Лекция 2. Теорема Остроградского – Гаусса © Музыченко Я.Б., 2014 Принцип суперпозиции E E1 E2 ... En Расчет напряженности протяженных заряженных тел: 1. заряженное тело разбивают на бесконечно малые части, считая их точечными зарядами; 2. расчет напряженности поля, создаваемого отдельными частями; 3. суммирование напряженностей согласно принципу суперпозиции; 4. суммирование → интегрирование. Историческая справка Теорема Остроградского – Гаусса – основная теорема электродинамики; применяется для расчета электрических полей; входит в систему уравнений Максвелла. 1826 г. – М.В. Остроградский, вывел общую формулу, не связанную с задачами физики (электродинамики). (преобразование объемного интеграла к поверхностному). 1844 г. – К.Ф. Гаусс, взаимосвязь потока вектора напряженности электрического поля и зарядом в объеме, ограниченной этой поверхностью. Поток вектора напряженности электрического поля Поток dФ через площадку dS: d E dS En dS E dS cos dS dS dS n - пропорционален числу линий напряженности электрического поля, пронизывающих площадку dS. En E cos - проекция вектора напряженности на направление нормали. [Ф] = B∙м 4 Поток вектора напряженности электрического поля Поток – величина алгебраическая – знак зависит от выбора направления нормали к поверхности. 5 Поток вектора напряженности через произвольную поверхность: Ф d EdS EndS S S S через замкнутую поверхность: Ф d EdS EndS S S S однородного поля (E=const) через поверхность S Ф E S En S E S cos α – угол между нормалью к поверхности и линиями напряженности электрического поля. 6 Теорема Гаусса Поток вектора напряженности 𝐸 через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на ε0. 1 EdS qвнутр 0 S Пример. S1, S2, S3, S4 – замкнутые поверхности. Ф1 Ф2 Ф3 Ф4 7 Доказательство теоремы Гаусса Телесный угол – часть пространства, ограниченная некоторой конической поверхностью. d d r dS cos r2 [] стерадиан ср 1 стерадиан – телесный угол, вырезающий на сфере, описанной вокруг вершины угла, поверхность, площадь которой равна квадрату радиуса сферы max( полный ) 4r r2 2 4 8 Доказательство теоремы Гаусса Поле точечного заряда: 1 q E 40 r 2 d EdS 1 q q dS cos d 2 40 r 40 q q d d 40 S 0 S Непрерывное распределение заряда: q 1 EdS dV 0 0V S ρ – объемная плотность распределения заряда. 9 Применение теоремы Гаусса Применяется для расчета электрических полей в задачах со специальной симметрией . 1. Напряженность электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ. E 20 Поле однородно (в каждой точке поля E=const) 2. Напряженность поля двух бесконечных равномерно заряженных параллельных плоскостей. 10 Применение теоремы Гаусса 3. Напряженность электрического поля цилиндра (нити) радиусом R, равномерно заряженного с линейной плотностью τ. при r R E 0 при r R 1 E 20 r 11 Применение теоремы Гаусса 4. Напряженность электрического поля равномерно заряженной сферы радиусом R с зарядом q. при r R E 0 при r R 1 q E 40 r 2 12 Применение теоремы Гаусса 5. Напряженность электрического поля равномерно заряженного по объему шара радиусом R с зарядом q. при r R 1 qr E 40 R3 при r R 1 q E 40 r 2 13 Теорема Гаусса в дифференциальной форме Теорема Гаусса в интегральной форме: q 1 1 EdS dV V 0 0V 0 S или 1 1 EdS VS 0 V→0 (плотность в объеме можно считать постоянной) 1 1 lim EdS 0 V 0 V S 1 divE lim EdS - дивергенция V 0 V S 14 Теорема Гаусса в дифференциальной форме Дивергенция координатах: векторного поля в декартовых E x E y E z divE x y z Векторный дифференциальный оператор набла: i j k x y z Теорема Гаусса в дифференциальной форме: divE E 0 15 Теорема Гаусса Теорема Гаусса в дифференциальной форме является локальной теоремой: она связывает плотность ρ и divE в одной и той же точке поля. Во всех точках поля где div>0 имеются источники поля – положительные заряды, а в тех точках где div<0, находятся отрицательные заряды – стоки поля. divE E 0 Теорема Гаусса в интегральной форме устанавливает взаимосвязь между физическими величинами в сколь угодно далеких точках пространства в один и тот же момент времени. q 1 EdS dV 0 0V S 16