презентация Доказательства теоремы Пифагора

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ
ПИФАГОРА
Подготовили: ученицы 9«А» МОУ «СОШ № 54 г.
Саратова» Гончарова Ольга и Андреева Екатерина
Руководитель: учитель Алакина Татьяна
Григорьевна
НЕМНОГО ИСТОРИИ…

Знаменитый
греческий
философ
и
математик Пифагор Самосский, именем
которого названа теорема, жил около 2,5
тысяч лет тому назад. Дошедшие до нас
биографические сведения о Пифагоре
отрывочны и далеко не достоверны. С его
именем связано много легенд. Достоверно
известно,
что
Пифагор
много
путешествовал по странам Востока,
посещал Египет и Вавилон. В одной из
греческих колоний Южной Италии им
была основана знаменитая «Пифагорова
школа». Именно Пифагору приписывают
доказательство известной геометрической
теоремы.
На
основе
преданий,
распространенных
известными
математиками
,
длительное
время
считали, что до Пифагора эта теорема не
была известна, отсюда и название –
теорема Пифагора. Теорема Пифагора
занимала умы математиков с древнейших
времен. Подтверждением служит и около
367
разнообразных
доказательств,
существующих сегодня.
ВАРИАНТ ДРЕВНЕИНДИЙСКОГО
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА МАТЕМАТИКА
БХАСКАРИ
Постройте прямоугольный треугольник со
сторонами a, b и c (рис.1). Затем постройте
два квадрата со сторонами, равными сумме
длин двух катетов, – (a+b). В каждом из
квадратов выполните построения, как на
рисунках 2 и 3.
В первом квадрате постройте четыре таких же треугольника, как на
рисунке 1. В результате получаться два квадрата: один со стороной
a, второй со стороной b.
Во втором квадрате четыре построенных аналогичных треугольника
образуют квадрат со стороной, равной гипотенузе c.
Сумма площадей построенных квадратов на рис.2 равна площади
построенного нами квадрата со стороной с на рис.3. Это легко
проверить, высчитав площади квадратов на рис. 2 по формуле. А
площадь вписанного квадрата на рисунке 3. путем вычитания
площадей четырех равных между собой вписанных в квадрат
прямоугольных треугольников из площади большого квадрата со
стороной (a+b).
Записав все это, имеем: a2+b2=(a+b)2 – 4*1/2*a*b. Раскройте скобки,
проведите все необходимые алгебраические вычисления и получите,
что a2+b2= a2+b2. При этом площадь вписанного на рис.3. квадрата
можно вычислить и по традиционной формуле S=c2. Т.е. a2+b2=c2 –
вы доказали теорему Пифагора.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.

Рис. иллюстрирует
доказательство великого
индийского математика
Бхаскари (знаменитого автора
Лилавати, XII в.). Рисунок
сопровождало лишь одно слово:
СМОТРИ! Среди доказательств
теоремы Пифагора
алгебраическим методом первое
место (возможно, самое древнее)
занимает доказательство,
использующее подобие.
«МЕТОД ГАРФИЛДА».
Доказательство Гарфилда.
На рисунке три прямоугольных
треугольника составляют
трапецию. Поэтому площадь
этой фигуры можно находить по
формуле площади
прямоугольной трапеции, либо
как сумму площадей трех
треугольников. В первом случае
эта площадь равна
во втором
Приравнивая эти выражения,
получаем теорему Пифагора.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, ПРИНАДЛЕЖАЩЕЕ
ПИФАГОРУ, В СОВРЕМЕННОМ ИЗЛОЖЕНИИ .
На рис. 13 ABC – прямоугольный,
C – прямой угол, CMAB, b1 –
проекция катета b на гипотенузу,
a1 – проекция катета a на
гипотенузу, h – высота
треугольника, проведенная к
гипотенузе.
Из того, что ABC подобен ACM
следует
b2 = cb1; (1)
из того, что  ABC подобен  BCM
следует
a2 = ca1. (2)
Складывая почленно равенства (1) и
(2), получим a2 + b2 = cb1 + ca1 =
c(b1 + a1) = c2.

ДРЕВНЕКИТАЙСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
«СТУЛ НЕВЕСТЫ»



В нем используется чертеж, который мы уже
видели на рис.3 во втором доказательстве. А
внутренний квадрат со стороной с построен так
же, как в древнеиндийском доказательстве,
приведенном выше.
Если мысленно отрезать от чертежа на рис.1
два зеленых прямоугольных треугольника,
перенести их к противоположным сторонам
квадрата со стороной с и гипотенузами
приложить к гипотенузам сиреневых
треугольников, получится фигура под
названием «стул невесты» (рис.2). Для
наглядности можно то же самое проделать с
бумажными квадратами и треугольниками. Вы
убедитесь, что «стул невесты» образуют два
квадрата: маленькие со стороной b и большой со
стороной а.
Эти построения позволили древнекитайским
математикам и нам вслед за ними прийти к
выводу, что c2=a2+b2.
МЕТОД КООРДИНАТ
А1 (b;0); B1(a;0)
 А1В12 = С2 = (b – 0)2 + (0 – a)2 =
b2 + a2

ТАК ЧТО ЖЕ ТАКОЕ ПИФАГОРОВЫ
ТРОЙКИ?
Так называют натуральные числа, собранные по трое,
сумма квадратов двух из которых равна третьему числу в
квадрате.
Пифагоровы тройки могут быть:
примитивными (все три числа – взаимно простые);
не примитивными (если каждое число тройки умножить на
одно и то же число, получится новая тройка, которая не
является примитивной).
Еще до нашей эры древних египтян завораживала мания
чисел Пифагоровых троек: в задачах они рассматривали
прямоугольный треугольник со сторонами 3,4 и 5 единиц. К
слову, любой треугольник, стороны которого равны числам
из пифагоровой тройки, по умолчанию является
прямоугольным.
Примеры Пифагоровых троек: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9,
12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24,
26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35,
37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 35, 45), (14, 48,
50), (30, 40, 50) и т.д.

ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
Теорема Пифагора находит применение не
только в математике, но и в архитектуре и
строительстве, астрономии и даже литературе.
 Сначала про строительство: теорема Пифагора
находит в нем широкое применение в задачах
разного уровня сложности. Например,
посмотрите на окно в романском стиле:

МОБИЛЬНАЯ СВЯЗЬ И СТРОИТЕЛЬСТВО.

С помощью теоремы
можно вычислить длину
стропила для двускатной
крыши. Определить,
какой высоты вышка
мобильной связи нужна,
чтобы сигнал достигал
определенного
населенного пункта. И
даже устойчиво
установить новогоднюю
елку на городской
площади. Как видите, эта
теорема живет не только
на страницах учебников,
но и часто бывает
полезна в реальной
жизни.
ЛИТЕРАТУРА


Что
касается
литературы,
то
теорема Пифагора
вдохновляла
писателей
со
времен античности
и продолжает это
делать
в
наше
время. Например,
немецкого
писателя
девятнадцатого
века
Адельберта
фон Шамиссо она
вдохновила
на
написание сонета:
Свет истины рассеется не скоро,
Но, воссияв, рассеется навряд
И, как тысячелетия назад,
Не вызовет сомнения и спора.
Мудрейшие, когда коснется взора
Свет истины, богов благодарят;
И сто быков, заколоты, лежат –
Ответный дар счастливца
Пифагора.
С тех пор быки отчаянно ревут:
Навеки всполошило бычье племя
Событие, помянутое тут.

Им кажется: вот-вот настанет
время,
И сызнова их в жертву принесут
Какой-нибудь великой теореме.
(перевод Виктора Топорова)
А в двадцатом веке советский писатель Евгений
Велтистов в книге «Приключения Электроника»
доказательствам теоремы Пифагора отвел целую
главу. И еще полглавы рассказу о двухмерном мире,
какой мог бы существовать, если бы теорема
Пифагора стала основополагающим законом и даже
религией для отдельно взятого мира. Жить в нем
было бы гораздо проще, но и гораздо скучнее:
например, там никто не понимает значения слов
«круглый» и «пушистый».
А еще в книге «Приключения Электроника» автор
устами учителя математики Таратара говорит:
«Главное в математике – движение мысли, новые
идеи». Именно этот творческий полет мысли
порождает теорема Пифагора – не зря у нее столько
разнообразных доказательств. Она помогает выйти
за границы привычного, и на знакомые вещи
посмотреть по-новому.
ЛИТЕЛАТУРА

1. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся
наука. Математика Древнего Египта,
Вавилона и Греции. М., 1959.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе.
М., 1982.
3. Еленьский Щ. По следам Пифагора. М.,
1961.
4. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.
5. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М.,
1990.