О КРУЖНОСТЬ Учимся решать планиметрические задачи. Подготовка к ЕГЭ. Задание №16.

Учимся решать планиметрические задачи.
Подготовка к ЕГЭ. Задание №16.
ОКРУЖНОСТЬ
Учитель: Шарова Светлана Геннадьевна,
1
МБОУ гимназия, г. Урюпинск, Волгоградская область
Задача №1
Две окружности касаются внешним образом в точке A. Прямая l касается первой
окружности в точке B , а второй – в точке C.
a) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
b) Найдите площадь ∆ ABC, если радиусы окружностей 8 и 2.
Решение.
Проведем общую касательную к окружностям через точку A.
1 способ
B
По свойству отрезков
D
касательных: AD=BD, AD=DC.
C
l
Точка D равноудалена от всех
вершин ∆ ABC.
O1
A
O2
Точка D –центр описанной
окружности около ∆ABC, при
этом BC – диаметр этой
окружности.
Угол A, опирающийся на
диаметр, - прямой.
2 способ
B
C
l
α
𝜷
α
O1
∆
𝜷
A
O2
ABO1 – равнобедренный, ∠A = ∠B =α, ∆ ACO2 - равнобедренный, ∠С = ∠A =𝜷
∠ O1BC =90⁰, ∠ABC = 90⁰-α; ∠ O2CB =90⁰, ∠ACB = 90⁰-𝜷
∠BAC = 180⁰- (90⁰-α+90⁰-𝜷) = α+𝜷
α+𝜷+α+𝜷 =180⁰⇒α+𝜷 = 90⁰, ∠ A =90⁰.
3 способ
B
С
∠O1= α, ∠O2 =1800- α.
A
O1B ⊥l, O2C ⊥ l
1 способ
B
D
O2E ║ l
C
8
l
E
∆ O1EO2 - прямоугольный
2
O2E = BC =
O1
∆ O1EO2
8
A
2
O2
sinADB = sinADC, так как
∠ADB+∠ADC = 180⁰
2 способ
B
H
AH ║ BO1
С
2
8
E
8
A
O2A:AO1 = CH: HB = 2:8
2
CH: HB = 1:4⇒CH = x, HB = 4x
x+4x=8 ⇒ x = 1,6
CH=1,6. BH = 6,4
Ответ: 12,8
3 способ
8
B
С
2
8 E
по теореме косинусов
6
A
8
Ответ: 12,8
2
Задача 2. Окружность проходит через вершину С прямоугольника ABCD, касается
стороны AB, пересекает сторону CD в точке M и касается стороны AD в точке K/
a) Докажите, что ∠CKD = ∠KMD.
b) Найдите сторону AB, зная, что AD = 18, DM=4.
Решение.
С
B
∠KCD – вписанный, измеряется
половиной градусной меры дуги KM
O
M ∠MKD – угол между секущей и
касательной, измеряется половиной
градусной меры дуги KM
D
A
K
∠ KCD =∠MKD ⇒ ∠ CKD = ∠KMD
Пусть радиус окружности – r. KD = 18-r
С
B
r
∆ CKD~∆KMD (по двум углам).
r
P
O
r
r
r
M
4
A
D
r
K
18
Ответ: 16
Так как CO = MO = r, то высота OP ∆ OCM,
проведенная к основанию , является и
медианой. Пусть CP = PM = x.
KD:MD = CD:KD.
Задача 3.
Окружности
с центром O1 и окружность
с центром O2 касаются внешним образом.
Из точки O1 к
проведена касательная O1A, а из точки O2 к
проведена касательная
O2B (A и B – точки касания).
a) Докажите, что углы O1AB и O1O2B равны.
b) Найдите площадь четырехугольника O1O2AB, если известно, что точки A и B лежат по
одну сторону от прямой O1O2, а радиусы окружностей равны соответственно 2 и 3.
Решение.
