Доказательство I.

Теорема Пифагора
Проект подготовила: ученица 10 класса,
МБОУ Алексеевской СОШ Терехова Лариса
Руководитель: преподаватель математики Плешакова О.В.
Содержание:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Знакомство с Пифагором.
Философские взгляды.
Научная деятельность.
История возникновения знаменитой
теоремы.
Теорема Пифагора и ее доказательства.
Дерево Пифагора.
Это интересно!
Задачи для закрепления.
Применение теоремы Пифагора в жизни.
Источники.
Знакомство с Пифагором.

Пифагор Самосский (лат. Pythagoras;
570—490 гг. до н. э.) — древнегреческий
философ, математик и мистик, создатель
религиозно-философской школы
пифагорейцев.

Историю жизни Пифагора трудно
отделить от легенд, представляющих его
в качестве совершенного мудреца и
великого посвящённого во все таинства
греков и варваров. Ещё Геродот называл
его «величайшим эллинским мудрецом»

Самые ранние известные источники об
учении Пифагора появились лишь 200
лет спустя после его смерти. Сам
Пифагор не оставил сочинений, и все
сведения о нём и его учении
основываются на трудах его
последователей, не всегда
беспристрастных.

В честь Пифагора назван кратер на Луне.
Философские взгляды.

Учение Пифагора следует разбить на две составляющие части:
научный подход к познанию мира и религиозно-мистический
образ жизни, проповедуемый Пифагором. Доподлинно
неизвестны заслуги Пифагора в первой части, так как ему позднее
приписывали всё, созданное последователями в рамках школы
пифагореизма. Вторая часть превалирует в учении Пифагора, и
именно она осталась в сознании большинства античных авторов.

В сохранившихся работах Аристотель никогда прямо не
обращается непосредственно к Пифагору, но лишь к «так
называемым пифагорейцам». В потерянных работах Аристотель
рассматривает Пифагора как основателя полурелигиозного
культа, который запрещал есть бобы и имел золотое бедро, но не
принадлежал к последовательности мыслителей,
предшественников Аристотеля.

Платон относился к Пифагору с глубочайшим почтением и
уважением. Когда пифагореец Филолай впервые опубликовал 3
книги, излагающие основные положения пифагореизма, Платон
по совету друзей немедленно их купил за большие деньги.

Деятельность Пифагора как религиозного новатора VI в. до н.
э. заключалась в создании тайного общества, которое не
только ставило перед собой политические цели (из-за чего
пифагорейцев разгромили в Кротоне), но, главным образом,
освобождение души путём нравственного и физического
очищения с помощью тайного учения (мистическое учение о
круговороте переселений души). По Пифагору, вечная душа
переселяется с небес в бренное тело человека или животного
и претерпевает ряд переселений, пока не заслужит права
вернуться обратно на небеса.
Научная деятельность.
В современном мире Пифагор считается великим
математиком и космологом древности, однако ранние
свидетельства до III в. до н. э. не упоминают о таких
его заслугах. Как пишет Ямвлих про пифагорейцев: «У
них также был замечательный обычай приписывать
всё Пифагору и нисколько не присваивать себе славы
первооткрывателей, кроме, может быть, нескольких
случаев.» Античные авторы нашей эры отдают
Пифагору авторство известной теоремы: квадрат
гипотенузы прямоугольного треугольника равняется
сумме квадратов катетов. Современные историки предполагают, что
Пифагор не доказывал теорему, но мог передать грекам это знание
известное в Вавилоне за 1000 лет до Пифагора (согласно вавилонским
глиняным табличкам с записями математических уравнений). Хотя
сомнение в авторстве Пифагора существует, но весомых аргументов,
чтобы это оспорить, нет.
История теоремы Пифагора
Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и
связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до
него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до
Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство.
Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия.
Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим
свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит
сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В
литературных источниках можно прочитать, что он «запрещал
даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо
животные имеют душу, как и мы». В связи с этим более
правдоподобной можно считать следующую запись: «… когда он
открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет
соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного
из пшеничного теста».
На протяжении последующих веков были найдены другие
доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их
насчитывается более ста.
Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем
евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение
между сторонами прямоугольного треугольника.
Озвучим теорему:
В прямоугольном треугольнике квадрат длины
гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
a2 + b2 = c2
c
a
b
Доказательства теоремы
Доказательство I.
Пусть ABC есть прямоугольный
треугольник с прямым углом C.
Проведём высоту из C и обозначим
её основание через H.
Треугольник ACH подобен треугольнику ABC
по двум углам.
Аналогично, треугольник CBH подобен ABC.
Введя обозначения
получаем
Что эквивалентно
Сложив, получаем
Или
, что и требовалось доказать.
Доказательство II.
1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так,
как показано на рисунке 1.
2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как
сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади
квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей
четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.
Что и требовалось доказать.
Рис.1
Дерево Пифагора
Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил
фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника
расположены квадраты. В наш век эта фигура Пифагора
выросла в целое дерево. Впервые дерево Пифагора построил
А. Е. Босман (1891—1961) во время второй мировой войны,
используя обычную чертёжную линейку.
Особенности

