Параметр плюс модуль-презентация

Параметр плюс модуль
Параллельный перенос вдоль
оси ординат
y  f (x)
y  f ( x)  a
x0 , y0 
x0 , y0  a 
y  f ( x)  a
y  f (x)
Для построения графика функции
необходимо график функции
перенести вдоль оси OY на вектор (0; а)
Параллельный перенос
вдоль оси абсцисс
y  f (x)
y  f ( x  a)
x0 , y0 
x0  a, y0 
Для построения графика функции
необходимо график функции
y  f ( x  a)
y  f (x)
перенести вдоль оси OX на вектор (а; 0)
Построить график функций, сдвигом вдоль:
а) оси ординат;
б) оси абсцисс
y  x 2
y x
y  x 3
y  x2
y x
у
у
1
-4
-2
1
х
1
-3
y  x 3
3
-4
-2
х
1
-3
3
Задать формулой «семейство» графиков
у
(Устная работа)
У=-х+а
у
У=lхl+а, а≤0
а
0
0
у
0
х
х
у
У=lх+аl, а≤0
а
а
х
0
У=(х+а)²,а≤0
а
х
Задать формулой «семейство» графиков
у
У=х+а
(Устная работа)
у
У=lхl+а
а
х
0
0
а
х
у
у
У=lх+аl, а≥0
а 0
х
а
0
У=(х+а)²,а≥0
х
Задать формулой «семейство» графиков
( Устная работа)
у
У=lхl+а, а≥0
у
У=-2х+а
2
а
0
1
х
0
а
у
у
У=lх+аl
х
У=√х+а
а
а 0
х
0
х
Построение графика
y  | f ( x) |
 f ( x), если f ( x)  0;
y  | f ( x) | 
 f ( x), если f ( x)  0.
y  | f ( x) |
Для построения графика функции
необходимо часть
графика функции
, лежащую в области y  0 , оставить
неизменной, а часть графика функции y  f (x) , лежащую в
области
, симметрично отобразить относительно оси OX
y  f (x)
y0
Построить графики функций
y  | f ( x) |
y  x  4; y  x  4
y  x  1  2; y  x  1  2
2
2
у
у
4
1
-4
-2
1
-3
1
х
3
-4
-2
х
1
-3
3
Построение графика
y  f | x | 
 f ( x), если x  0;
y  f | x |  
 f ( x), если x  0.
Для построения графика функции y  f | x |
необходимо часть графика функции y  f ( x),
лежащую в области x  0, оставить неизменной,
и её же отобразить симметрично относительно
оси OY в область x  0
Построить графики функций
y  f | x | 
y   x  2,5   4; y   x  2,5  4;
2
2
y  42 x2 ; y  42 x 2
у
у
4
1
-4
-2
1
-3
1
х
3
-4
-2
х
1
-3
3
Задать формулой «семейство» графиков
(Устная работа)
у
у
х²+(у-в)²=4, где (0;в)-центр
lхl+lуl=а, а≥0
в
0
2
х
0
(х-а)²+у²=1, где (а;0)-центр
у
а
0
х
У=√а²-х²
у
1
а
а
х
0
х
Задать формулой «семейство»графиков
(Устная работа)
у
у
lхl+lу+1l=а, а≥0
(х+2)²+(у-в)²=4, где (-2;в)-центр
а
х
-2
0
0
у
х
У=(х+а)³
у
У=-√а²-х²
0
-1
а
х
а
0
а
х
Построить на плоскости множество точек заданных уравнением:
x  3  y  3 1
Заметим, что график симметричен относительно осей координат.
Для I четверти система примет вид:
Отображая полученные
линии, получаем искомое
множество точек.
y  4 x 3


 y  2  x  3
у
1
-7
x  3  y  3 1
-5
1
-1
-1
5
7
х
Найти все значения а, при которых уравнение
(а  4 х  х  1)(а  1  х  2 )  0
2
имеет ровно три корня?
a  x2  4 x  1  0

 a  x  2  1  0
Данное уравнение равносильно совокупности
Выражая параметр а, получаем:
a  x2  4 x  1

 a  x  2  1
а
График этой совокупности –
объединение уголка и параболы.
Прямая
а  1
пересекает полученное
объединение в трех точках.
Ответ:
а  1
1
х
1
-2 -1
-1
2
3
4
5
а = -1
Сколько решений имеет уравнение
(а  2х  х2 )(а  1  х 1)  0
в зависимости от значений параметра
а?
Данное уравнение равносильно
совокупности следующих двух уравнений:
а
a  2 х  x2
.

