Преобразование рациональных выражений

Понятие рационального выражения, схоже с понятием рациональной
дроби. Выражение так же представляется в виде дроби, только в числители у нас
не числа, а различного рода выражения, чаще всего этого многочлены.
Алгебраическая дробь – дробное выражение, состоящее из чисел и переменных.
При решении многих задач в младших классах, после выполнения
арифметических операций мы получали конкретные числовые значения, чаще
всего дроби, так и теперь после выполнения операций мы будем получать
алгебраические дроби. Ребята помните чтобы получить правильный ответ, без
замечаний, то выражение которые вы должны получить нужно максимально
упростить: получить самую маленькую степень какую возможно, одинаковые
выражения в числители и знаменатели стоит сократить, с выражениями которые
можно свернуть надо так и поступать.
То есть после выполнения ряда действий – мы должны получить
максимально простую алгебраическую дробь.
Порядок действий при выполнении операций с рациональными
выражениями такой же как и при арифметических. Первое выполняют действия в
скобках, вторым – умножение и деление, возведение в степень, третье – сложение
и вычитание.
Доказать тождество – показать, что при всех значениях переменных
правая и левая части равны. Пример с доказательством тождеств очень много, к
основным способам решения относятся:
1. Преобразование левой части до равенства с
правой.
2. Преобразование правой части до равенства с
левой.
3. Преобразование левой и правой части по
отдельности, до тех пор пока не получится
одинаковое выражение.
4. Из левой части вынимаются правую, и в итоге
должен получиться нуль.
Пример1. Докажите тождество
Решение. Очевидно, нам надо преобразовать левую часть.
Первым выполним действия в скобках:
1)
Выносить общие множители надо стараться по максимуму
2) Преобразуем выражение на которое делим
3) Выполним операцию деления
4) Выполним операцию сложения:
Правая и левая части совпали, значит, тождество доказано.
Ребята, при решении данного примера нам понадобилось знание многих
формул и операций, но как мы видим после преобразование большое выражение
превратилось совсем в маленькое. При решении почти всех задач, чаще всего
преобразование приводят к простым выражениям.
Пример 2. Упростите выражение
Решение. Начнем с первых скобок
1.
2. Преобразуем вторые скобки
3. Выполним деление:
Ответ:
Пример 3. Выполните действия
Решение. Как всегда надо начинать со скобок
2. Теперь выполним деление
3. Воспользуемся свойством:
4. Выполним операцию вычитания:
Как мы видим сокращать и упрощать дробь над максимально.
Ответ: