Студент: Шань Б.В.

Санкт-Петербургский Государственный
Политехнический Университет
Расширенный метод конечных
элементов (РМКЭ)
Студент: Шань Б.В.
Введение РМКЭ
•
Расширенный метод конечных элементов,
разработанный Belytschko и Black [1999] на основе
традиционного МКЭ, является численным методом
решения
дифференциальных
уравнений
с
разрывными
функциями.
РМКЭ
устраняет
трудности при решении задач с локализованными
сингулярностями, которые не эффективно решаются
традиционным МКЭ.
•
Показано что данный метод можно использовать
для решений задач, связанных с проблемой
сингулярности, материальных поверхностей, где
локальные особенности можно описать с помощью
соответствующей кобинаци базисных функций.
Разрывность и Сингулярность
• Разрывные напряжения и деформации в твердых телах через
материальные границы (а), разрывное перемещение у
трещины (b), скорость и давление на границе двух жидкостей
(с), удары и граничные слои как разрывы (d) и (e).
Метод представление разрывности в РМКЭ
• В РМКЭ, представление о
разрывности
обычно
реализуется
с
помощью
метода определения уровней
(level-set method).
• В
качестве
функции
определения уровней берется
такая скалярная функция,
которая делит наблюдаемую
область на 2 подобласти, в
которых данная функция
принимает разные знаки и
принимает нулевое значение
на разрывности
Формулировка метода РМКЭ
Применение XFEM для решения задачи
с трещиной
- Узлы элементов, содержащих
вершины трещин (узлы в
квадратах
на
рисунке),
обогащаются
базисными
разрывными функциями.
- Узлы элементов, которые
пересекает трещина (узлы в
окружностьях)
обогащаются
фукциями Хевисайда.
Обогащенную аппроксимацию можно
записать в следующем виде:
 4 l l 
 4 l l 
u  x    ui N i  x    ai N i  x H ( x)   N i  x   bi ,1 F1 ( x)    N i  x   bi , 2 F2 ( x) 
iI
iL
iK1
 iK 2

 l 1
 l 1
Где:
. I - множество всех узлов сетки
. N - Скалярная геометрическая функция i-ого узла
.
L- множество узлов, обогащены фунцией Хевисайда. А ai –
соответствующие степени свободы.
. K1, K2 – множество узлов, принадлежащих эдементам, содержащим
вершины трещины нормального отрыва (I) и поперечного сдвига (II).
Соответствующие степени свободы bi,1l, bi,2l, l=1,…,4.
. Функции F1l(x) и F2l(x), l=1,…,4, обогающие разрывные функции для узлов
возкруг вершины трещин. F1l(x) заданы в следующем виде:
h





r sin ( ), r cos( ), r sin( ) sin( ), r cos( ) sin( )
2
2
2
2


F ( x) 
l
1
Пример решения задачи с трещиной РМКЭ
в Абакусе
Размер пластины 1x1x0.01 м,
начальная длина трещины 10
см.
Материал: Линейно-упругий,
модуль упругости 70 ГПа,
коэффициент Пуасона 0.3,
критическое напряжение 100 MПа. Усилие - 108 Па.
Результаты вычисления
Распределение напряжений по Мизесу:
Выводы
•
При
выполнении
данной
работы,
были
рассмотрены
основные
сведения
о
РМКЭ,
идеализация данного метода для решения задач,
связанных с разрывностью и сингулярностью. Так же
была рассмотрена конкретная задача о трещине в
двумерной пластине и было получено решение данной
задачи в Абакусе.
• Показано РМКЭ обладает большим преимуществом
по сравнению с традиционным методом при решении
ряд динамических задач с разрывности, в том числе
задача о трещине в материалах.
Список литературы
• 1. http://www.xfem.rwthaachen.de/Background/Introduction/XFEM_Introduction.p
hp
• 2. http://www.matthewpais.com/2Dcodes
• 3. http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1308/1308.5208.pdf
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