
0001
1
1
2
0010
2
2
3
0011
3
3
4
0100
4
4
5
0101
5
5
6
0110
6
6
7
0111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
Перевод из двоичной в
восьмеричную систему
• 1. Двоичное число разбить справа налево
на группы по 3 цифры (триады)
• 2. Если в последней левой группе окажется
меньше цифр, то дописать нулями.
• 3. Рассмотреть каждую группу как двоичное
число и перевести в десятичную систему,
записать его в соответствии с системой
счисления.
Перевод из двоичной в
шестнадцатеричную систему
• 1. Двоичное число разбить справа налево
на группы по 4 цифры (тетрады)
• 2. Если в последней левой группе окажется
меньше цифр, то дописать нулями.
• 3. Рассмотреть каждую группу как двоичное
число и записать его в соответствии с
системой счисления.
Переведите в восьмеричную и
шестнадцатеричную систему счисления:
• 1010012
• 11100102
• 1111012
Переведите в двоичную систему:
•
•
•
•
46278
EF1216
9AC16
6538
Двоичные триады
Двоичное
Двоичноечисло
число
000
000
001
001
010
010
011
011
100
100
101
101
110
110
111
111
Восьмеричные
Восьмеричные
цифры
цифры
00
11
22
33
44
55
66
77
Переведите в двоичную систему счисления
46278
EF1216
9AC16
6538
Двоичное число
000
001
010
011
100
101
110
111
Восьмеричные
цифры
0
1
2
3
4
5
6
7
Двоичное число
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
Шестнадцатеричные
числа
0
1
2
3
4
5
6
7
Двоичное число
1000 1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Шестнадцатеричное
число
8
A
B
C
D
E
F
9
Арифметические операции
Арифметические операции в
системах счисления
• ДЛЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ
ОПЕРАЦИЙ НАД ЧИСЛАМИ В РАЗЛИЧНЫХ
СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ, НЕОБХОДИМО
ПРЕДВАРИТЕЛЬНО ПЕРЕВЕСТИ ИХ В ОДНУ
И ТУ ЖЕ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ.
Сложение
• При переполнении разряда производится
перевод в старший разряд
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
1+1+1=11
Вычислите
1.
2.
3.
4.
5.
6.
10102 + 11012
10112+11112
1010102+11012
101012+1112
1011012 + 111012
101112+11112
Вычитание
• При вычитании производится заём из
старшего разряда
• 0-0=0
• 1-0=1
• 1-1=0
• 0-1= -11
Вычислите
•
•
•
•
•
•
10102 - 1012
10112-1012
1000102-11012
101012-1112
1011012 - 11112
101112- 11112
Вычислите
•
•
•
•
10102 * 112
1112*1012
10102 *1112
111012*112
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
• ВЕЛИЧИНА ПЕРЕНОСА В СЛЕДУЮЩИЙ
РАЗРЯД ПРИ СЛОЖЕНИИ И ЗАЁМ
СТАРШЕГО РАЗРЯДА ПРИ ВЫЧИТАНИИ
ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ВЕЛИЧИНОЙ ОСНОВАНИЯ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.
Вычислите
•
•
•
•
•
•
58 + 4 8
37 8 + 25 8
17 8 + 41 8
25 8 + 65 8
F 16 + A 16
9 C 16 +7 16
Перевод дробной части числа из десятичной системы
счисления в любую другую систему счисления.
• 1. Последовательно умножить исходное
десятичное число и дробную часть на
основание новой системы до тех пор, пока
не получится нулевая дробная часть или
не будет достигнута требуемая точность.
• 2. Записать полученные числа (в
соответствии с системой счисления)сверху
вниз
Перевод произвольных чисел из
десятичной во все остальные
системы счисления
• 1. Последовательно выполнить умножение
исходного десятичного числа и дробную
часть на основание новой системы до тех
пор, пока не получится нулевая дробная
часть и не будет достигнута требуемая
точность.
• Записать полученные числа в новой
системе счисления
Перевод в десятичную систему
произвольных чисел
• 10,112=1*21+0*20+1*2-1+1*2-2=2+0+1/2+1/4=2,7510
•
•
•
•
•
•
19F,216
67,58
101,012
56,88
1011,012
8F,A16
Перевод дробной части числа из десятичной системы
счисления в любую другую систему счисления.
• Таким образом, число 0,9610 = 0,1111012 = 0,753418 =
0,F5C28F16