Одним из свойств дерева Пифагора является то, что если
площадь первого квадрата равна единице, то на каждом
уровне сумма площадей квадратов тоже будет равна
единице.

Если в классическом дереве Пифагора угол равен 45
градусам, то также можно построить и обобщённое
дерево Пифагора при использовании других углов.
Такое дерево часто называют обдуваемое ветром дерево
Пифагора. Если изображать только отрезки,
соединяющие каким-либо образом выбранные «центры»
треугольников, то получается обнаженное дерево
Пифагора.
Это интересно!
Если дан нам
треугольник
Доверчивости я пою хвалу,
Ну и проверка тоже не
обуза
И притом с прямым
В определенном месте, на
углом,
углу
То квадрат гипотенузы Встречались катет и
Мы всегда легко
гипотенуза.
найдем:
У катета она была одна,
Гипотенузы он любил, не
Катеты в квадрат
веря сплетням, но в тоже
возводим,
время, на углу соседнем
Сумму степеней
С другим встречалась
находим —
катетом она.
И таким простым
И дело все закончилось
путем
конфузом
Вот после этого и верь
К результату мы
гипотенузам.
придем.
Задачи для закрепления
Применение теоремы Пифагора в
жизни.
Строительство
Окно

В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон
расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль
орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен
простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его
очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей,
радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине
ширины (b/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность,
касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя
концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию
между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4.
А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном
примере радиусы находились без всяких затруднений. В других
аналогичных примерах могут потребоватися вычисления; покажем, как
применяется в таких задачах теорема Пифагора.
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на
рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы
полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней
окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника,
изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника,
проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет
равен b/4, а другой b/2-p.
По теореме Пифагора имеем:
(b/4+p)=( b/4)+( b/4-p)
или
b/16+ b*p/2+p=b/16+b/4-b*p+p,
откуда
b*p/2=b/4-b*p.
Разделив на b и приводя подобные члены, получим:
(3/2)*p=b/4, p=b/6.
Мобильная связь
В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая
конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше
зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При
строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую
наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно
было принимать в определенном радиусе (например радиусе R=200 км?,
если известно. что радиус Земли равен 6380 км.)
Решение:
Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.
OB = OA + AB
OB = r + x
Используя теорему Пифагора, получим ответ.
Ответ = 2,3 км.
Источники:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Пифагор#.D0.A4.D0.B8.D0.BB.D0.BE.D1.81.D0.BE.
D1.84.D1.81.D0.BA.D0.BE.D0.B5_.D1.83.D1.87.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5
http://festival.1september.ru/articles/503174/img8.jpg
http://900igr.net/datas/geometrija/Ploschadi-figur-geometrija/0011-011-TeoremaPifagora.jpg
http://www.mathguide.com/lessons/pic-pythagorasT.gif
http://edu.glavsprav.ru/info/teorema-pifagora/
http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Пифагора
http://1.bp.blogspot.com/_7yBeeGviiI/TSDrpW6ucvI/AAAAAAAAE2Y/919hrR693Zg/s1600/Pythagoras1.jpg
http://russianathens.gr/images/stories/thumbnails/images-stories-news1-kult-463558_20080220145251-300x225.jpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Sanzio_01_Pythagora
s.jpg/250px-Sanzio_01_Pythagoras.jpg
http://www.moypifagor.narod.ru/use.htm
http://ic.pics.livejournal.com/inoyan/23089809/487019/487019_original.jpg