презентация_22.05

Механические колебания.
Чужков Юрий Петрович
Доцент кафедры Физики, к.ф-м.н
Рассматриваемые вопросы
1.
2.
3.
4.
Гармонические колебания.
Амплитуда, фаза колебаний.
Энергия колебаний.
Сложение однонаправленных колебаний.
Биения.
5. Сложение взаимно перпендикулярных
колебаний.
Введение
Колебаниями называются процессы, которые обладают той или иной степенью
повторяемости во времени.
В зависимости от природы
Механические колебания
Электрические колебания
В зависимости от характера воздействия
Свободные колебания
Вынужденные колебания
Автоколебания
Параметрические
Рассмотрим механические колебания. Из всех видов колебаний наибольший
интерес представляют гармонические колебания.
Гармонические колебания
Гармоническими называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина
изменяется со временем по закону косинуса (синуса).
Пружинный маятник
x – Смещение тела от положения равновесия
ω0 – Частота собственных колебаний
(циклическая частота, угловая)
А - амплитуда колебаний
A = xmax
Кинематическое уравнение
гармонических колебаний:
x  A cos0t  0 
- Фаза колебаний
0 
T
Начальная фаза колебаний
2

- Период колебаний
Характеристики гармонических колебаний
Определим скорость и ускорение колеблющейся материальной точки.
x  A cos0 t   0 

dx


  A 0 sin 0 t   0   A 0 cos  0 t   0  
dt
2

d 2x
2
2
a  2   A 0 cos 0 t   0   A 0 cos 0 t   0   
dt
• Из рисунка 1 видно, что
скорость и ускорение
колеблющейся точки
изменяются со
временем также по
гармоническому закону.
• Колебания
скорости опережают
колебания координаты на

угол 2 , колебания
ускорения происходят в
противофазе с
колебаниями координаты x.
Задача 1. Груз, висящий на пружине, оттянули вниз и отпустили. За
какое время от начала движения груз пройдет путь, равный половине
амплитуды? Период колебаний груза равен 2,4 с. Ответ дать в единицах
СИ.
Решение:


x  A sin  t  0 ; x0  A ;
sin 0  1
0 

2;


xt   A sin t  
2 ;

1
A
 A cost  ; cos t  ;
xt   A cost 
2
2

t 
3
Ответ:
t  0,4c
2

T
t
T
6
t  0,4c
ЭНЕРГИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Кинетическая энергия Ек материальной точки массой ,
совершающей колебания:
Полная энергия
m 0 A 2
E  Ek  Em 
2
2
Потенциальная энергия Еп:
kx 2 m 0 A 2
En 

 cos 2  0 t   
2
2
2
m 2 A 2
Кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются от 0 до
2
по гармоническому закону с частотой (рис.2).
Колебания кинетической энергии происходят в противофазе с колебаниями
потенциальной энергии, а их сумма в любой момент времени одинакова.
При решении задач необходимо помнить: Энергия пропорциональна квадрату
амплитуды
Задача 2. Начальная фаза гармонических колебаний равна нулю. При смещении
точки из положения равновесия равном x1=1 см скорость точки 1  15см / с .При
смещении, равном x2=6 см, скорость 2  10см / с .
Найти период колебаний x  A cos t 
1   A0 sin0t1 
1
0 1
2   A0 sin0t2 
x2  A cos0t2 
Решение:
Закон сохранения механической энергии:
E  Ek  En
kx1
m1

2
2
2

 
k x 2  x1  m 1  1
2


2
 
k
 1 2 22
m
x2  x1
Ответ:
2
2


T  3,32c
2
2
2

kx
m 2
 2 
2
2
2
T
2
T  2
0 
0
x 2  x1
2
1   2
2
2
2
2
k
m
T  3,32c
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Получим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний. Для
механических колебаний воспользуемся уравнением динамики (второй закон Ньютона)
a
ma  F
2
d x
dt 2
;
F  kx ;
d 2x
k

x0
2
dt
m
0 
ma  kx  0
d 2x
2


0 x  0
2
dt
- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
СВОБОДНЫХ НЕЗАТУХАЮЩИХ
ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
k
- Частота собственных колебаний
m
Решением дифференциального уравнения является:
x  A sin 0 t   
или
x  A cos0 t   
- Кинематическое
уравнение гармонических
колебаний
Математический маятник
Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из
материальной точки массой , подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, и
совершающая колебания под действием силы тяжести.
Период колебаний математического маятника
l
T  2
g
Круговая (циклическая) частота собственных колебаний
0 
g
l
 0  2
T
2
0
ν – частота колебаний (число колебаний в единицу времени)
Задача 3. Длина одного из математических маятников на 1,5 см больше
длины другого. В то время как первый маятник делает 7 колебаний, второй
делает на одно колебание больше. Определить в миллисекундах период
колебаний второго маятника. Принять ускорение свободного падения g = 10
м/с2.
Решение:
Период колебаний второго маятника определяется выражением:
T2  2
l2
g
За одно и то же время t маятники совершают различное число
t
t
T

