Поток вектора напряженности электрического поля

Графическое изображение
электрического поля.
Силовые линии напряженности
электрического поля
Силовые
линии
напряженности
электрического поля - линии, касательные к
которым в каждой точке совпадают с вектором Е
• По их направлению можно
судить, где расположены
положительные (+) и
отрицательные (–) заряды,
создающие электрическое
поле.
• Густота линий
(количество линий, пронизывающих единичную
площадку поверхности, перпендикулярную к
ним) численно равно модулю вектора Е.
Силовые линии напряженности электрического поля
● Для однородного
электрического поля
линии параллельны
вектору Е.
(конденсатор)
● Для точечных
зарядов линии
напряженности
электрического поля
радиальные.
Е
+
–
Силовые линии напряженности электрического поля
• Силовые линии напряженности
электрического поля не замкнуты, имеют
начало и конец. →
Можно говорить, что электрическое поле имеет
«источники» и «стоки» силовых линий.
• Силовые линии начинаются
на положительных (+)
зарядах (Рис. а), заканчиваются
на отрицательных (–) зарядах (Рис. б).
• Силовые линии не пересекаются.
Силовые линии напряженности электрического поля
Диаграммы силовых линий:
два заряда противоположного знака (диполь); два заряда одного знака;
два заряда, один из которых –Q, а другой +2Q
Величина напряженности электрического поля
характеризуется густотой линий.
● Число линий
N, пронизывающих

  единичную
dS  E ,

n
N  E;
nE  0
где
- вектор положительной нормали к dS.
● Если единичная площадка dS не

перпендикулярна вектору Е, то
nE   ;
число линий N  EdS  cos   En dS , где En  E cos  .
Поток вектора напряженности
электрического поля
● Произвольная площадка dS.
Поток вектора напряженности
электрического поля через
  площадку dS:
dФ

E
dS

E
d
S
E
n


В  м
dS  dS  n - псевдовектор, модуль
которого равен dS, а направление совпадает
с направление вектора n к площадке dS.
Е = const
→ dФЕ = N - числу линий
вектора напряженности электрического поля
Е, пронизывающих площадку dS.
Поток вектора напряженности электрического поля
● Произвольная замкнутая поверхностьS.
ФЕ   dФE   En dS
S
S
Положительное направление вектора n
- внешняя нормаль, т.е. направленная
наружу области, охватываемой
поверхностью S.
Поток вектора напряженности электрического поля
• Если поверхность не плоская, а поле
неоднородное, то выделяют малый элемент
dS, который считать плоским, а поле –
однородным.
Поток вектора напряженности электрического
 
поля:
Ф  EdS
Е

S
Знак потока совпадает со знаком заряда.
Закон (теорема) Гаусса в
интегральной форме.
• Телесный угол – часть
пространства, ограниченная
конической поверхностью.
Мера телесного угла –
отношение площади S
сферы, вырезаемой на
поверхности сферы
конической поверхностью к
S
квадрату радиуса R сферы.   2
R
стерадиан
1 стерадиан – телесный угол с вершиной в центре
сферы, вырезающий на поверхности сферы площадь,
равную площади квадрата со стороной,
по длине равной радиусу этой сферы.
Теорема Гаусса в интегральной форме
dS
dSn
E
α
n
r
+q
O
• Электрическое поле
создается точечным
зарядом +q в вакууме.
Поток dФЕ, создаваемого
этим зарядом, через
бесконечно малую
площадку dS, радиус
вектор которой r.
dSn – проекция площадки dS на плоскость перпендикулярную
вектору r .
n – единичный вектор положительной нормали к площадке dS.
Теорема Гаусса в интегральной форме
Начало отсчета совмещаем с точечным зарядом +q.
dS
E
α
dSn
n
 
ФЕ  E  dS

E

qr
4 0 r
3


dS  dS  n
r
(1)
(2)
(3)

qr
+q
O

qdSn
qrdS
 
(4)
dФЕ 
 dS 
 cos(r , dS ) 
3
3
2
4 0 r
4 0 r
4 0 r
 
dS  cos( r , dS )  dS  cos   dS n (5)
Теорема Гаусса в интегральной форме
Поток dФЕ через площадку dS и dSn
dS
один и тот же.
E
α
dS
Площадка dSn совпадает с элементом
n
шаровой поверхности радиуса R с
центром в точке О.
r
α - мал,
R ≈ r.
n
d 
+q
O
dS n
dSn  r  d, (6)
2
r2
qdSn
dФЕ 
, (4)
2
4 0 r
qdSn
qr d
q
dФЕ 


 d.(7)
2
2
4 0 r
4 0 r
4 0
2
Теорема Гаусса в интегральной форме
• Для конической поверхности:
q
ФЕ   dФЕ  
 d 
.(8)
4 0
0 4 0
• Для замкнутой поверхности:

ФЕ   EdSn  
S
S
q
4 0 r
2
q
 dSn 
q
4 0 r
 4r 
2
2
q
0
Или из уравнения (8):
ФЕ   dФЕ 
S
4
q
q
q
 4  d  4  4  
0
0
0
0
Теорема Гаусса в интегральной форме
● Точечный заряд +q охвачен
сферической поверхностью.
ФЕ 
q
0
● Этот результат справедлив
для замкнутой поверхности
любой формы, так как
каждая линия вектора Е,
пронизывающая сферу,
пройдет и сквозь эту
поверхность.
• Если произвольная поверхность окружает k–
зарядов, то согласно
 принципу
 

суперпозиции:
E  E1  E2  ...  Ek
k
k
ФЕ   En dS   ( Eni )  dS    Eni
S
S
i 1
i 1 S
q

dS 
i
0
Теорема Гаусса: для электрического поля в
вакууме поток вектора напряженности
электрического поля сквозь произвольную
замкнутую поверхность равен
алгебраической сумме заключенных внутри
этой поверхности зарядов, деленных на ε0.
Теорема Гаусса в интегральной форме
• Если внутри поверхности имеется каким-то
образом распределенный заряд с объемной
плотностью ρ ( ρ = dq/dV, Кл/м3), то
суммарный заряд, заключенный внутри
поверхности площадью S, охватывающей
объем V:
 qi   dV
i
V

ФE 
1
dV

0 V
Теорема Гаусса в интегральной форме
• Поверхность не
охватывает какой-либо
заряд, то число
силовых линий,
входящих в
поверхность, равно q
числу силовых линий
выходящих из неё.
Суммарный поток ФЕ
этого заряда равен
нулю.
ФЕ = 0.
Е
Методика применения теоремы Гаусса
для расчета электрических полей –
второй способ определения напряженности
электрического поля Е
Теорема Гаусса применяется для нахождения
полей, созданных телами, обладающими
геометрической симметрией. Тогда
векторное уравнение сводится к скалярному.
Методика применения теоремы Гаусса для расчета
электрических полей –
второй способ определения напряженности
электрического поля Е
1) Находится поток ФЕ вектора Е по
 
определению потока.
Ф Е   EdS
S
2) Находится поток ФЕ
по теореме Гаусса.
ФЕ
qi


0
3) Из условия равенства потоков находится
вектор Е.
   qi 1
ФЕ   EdS 
  dV
S
0
0 V





E  Exi  E y j  Ez k .
Примеры применения теоремы Гаусса
1. Поле бесконечной однородно заряженной
нити (цилиндра) с линейной плотностью τ
( τ = dq/dl, Кл/м).
E
n
τ
n
а
l
n
E
n
Поле симметричное, направлено
перпендикулярно нити и из
соображений симметрии на
одинаковом расстоянии от
оси симметрии цилиндра (нити)
имеет одинаковое значение.
1. Поле бесконечной заряженной нити
 
 
Ф Е   EdS 2  EdS 
Поток вектора Е:
• Основание цилиндра:
  
E , n 
2
S
S осн
S осн
•Боковая поверхность:

E
 
cos(E, n)  1
n
τ
n
а
l
n
E
S бок
 
ФЕосн  2  EdS cos(E , n )  0.(2)


E, n  0
 
 EdS
n
1. Поле бесконечной заряженной нити
ФЕ  ФЕ осн  ФЕбок
1)
 
 0   EdS cos(E , n )   EdS 
S бок
S бок
 E  dS  E 2al
S бок
2)
3)
ФЕ
qi


0
   dl   l
l

 l
E 2al 
0
0
0

E
2 0 a
2.Поле равномерно заряженной сферы радиуса R.
Охватим заряженную
(+q) сферу
вспомогательной
сферической
поверхностью радиуса
r.
r  R.
Поле симметричное, линии
напряженности Е
электрического поля
направлены в радиальном
направлении, и на
одинаковом расстоянии от
точки О поле имеет одно и
то же значение.
Вектор единичной нормали n
к сфере радиуса r
совпадает с вектором
напряженности Е.
2.Поле равномерно заряженной сферы радиуса R.
 