 a  x  1  1
1
График этой совокупности –объединение
уголка и параболы.
0
По рисунку «считываем» ответ
х
-1
Ответ:
если a  1, a  0 и а  1, то два корня
если а  1, то три корня
если
1  a  0 и
0  a  1, то
четыре корня
Найдите все значения параметра а, при
2 х  а  1  х  3 имеет
которых уравнение
единственное решение.
у
2х  а  х  3 1
4
А(-4; 0), В(-2; 0) и
координаты этих
точек
удовлетворяют
уравнению
у  2х  а .
 8  а  0
 а  8

.

 а  4
 4  а  0
Ответ:
А
В
-4
-2
2
-1
а  8, а  4
х
 х  у а,


2  у 2 1

х

Сколько решений имеет система
в зависимости от параметра а?
y
a1
решений нет при
2
Графиком
первого уравнения
4 решения
при
является семейство квадратов
с вершинами
8 решений
при в точках
а=1
2
1 a  2
4 решения при
1
а 2
 а;0 ,  0; а  ,  а;0 ,  0; а 
решений нет при
a  2 -2
Графиком второго уравнения
нет, если
являетсярешений
неподвижная
окружность с
Ответ:
центром в a
начале
координат
и 2

1
или
a

радиусом 1
a
 2
a
a
a
-1
4 решения, если
а  1 или а  2
 2
8 решений, если
1 a  2
-2
x
1
2
2
При каких значениях параметра а система уравнений
lхl+lуl=3 имеет 4 решения? 8 решений? Не имеет решений?
х²+у²=а
R=√а
√а
у
В 3
1,5√2
-3
0
-3
ΔАВС-прямоугольный,
равнобедренный;
Проведем ОК┴АВ,
ОВ=3, АВ=3√2
ОК=КВ=АК=1,5√2;
К
3
А
а≥0 1,5√2<R<3
а=R², 4,5<a<9;
х
Ответ:
1) 4 решения
при а=4,5 и а=9;
2) Система уравнений
Имеет 8 решений при
4,5<a<9;
3) Не имеет решений
при а<4,5 и а>9.
При каком наибольшем значении а система уравнений
имеет решение?
х²+у²-6х+2у+9≤0,
х²+у²+2х-4у=а
у
Решение:
(х-3²+(у+1)²≤1,
(х+1)²+(у-2)²=а+5
R=√а+5
АВ=√(3+1)²+(2+1)²=5
АС=5+1=6
√а+5=6, а=31.
Ответ: а=31.
А
2
3
-1 0
-1
х
В
С
Найти все значения параметра р, при каждом из которых
множество решений неравенства
p  x2  p  x  2  0


х 1
не содержит ни одного решения неравенства
Применим обобщенный метод областей.
р
Построим граничные линии
р  х2 и р  2  х
Определим знаки в полученных
областях,
и получим решение
.
данного неравенства.
Осталось из полученного множества
исключить решения неравенства х  1
р=3
3
2
1
По рисунку легко считываем ответ
р  0, р  3
Ответ:
р  0, р  3
р=0
-1
х
1
2
При каких положительных значениях параметра
а, система уравнений имеет ровно четыре
решения?
 4 
Запишем
систему в виде: 
х2  у
4 х2  у  0

 2
2
2
х

у

а
 4  х  1


у
2
2
2
(
х

2)

у

а
.
а

2
2

решений нет при

Построим графики обоих уравнений.
Шаги построения первого уравнения:
4 решения при
2
а2 2
Строим уголок у  4  х  2 , затем
у  4 х2
и
симметрично
отображаем
относительно
8 решений при
2 2  a  4. оси
абсцисс.
-2
2
х
Второе уравнение задает семейство
окружностей
с центром (2;0) и
4 решения при
а4
радиусом а.
Итак:
при а  2 2 решений нет; при а  2 2 и а  4 система имеет 4 решения;
система имеет 8 решений при 2 2  a  4.
Ответ: а  2 2 и а  4
Найти все значения параметра
которых система
а
при каждом из
 x 2  y 2  6 x  6 y  17  0
 2 2
2
 x  a   y
имеет хотя бы одно решение.
у
Запишем систему в виде
( х  3) 2  ( у  3)2  1
 2
2
2
 x  у  а
4