T

колебаний, поэтому их периоды отличаются: 1 N и 2
N2 .
1
N 2 T1
l

 1 ;
N
T2
l2
Отсюда видно, что
l2 
N2
l  l
 1
N
l2
l1  l 2  l
l
 N
 2
 N



  1




2
l2  0,049 м
1/ 2
 0 ,049 
T2  2 

 10 
Ответ: T2 = 439,6 мс
 0 ,14  0 ,4396 с
T2 = 439,6 мс
ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Физический маятник – это твердое тело, совершающее в поле сил тяжести
колебания относительно горизонтальной оси, которая проходит через точку, не
совпадающую с центром инерции.
Период колебаний физического маятника:
T  2
I
mglпр
Частота собственных колебаний физического маятника:
0 
mglпр
I
lпр- приведенная длина физического маятника – расстояние
от точки подвеса до центра масс.
Задача 4. К потолку лифта на шарнире подвешен стержень за один конец.
При этом его второй конец может свободно качаться. Длина стержня 31 см.
Определить период колебаний стержня, если лифт движется вверх с
ускорением 1,79 м/с2.
Решение:
Период колебаний стержня в поле тяготения земли: T  2
Поскольку лифт движется с ускорение вверх, ускорение будет
g1  g  a
2
ml
Момент инерции стержня относительно центра масс I 
12
Применяя теорему Штейнера, получим выражение для момента
инерции при вращении около одного из концов.
α
2
ml 2
ml 2
l
I
 m  
12
3
2
Учитывая, что l пр  l / 2 , получаем окончательную формулу для
расчета периода колебаний стержня:
T  2
2l
3g  a 
После подстановки числовых данных получаем: Т = 0,84 с.
Ответ: Т = 0,84 с.
I
mglпр
Метод векторной диаграммы.
Если изображать колебания графически в виде
векторов на плоскости, то такая схема колебаний
называется векторной диаграммой.

a
Рассмотрим произвольный вектор , образующий с
осью x угол  . Если привести этот вектор во
вращение относительно точки О, с угловой
скоростью  , то проекция конца вектора будет
перемещаться по оси x в пределах от a до  a .
Координата этой проекции будет изменяться со
временем по закону
0
x  A cos 0 t   
Гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина
которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью
x угол, равный начальной фазе колебания.
Сложение гармонических колебаний.
x1  A1 cos  0 t   1  x 2  A2 cos  0 t   2 
x  x1  x 2
x  A cos 0 t   0 
 0   2  1
A2  A12  A22  2 A1 A2 cos 2   1 
 0   2  1
tg 0 
A1 sin 1   A2 sin 2 
A1cos 1   A2 cos 2 
Метод векторной диаграммы позволяет свести сложение нескольких гармонических
колебаний одной частоты к операции сложения векторов.
Задача 5. Грузик, подвешенный на легкой пружине, совершает гармонические
колебания в вертикальной плоскости с амплитудой 5 см. В некоторый момент
времени точка подвеса сама начинает колебаться в вертикальной плоскости с
амплитудой 5 см и тем же периодом. Найти разность фаз складываемых
колебаний, если амплитуда результирующего колебания равнялась5 см.
Решение:
При сложении однонаправленных гармонических
колебаний амплитуда результирующего колебания
определяется по формуле:
A2  A12  A22  2 A1 A2 cos 2   1 
A 2  A1  A2
cos 2  1  
2 A1 A2
2
2
52  52  52
25
cos 2  1  

 0 ,5
255
50
 2  1  2 ,09 рад
Ответ:
 2  1  2 ,09 рад
Биения
Пусть два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало
различаются по частоте. Результирующее движение при этих условиях можно
рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такое
колебание называется биениями.
x1  A cost 
x2  A cos   t 
  
cos x  cos y  2 cos
x y
x y
cos
2
2
    2   
  
x  2 A cos
t cos
t   2 A cos
t cost 
2
2
2

 



Частоту  называют циклической частотой биений.
  
Aбиений  2 A cos
t
 2 
Tбиений  2 
 Б  
- период биений.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
x  A cos t
y  B cost   
x 2 y 2 2 xy
2


cos


sin

2
2
AB
A
B
Формы кривых, определяемых данным уравнением.
1)
 0
2)
 
3)


2
x y
 0
A B
x y
 0
A B
x2 y2
 2 1
2
A
B
y
B
x
A
y
B
x
A
Фигуры Лиссажу.
1 m

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний неодинаковы ( 2 n ), то
траектория результирующего движения может иметь вид сложных кривых,
называемых фигурами Лиссажу.
Пример. Пусть отношение частот взаимно перпендикулярных колебаний равно
1:2 и разность фаз    .
2
Уравнения колебаний:
x  A cos t


y  B cos 2t  
2

Результирующее колебание показано на рисунке.
Траектория вырождается в незамкнутую кривую, по
которой точка движется туда и обратно.
Это одна из простейших фигур Лиссажу.
СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
Свободные затухающие колебания – это такие свободные колебания, амплитуда
которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени
уменьшается.
d2x
dx
2