 
1) ФЕ   EdS   EdS cos(E , dS ) 
S
S бок
 E  dS  E 4r 2
S
3)
ФЕ  E 4r 
2
2)
ФЕ
q

0
qi


0

q
0
E
q
4 0 r
2
2.Поле равномерно заряженной сферы
При r  R поле сферы находится как поле
точечного заряда.
 
При r < R: ФЕ   EdS E 4r 2
S
Е=0
q

i
ФЕ 
0
0
q
R
o
r
3. Поле равномерно заряженной бесконечной
плоскости с поверхностной плотностью заряда + σ
( σ = dq/dS, Кл/м2).
Поле симметричное,
вектор Е
перпендикулярен
плоскости с
поверхностной
плотностью заряда +σ
и на одинаковом
В качестве замкнутой поверхности расстоянии от
возьмем цилиндр, основания
плоскости имеет
которого параллельны плоскости,
одинаковое значение.
и который делится заряженной
Е
S
с
Е
с
с
с S
+σ
плоскостью на две равные половины.
3. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
 
 
ФЕ  ФЕ осн  ФЕбок  2  EdS   EdS 
S осн
S бок


 2 ESосн  0( Е  dS )  2 ES
ФЕ
q


0
i
S
2 ES 
0
S

;
0
Е

E
2 0

S
с
с
с
с S
+σ
Е
4. Поле двух равномерно заряженных
бесконечных плоскостей с + σ и – σ.
 

Е  Е1  Е2
• Вне плоскостей


Е  Е1  Е2 

0
2 0 2 0
• Между плоскостей



Е  Е1  Е2 


2 0 2 0  0
Теорема Ирншоу
Имеется система
зарядов
q1, q2, … qn .
Один из зарядов q
системы
охватим замкнутой
поверхностью S.
n – единичный вектор
нормали к поверхности
S.
Система неподвижных
электрических зарядов не может
находиться в устойчивом
равновесии.
Заряд + q будет находиться в
равновесии, если при его
перемещении на расстояние dr
со стороны всех остальных
зарядов системы,
расположенных вне поверхности
S, будет действовать сила F,
возвращающая его в исходное
положение.
Теорема Ирншоу
Сила F обусловлена полем Е, созданным
всеми остальными зарядами.
Поле всех внешних зарядов Е должно быть
направлено противоположно направлению
вектора перемещения
S
 от поверхности
  dr, то есть
к центру.
E, n  E, dS  180 0
 
 
ФЕ   EdS   EdS cos( E ,dS )   EdS cos 180 0  0,(1)
S
S бок
S
Согласно теореме Гаусса, если заряды не
охватываются замкнутой поверхностью, то ФЕ = 0.
Противоречие доказывает теорему Ирншоу.
Теорема Ирншоу
Поэтому общепринята модель атома
Резерфорда – планетарная модель атома,
в которой электроны движутся вокруг ядра
по окружностям.
Закон Гаусса в дифференциальной
форме

А
V
S
N dN
lim V  dV  divA
V  0
Дивергенция вектора –
число силовых линий,
приходящихся на
единицу объема, или
плотность потока
силовых линий.
Пример: из объема вытекает
Силовое поле вектора А.
и втекает вода.
V – объем, ограниченный
Ф > 0 → вытекает больше,
чем втекает.
поверхностью S.
Ф < 0 → вытекает меньше,
N – число силовых линий,
пронизывающих поверхность чем втекает.
S (поток).
Закон Гаусса в дифференциальной форме
А
Теорема ОстроградскогоГаусса:
V
S
 

 AdS   divAdV
S
V
 dV
  V
 EdS 
По закону Гаусса для вектора Е:
S
0
где ρ – объемная плотность заряда, Кл/м3.
Теорема Остроградского-Гаусса  

для вектора Е:
 ЕdS   divЕdV
S
V
Закон Гаусса в дифференциальной форме.
 
divE 
0
Закон Гаусса в дифференциальной форме
 dA
   E x E y Ez
dA
divA 

 divE  Е 


dV dxdydz
x
y
z
 