∠O1AO2=900, ∠O1BO2 =900
∆O1O2B и ∆O1O2A имеют общую гипотенузу
Значит, все точки попадают на одну
окружность с диаметром O1O2 .
Следовательно,
∠O1O2B = ∠O1AB, как вписанные углы,
опирающиеся на одну дугу.
B
A
Пусть ∠O1O2B = ∠O1AB=α,
∠O2BA = ∠O2O1A =𝜷.
2
3
2
3
K
B
A
Задача 4 . На диаметре AB окружности
выбрана точка C. На отрезках AC и BC
как на диаметрах построены окружности
и
соответственно. Прямая l
пересекает окружность в точках A и D, окружность
в точках A и E, а
окружность
- в точках M и N.
a) Докажите, что MD=NE.
b) Найдите радиус круга, касающегося окружностей , и , если известно, что AC = 10,
BC = 6.
Решение.
∠AEC = ∠ADB = 90⁰
(опираются на диаметры)
E
M
N D
F
EDBC – прямоугольная трапеция
Проведем среднюю линию трапеции
A
B
O1
O
C
O2
Тогда EF=DF.
- высота
равнобедренного ∆
MF=FN.
Итак, EM=ND.
MD = MN+ND = MN+EM = NE, то есть
MD = NE.
Пусть радиус окружности
- это r.
Исходя из условия AO = OB = OK = 8,
10
6
A
O1
O
B
C
O2
Q
K
Тогда
3
O1
O
по теореме косинусов
5
O2
8-r
5+r
3+r
Q
Ответ: 120/49
Так как
, то
Задача5
Окружность касается стороны AB параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD
и BC в точках M и N соответственно и проходит через вершины C и D.
a) Докажите, что DN = CM.
b) Найдите DN, зная, что AM = 9, BN = 16, BC = 18.
Решение.
N
B
C
Четырёхугольник NCDM, вписанный в
окружность, - трапеция
Так как трапеция вписана в
окружность, то она равнобедренная.
Значит, диагонали трапеции равны.
K
CM = DN
A
D
M
По свойству касательной и секущей,
проведенных из одной точки к окружности
18
B
16
N
C
2
K
A 9
M
9
D
N
M
Ответ: 30.
E
2
C
9
F
Найдем диагональ равнобедренной
трапеции MNCD, основания которой 2и 9,
а длина боковой стороны равна
D
Задача 6.
Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC
как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.
a) Докажите, что отрезок BK больше отрезка CK.
b) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB ,
если BK = 18 и BN = 17.
Решение.
Проведем медиану AE к основанию BC.
A
Так как ∆ABC – равнобедренный, то AE –
биссектриса и высота.
Проведем MK
N
∠BKM =90⁰( вписанный, опирается на
диаметр окружности)
M MK ⊥ BC ⇒ MK – средняя линия ∆AEC
⇒ KC = EK.
Так как CE = 2CK, то BK = 3CK
O
BK > CK
B
E
K
C
1 способ
∠BKM=∠BNM = 90⁰ (вписанные,
опираются на диаметр окружности)
A
N
M
17
O
B
E
18
Ответ: 18.
K
C
2 способ
Пусть AB = AC = x, тогда AM=MC = ½x,
AN = x-17, x > 17
A
N
∠EAC = α, тогда ∠BAC = 2α
α
∆ANM : ∠N = 90⁰, cos2α =AN:AM
M
17
α
O
∠EAC = ∠KMC (соответственные)
∆MKC:∠K=90⁰, sinα = KC:MC
CK = 6,
в пункте (а) было доказано, что BK = 3CK
B
E
K
18
Получим уравнение
Условию x > 17 удовлетворяет x=18.
Ответ: 18.
C
Учитывая, что
3 способ
Пусть AB = AC =x, x > 17, ∠BAC = α.
A
N
∆ANM:∠N = 90⁰, cosA = AN:AM
α
M
17
∆ABC: по теореме косинусов
O
C
B
E
K
18
Условию x > 17 удовлетворяет x=18.
Ответ: 18.