2



0x0
2
dt
dt
или
x  2  x   02 x  0
  const - коэффициент затухания,  0 - циклическая частота свободных
незатухающих колебаний той же колебательной системы в отсутствие
потерь энергии (при   0 ). Её называют собственной частотой
колебательной системы.
В случае малых затуханий (    0 ) решение уравнения затухающих колебаний
имеет вид:
 t
A

A
e
- амплитуда затухающих
0
x  Ae   t cos t  
колебаний,


A0 - начальная амплитуда
Амплитуда затухающих колебаний убывает по экспоненциальному закону.
A  A0 e   t
СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАБЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
Промежуток времени   1  , в
течение которого амплитуда
колебаний уменьшится в e раз,
называется временем релаксации.
Частота затухающих колебаний
связана ω с собственной частотой
ω0 соотношением:
  0   2
2
Пример:
Амплитуда колебаний уменьшилась в е раз за 4 с. следовательно, можно
определить коэффициент затухания β.
β = 1/4 с = 0,25 с-1.
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ДЕКРЕМЕНТ ЗАТУХАНИЯ.
ДОБРОТНОСТЬ.
x
T  2   2
02   2 - период затухающих колебаний
A
С увеличением коэффициента затухания увеличивается период колебания.
Апериодический процесс – это процесс, при котором прекращаются колебания
и вся энергия затрачивается на возвращение тела в равновесное состояние.
0
t
1. Логарифмический декремент затухания
At 
  ln
 T
At  T 
Логарифмический декремент - физическая
величина, обратная числу полных
1
колебаний за время релаксации  
N
2. Добротность колебательной системы.
Q  2
E t 
E t   E t  T 
Чем меньше убывает энергия за период, тем выше добротность.
Добротность колебательной системы пропорциональна числу
колебаний N e , совершаемых за время релаксации.
Q

 N e

Задача 6. Амплитуда затухающих колебаний математического
маятника уменьшилась за 8 минут в 7 раз. Во сколько раз она
уменьшится за 1 минуту?
Решение:
Выразим время в системе СИ: t1 = 480 c; t2 = 60c.
A0
7
A1
A1  A0 e
A0
?
A2
  t1
A
ln 0    t1
A1
A
ln 0    t 2
A2
Ответ: 1.28 раз
A2  A0 e
  t 2
A0
 e  t1
A1
A0
 e  t 2
A2
ln A0 / A1  ln 7
 3 1


 4.05 10 c
t1
480
A0
 t 2
4103 60
e e
 e 0.243  1.28
A2
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
F  F0 cos t , где
F0 и  соответственно амплитуда и собственная частота
вынуждающей силы.
Рассмотрим пружинный маятник.
В уравнении динамики помимо силы упругости появляется сила
F  F0 cos t
сопротивления F  r и вынуждающая сила
ma  kx  r
d 2x
dx
m 2  kx  r  F0 cos t
dt
dt
d 2x
dx
m 2  kx  r  F0 cos t
dt
dt
Преобразуем это выражение. Разделим обе части на m и введем
k
r
  - коэффициент затухания
обозначения  0 
,
m 2m
пружинного маятника.
F0
d2x
dx
- дифференциальное уравнение
2

2



x

cos

t
0
вынужденных колебаний
2
dt
dt
m
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
x1  Ae  t cost   
x2  A cost   
Установившиеся вынужденные колебания
представляют собой гармонические
колебания с частотой, равной частоте
вынуждающей силы.
ЯВЛЕНИЕ РЕЗОНАНСА
Явление резонанса – это резкое возрастание амплитуды колебаний при частоте
вынуждающей силы, равной или близкой к собственной частоте системы.
Амплитуда вынужденных колебаний связана с
частотой вынуждающее силы соотношением:
A

F0 m
2
0
 2

2
 4  2 2
При некоторой определенной для системы частоте амплитуда колебаний достигает
максимального значения. Колебательная система оказывается наиболее отзывчивой
на действие вынуждающей силы именно на этой частоте. Это явление называется
резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой.
 рез   02  2  2
Из этого выражения следует, что при отсутствии сопротивления среды (   0 )
амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность.
Задача 7. Определить амплитуду вынужденных колебаний груза массой 423 г,
подвешенного на пружине с коэффициентом жесткости 16 Н/м, если действует
вынуждающая сила с амплитудой 3 Н и частотой в 2 раза большей частоты
собственных колебаний груза. Коэффициент затухания равен 8 с-1
Решение:
A

F0 m
2
0
 2

2
 4  2 2
  20 ;
По условию задачи
A

0 
k
m
F0 m
2
0
 20 
  4
2 2
2
20 2
Подставляем числовые данные
A
3 0 ,423
6 ,15 9  6 ,152  16  82
Ответ: А = 3,12∙10-2 м
 3 ,12 10 2
ω0 =
A
6,15 рад/с
F0 m
0 90  16 2
2