Подобие многоугольников - МБОУЛ "ВУВК им. А. П. Киселева"

Подобие
многоугольников
Подготовил ученик 8 в класса
МБОУЛ «ВУВК им. А.П.Киселёва»
Конторин Роман
Определение. Два
одноименных многоугольника
называются подобными, если
углы одного равны
соответственно углам другого и
стороны одного
пропорциональны
сходственным сторонам
другого. Что такие
многоугольники возможны будет
видно из следующей задачи.
Задача. Дан
многоугольник ABCDE и
отрезок прямой a.
Построить другой
многоугольник, который
был бы подобен данному
и у которого сторона,
сходственная стороне AB
данного многоугольника,
равнялась бы a.
Всего проще это можно сделать так. На стороне AB отложим AB1=a
(если a>AB, то точка B1 расположится на продолжении AB).Затем,
проведя из A все диагонали, построим B1C1\\BC, C1D1\\CD, и D1E1\\DE.
Тогда мы получим многоугольник AB1C1D1E1, подобный ABCDE.
Действительно, во-первых, углы одного из них соответственно равны
углам другого; так, угол A у них общий, угол В1 равен углу В и угол Е
равен углу Е1, как углы соответственные при параллельных, угол С
равен углу С1 и углы D1 и D равны, так как эти углы состоят из частей,
соответственно друг другу равных. Во-вторых ,из подобия
треугольников следует:
из подобия AB1C1 и ABC AB1:AB=B1C1:BC=A1C1:AC
из подобия AC1D1 и ACD AC1:AC=C1D1:CD=AD1:AD
из подобия AD1E1 и ADE AD1:AD=D1E1:DE=AE1:AE
Так как третье отношение первого ряда равно первому отношению
второго ряда равно и третье отношение второго ряда равно первому
отношению третьего ряда, то, значит, все 9 отношений равны между
собой. Выбросив из них отношения, в которые входят диагонали,
можем написать: AB1:AB=B1C1:BC=C1D1:CD=D1E1:DE=AE1:AE.
Мы видим, таким образом, что у одноименных многоугольников
ABCDE и AB1C1D1E1 углы соответственно равны и сходственные
стороны пропорциональны; значит, многоугольники эти подобны.
Замечание. Для треугольников, равенство углов влечёт
за собой пропорциональность сторон и, обратно,
пропорциональность сторон влечет за собой равенство
углов; вследствие этого для треугольников одно
равенство углов или одна пропорциональность сторон
служит достаточным признаком их подобия. Для
многоугольников же одного равенства углов или одной
пропорциональности сторон ещё не достаточно для их
подобия;например, у квадрата и прямоугольника углы
равны, но стороны не пропорциональны, у квадрата же
и ромба стороны пропорциональны,а углы не равны.
• Теорема. Подобные многоугольники можно
разложить на одинаковое число подобных и
одинаково расположенных треугольников.
Например, подобные многоугольники из прошлой
задачи разделены диагоналями на подобные
треугольники, одинаково расположенные.
Укажем еще такой способ разложения. Возьмем внутри
многоугольника ABCDE произвольную точку O и
соединим ее со всеми вершинами. Тогда многоугольник
ABCDE разобьется на столько треугольников, сколько в
нем сторон. Возьмем один из них, например AOE
(покрытый на чертеже штрихами), и на сходственной
стороне A1E1 другого многоугольника построим углы
O1A1E1 и O1E1A1, соответственно равные углам OAE и
OEA; точку соединим с прочими вершинами
многоугольника A1B1C1D1E1. Тогда и этот многоугольник
разобьется на то же число треугольников.
Докажем, что треугольники первого многоугольника
соответственно подобны треугольникам второго
многоугольника. Треугольник AOE подобен треугольнику
A1O1E1 по построению. Чтобы доказать подобие
соседних треугольников ABO и A1B1O1, примем во
внимание, что из подобия многоугольников следует:
A=A1 BA:B1A1=AE:A1E1,
(1) Из подобия треугольников AOE и A1O1E1 выводим:
угол OAE равен углу O1A1E1 и AO:A1O1=AE:A1E1.
(2) Из равенства (1) и (2) следует:
угол BAO равен углу B1A1O1 и BA:B1A1=AO:A1O1.
Теперь видим, что треугольники ABO и A1B1O1 имеют по
одному равному углу, заключенному между
пропорциональными сторонами; значит, они подобны.
Совершенно также докажем подобие остальных
треугольников. При этом очевидно, что подобные
треугольники в обоих многоугольниках расположены
одинаково.
Теорема. Периметры подобных многоугольников
относятся как сходственные стороны.
Пусть многоугольники ABCDE и A1B1C1D1E1 подобны;
тогда по определению
AB:A1B1=BC:B1C1=CD:C1D1=DE:D1E1=EA:E1A1.
Из алгебры известно, что если имеем ряд равных
отношений, то сумма всех предыдущих чисел относится к
сумме всех последующих, как какой-нибудь из предыдущих
членов относится к своему последующему;поэтому
AB+BC+CD+DE+EA:A1B1+B1C1+C1D1+D1E1+E1A1=AB:A1B1…
Гомотетия
Подобие в расположении называется часто словом
гомотетия, и фигуры, подобно расположенные,
называются тогда гомотетичными (слово «гомотетия»
означает по-гречески «подобное расположение»).
Преобразование плоскости
или пространства,
при котором фиксированная
точка O остается неподвижной,
и каждая точка X переходит
в такую точку X1, что ,
где k – заданное число, k ¹ 0,
называется гомотетией.
Спасибо за внимание