Прилож определ интеграла

Приложения определенного
интеграла.
Шульц Денис Сергеевич
Факультет дистанционного обучения ТУСУР
План занятия.
 Вычисление площадей плоских фигур
 Вычисление объёмов
 Вычисление длины дуги кривой
Вычисление площадей
плоских фигур
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
𝑦 = 16 − 𝑥 2
𝑥+𝑦+4=0
Вычисление площадей
плоских фигур
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
𝑦 = 16 − 𝑥 2
1. Строим фигуру
𝑥+𝑦+4=0
𝑦 = 16 − 𝑥 2
𝑦 = −𝑥 − 4
2. Найдем точки пересечения
−𝑥 − 4 = 16 − 𝑥 2
⇒
𝑥1 = −4
𝑥2 = 5
−4 ≤ 𝑥 ≤ 5
Верхняя граница
𝑦2 = 16 − 𝑥 2
Нижняя граница
𝑦1 = −𝑥 − 4
𝑏
3. Площадь фигуры
𝑆=
𝑦2 𝑥 − 𝑦1 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
5
5
16 − 𝑥 2 − −𝑥 − 4 𝑑𝑥 =
𝑆=
−4
−𝑥 2 + 𝑥 + 20 𝑑𝑥
−4
5
𝑆=
−4
3
2
𝑥
𝑥
5
2
−𝑥 + 𝑥 + 20 𝑑𝑥 = − + + 20𝑥
=
3
2
−4
53 52
−4
= − + + 20 ∙ 5 − −
3
2
3
3
−4
+
2
2
+ 20 ∙ −4
= 121.5
Вычисление длины дуги
кривой
Найти длину линии 𝑦 = ln 2 cos 𝑥
пересечения с осью OX
между соседними точками
Вычисление длины дуги
кривой
Найти длину линии 𝑦 = ln 2 cos 𝑥
пересечения с осью OX
между соседними точками
Вычисление длины дуги
кривой
Найти длину линии 𝑦 = ln 2 cos 𝑥
пересечения с осью OX
между соседними точками
Вычисление длины дуги
кривой
Найти длину линии 𝑦 = ln 2 cos 𝑥
пересечения с осью OX
ln 2 cos 𝑥 = 0
между соседними точками
Вычисление длины дуги
кривой
Найти длину линии 𝑦 = ln 2 cos 𝑥
между соседними точками
пересечения с осью OX
ln 2 cos 𝑥 = 0
⇒
2 cos 𝑥 = 1
⇒
cos 𝑥 = 1/2
Вычисление длины дуги
кривой
Найти длину линии 𝑦 = ln 2 cos 𝑥
между соседними точками
пересечения с осью OX
ln 2 cos 𝑥 = 0
⇒
2 cos 𝑥 = 1
⇒
cos 𝑥 = 1/2
𝜋
𝑥1 = −
3
𝜋
𝑥2 =
3
Вычисление длины дуги
кривой
Найти длину линии 𝑦 = ln 2 cos 𝑥
между соседними точками
пересечения с осью OX
ln 2 cos 𝑥 = 0
⇒
2 cos 𝑥 = 1
⇒
cos 𝑥 = 1/2
𝜋
𝑥2 =
3
𝜋
𝑥1 = −
3
Если 𝑦 = 𝑦 𝑥 , то
𝑏
𝐿=
1+
𝑎
𝑦′
2
𝑥
Вычисление длины дуги
кривой
𝑏
𝑦 = ln 2 cos 𝑥
𝐿=
𝑎
𝑦′
𝑥
= ln 2 cos 𝑥
1+
+𝜋/3
−𝜋/3
y′
2
x
𝑑𝑥
cos 𝑥
=
′
1
1 + 𝑦′𝑥
2
1
=
−2 sin 𝑥 = −𝑡𝑔𝑥
2 cos 𝑥
+ tg 2 x
=
1
1
=
2
cos x cos x
⇒
берем интеграл, используя универсальную
тригонометрическую подстановку
Вычисление длины дуги
кривой
+𝜋/3
−𝜋/3
𝑑𝑥
𝜋 𝑥
= ln 𝑡𝑔 +
cos 𝑥
4 2
+𝜋/3
5𝜋
𝜋
= ln 𝑡𝑔
− ln 𝑡𝑔 ≈ 2,62
−𝜋/3
12
6
Вычисление объёмов
Найти объём тела вращения вокруг оси OX фигуры,
ограниченной линиями:
𝑦 = 2−𝑥
𝑦 =𝑥+4
𝑦=0
Вычисление объёмов
Найти объём тела вращения вокруг оси OX фигуры,
ограниченной линиями:
𝑦 = 2−𝑥
1. Строим фигуру
𝑦 =𝑥+4
𝑦=0
Вычисление объёмов
−4 ≤ 𝑥 ≤ 2
Фигура сверху ограничена
двумя линиями ⟹ объём тела
вращения = сумме объёмов
2. Найдем точки пересечения
𝑥+4= 2−𝑥
𝑥1 = −7
⇒
𝑥 + 4, 𝑥 ∈ −4, −2
𝑦 𝑥 =
2 − 𝑥, 𝑥 ∈ −2, 2
𝑥2 = −2
Вычисление объёмов
𝑏
𝑦 2 𝑥 𝑑𝑥
𝑉=𝜋
𝑎
−2
2
2
𝑥 + 4 2 𝑑𝑥 + 𝜋
𝑉=𝜋
−4
32
= ⋯…………….=
𝜋
3
−2
𝑥 2 + 8𝑥 + 16 𝑑𝑥 + 𝜋
2 − 𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋
−2
2
−4
2 − 𝑥 𝑑𝑥 =
−2
Успехов в учёбе!!!
Шульц Денис Сергеевич
Томский государственный университет
систем управления и радиоэлектроники
Факультет дистанционного обучения
Кафедра прикладной математики и
информатики
sds@pmii.tusur.ru
sds@2i.tusur.ru
Факультет дистанционного обучения ТУСУР