Построим графический образ
соответствий,
входящих
в
систему.
Очевидно, что условие задачи
Ответ:
выполняется
при
4 2  а   2 и
2 а4 2
3
R4 2

х
R 2
0

3 4

Найти сумму целых значений параметра а
при которых уравнение имеет три корня
2
a

2
x

x
 19   a  3  x  4   0

 a  x 2  2 x  19  0

 a  3  x  4  0
Исходное уравнение равносильно совокупности:
Выражая параметр а, получаем:
 a  x 2  2 x  19

 a  x  4  3
у
а
= ?Z
3
Из рисунка видно, что уравнение имеет три
корня в 3 случаях.
а = ?5
2
1) При а = 3, «вершина уголка»;
2) При x < 4,
x 2  2 x  19  ( х  4)  3
x  x  26  0, x1,2  Z  
3) При х > 4,
x2  2 x  19  x  4  3,
x2  3x 18  0, x1  3  , x2  6
2
Тогда а = 6 - 4+3 = 5.
а =3
1
3
2
-20
4
х
Ответ. 8.
f
Найдите все значения a, при каждом из которых функция
x  x 2  2 x  a 2  8 x имеет более двух точек экстремума.

Решение.
1. Функция f имеет вид:
а) при
, поэтому ее график есть часть параболы
с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x=5;
б) при
, поэтому ее график есть часть параболы с
ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x=3.
Все возможные виды графика функции f(x) показаны на рисунках:
Найдите все значения a, при каждом из которых функция
f ( x)  x 2  2 x  a 2  8 x
имеет более двух точек экстремума.
 5
2) График обеих квадратичных функций проходят через точку (a2;f(a2)) .
3) Функция y=f(x)имеет более двух точек экстремума, а именно – три, в
единственном случае (рис. 1):
2
3  a  5  3  a  5.
Ответ:
 5  a   3;
3  a  5.
.
Задача 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых
 y 2  xy  4 x  9 y  20  0, система
имеет единственное решение.

 y  ax  1,
x  2

Решение. Преобразуем исходную систему
Уравнение (y-4)(x+y-5)=0 задает пару пересекающихся прямых y=4 и y=5-x.
Система
задает части этих прямых, расположенные правее прямой x=2,т.е. лучи
BD и СЕ (без точек B и С), см. рис.
Уравнение y=ax+1 задает прямую m с
угловым коэффициентом a, проходящую
через точку A(0;1). Следует найти все
значения a, при каждом из которых
прямая m имеет единственную общую
точку с объединением лучей BD и CE.
a) Прямая AB задается уравнением
y=1,5x+1. Поэтому при
прямая m не пересечет ни луч BD, ни
луч CE.
б) Прямая AC задается уравнением
y=x+1 Поэтому при
прямая m пересечет луч BD, но не
пересечет луч CE.
в) При 0<a<1 прямая m пересечет и луч BD, и луч CE.
г) При 1  a  0 прямая m пересечет только луч CE, а при
пересечет ни луч BD, и ни луч CE.
Ответ.
 1  a  0, 1  a  1,5.
она не
Найдите все значения а, такие, что уравнение
|x+3| - 1=|2x - a| имеет единственное решение.
Для выполнения условия
задачи вершина графика
правой части уравнения
должна находиться в точке
х = -2 или х = -4.
 4  a  0,
a  8,


a  4.
Т.е.  8  a  0

Ответ: - 8 и – 4.
1. Найдите все значения параметра a, при
которых графики функций
и y=|x+a|
имеют одну общую точку.
2. При каких значениях параметра a уравнение
имеет три решения.
Найти эти решения.
Ответ: при а=-1,5 уравнение имеет три
решения:х=-2 ; х=4; х=10
Найдите все значения р, при каждом из которых для любого q система
имеет решения.
2
 2
 x  y  1,

 y  q x  p
Решение.
График функции, заданной первым уравнением – окружность радиуса 1 с
центром в начале координат. График функции, заданной вторым уравнением
должен пересекать эту окружность при любом q, т.е. при любом угле наклона
прямых этой ломаной.
Нетрудно видеть, что это условие для
любого угла наклона выполняется при
сдвиге вершины ломаной по оси у не
более чем на единицу вниз или вверх .
Ответ:
 1  p  1.
При каких уравнение
имеет ровно три корня?
õ2  2 õ  3  3  2 a  x  a
Сколько решений в зависимости от параметра a имеет уравнение