РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Горечин Е.Н.
ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения,
направлений 010100.62 «Математика»
010200.62 «Математика и компьютерные науки».
010800.62 «Механика и математическое моделирование».
Тюменский государственный университет
2011
Горечин Е.Н. Избранные вопросы математики. Учебно-методический
комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения направления 010100.62 «Математика», профили подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный анализ», «Вычислительная математика и информатика», «Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное управление», «Алгебра, теория чисел, математическая логика»,
направление 010200.62 «Математика и компьютерные науки», профили «Алгебра и дискретная математика», «Математический анализ и приложения»,
«Математическое и компьютерное моделирование», «Вычислительные, программные, информационные системы и компьютерные технологии», Тюмень, 2011, 13 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю
подготовки.
Рабочая программа дисциплины «Избранные вопросы математики»
опубликована на сайте ТюмГУ: http://www.umk3.utmn.ru [электронный ресурс] . Режим доступа: свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: заведующий кафедрой алгебры и математической логики доктор физико-математических наук, профессор Кутрунов
В.Н.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Горечин Е.Н., 2011.
2
1. Пояснительная записка:
1.1.
Цели и задачи дисциплины.
Дисциплина "Избранные вопросы математики" обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным стандартом, содействует фундаментализации образования,
формированию мировоззрения и развитию логического мышления.
Цели дисциплины:


повторить некоторые вопросы школьного курса математики.
углубить и расширить имеющиеся у студентов знания по элементарной математике.
 студентов с некоторыми новыми методами и приемами решения задач.
Задачи дисциплины:
 развить творческий потенциал студентов, необходимый для решения сложных прикладных задач.
 формирование у студентов знаний и умений, необходимых для дальнейшего самообразования в области современной математики.

теоретически обосновать некоторые вопросы школьной математики;

учить решать задачи по элементарной математике различной степени сложности;

готовить студентов к работе в профильных классах;

готовить студентов к проведению элективных курсов, факультативных занятий, в том числе внеклассной и внешкольной работе по математике.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Дисциплина «Избранные вопросы математики» входит в цикл профессиональных дисциплин вариативной части Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлениям «Математика» и «Математика
и компьютерные науки».
Дисциплина «Избранные вопросы математики» базируется на знаниях, полученных в рамках школьного курса математика или соответствующих дисциплин среднего профессионального образования.
В ходе изучения дисциплины «Избранные вопросы математики»
студенты должны усвоить основные понятия и методы элементарной
3
математики, получить основные сведения о методах решения различного рода задач.
Освоение дисциплины предусматривает приобретение навыков работы с учебниками, учебными пособиями.
На основе приобретенных знаний формируются умения применять
математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, владеть методами построения математической модели профессиональных задач и содержательной интерпретации полученных результатов.
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в
результате освоения данной ООП ВПО.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать
следующими компетенциями: способностью применять знания на практике
(ОК-6), способностью приобретать новые знания, используя современные
образовательные и информационные технологии (ОК-8); фундаментальной
подготовкой по основам профессиональных знаний и готовностью к использованию их в профессиональной деятельности (ОК-11); навыками работы с
компьютером (ОК-12); способностью к анализу и синтезу (ОК-14); способность к письменной и устной коммуникации на русском языке (ОК-15); умением формулировать результат (ПК-3); умением строго доказать утверждение (ПК-4); умением грамотно пользоваться языком предметной области
(ПК-7); умением ориентироваться в постановках задач (ПК-8); знанием корректных постановок классических задач (ПК-9); пониманием корректности
постановок задач (ПК-10); пониманием того, что фундаментальное знание
является основой компьютерных наук (ПК-12); выделением главных смысловых аспектов в доказательствах (ПК-16); владением методами математического и алгоритмического моделирования при решении прикладных задач
(ПК-20); владением методами математического и алгоритмического моделирования при анализе теоретических проблем и задач (ПК-21); владением
проблемно-задачной формой представления математических знаний (ПК-22);
умением самостоятельно математически корректно ставить естественнонаучные и инженерно-физические задачи (ПК-25); возможностью преподавания физико-математических дисциплин и информатики в средней школе и
средних специальных образовательных учреждениях на основе полученного
фундаментального образования (ПК-29).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
 Знать: об основных теоретических положениях элементарной математики; схемы; методы и рекомендации для решения типовых задач;
принцип математической индукции; основные теоремы алгебры многочленов; элементарные алгебраические функции (рациональные и ирра4
циональные), трансцендентные функции и элементарные методы исследования свойств функций; понятие комплексного числа, геометрической
интерпретации комплексного числа, формулу Муавра; об основных приемах и методах решения алгебраических уравнений высших степеней;
 Уметь: выполнять тождественные преобразования алгебраических и трансцендентных выражений, исследовать основные свойства
функций элементарными методами; строить графики элементарных
функций с помощью параллельного переноса, растяжения, сжатия, симметрии; выполнять действия над комплексными числами, заданными в
алгебраической и тригонометрической форме; решать уравнения с комплексными корнями; делить многочлены, раскладывать на множители,
искать корни многочлена; решать алгебраические уравнения высших
степеней;
 Владеть: математическим аппаратом элементарной математики,
методами решения задач и доказательств утверждений в этой области.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 1. Форма промежуточной аттестации: зачет. Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 часа.
3. Тематический план.
Таблица 1.
Тематический план.
1.1
1.2
2.1
2.2
3.1
3.2
2
Модуль 1
Натуральные и целые числа
Функции и графики
Всего
Модуль 2
Многочлены
Методы решения алгебраических
уравнений
Всего
Модуль 3
Комплексные числа
Геометрия треугольника и
окружности
Всего
Итого (часов, баллов):
5
6
Ито
го
часов
по
теме
Из них
в интерактивной
форме
Итого
количество
баллов
7
8
9
10
Самостоятельная работа*
4
3
Лабораторные
занятия*
Семинарские
(практические)
занятия*
1
недели семестра
Тема
Лекции*
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
№
1–4
5–8
4
4
8
4
4
8
8
8
16
16
16
32
2
2
4
0 – 15
0 – 20
0 – 35
9-10
11-14
2
4
2
4
4
8
8
16
2
0 – 10
0 – 25
6
6
12
24
2
0 – 35
2
2
2
2
4
4
4
4
2
0 – 20
0-10
4
18
4
18
8
36
16
72
2
8
0 – 30
0 – 100
15 – 16
17-18
5
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля.
Модуль 1
1.1
1.2
Всего
Модуль 2
2.1
2.2
Всего
Модуль 3
3.1
3.2
Всего
Итого
Итого количество
баллов
Письменные работы
контрольная работа
ответ на
семинаре
Устный опрос
собеседование
№ темы
0-5
0-5
0-5
0-5
0-10
0-5
0-15
0-20
0 – 15
0 – 20
0 – 35
0-5
0-5
0-5
0-5
0-10
0-10
0-10
0-20
0 – 15
0 – 20
0 – 35
0-5
0-5
0-10
0-20
0-5
0-5
0-10
0-30
0-10
0-10
0-50
0 – 20
0-10
0 – 30
0 –100
Таблица 3.
Планирование самостоятельной работы студентов.
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1
Натуральные и целые числа
1.2
Функции и графики.
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Проработка лекций, работа с
литературой,
решение
типовых задач
Составление задач
Неделя
семестра
Объем
часов
Кол-во
баллов
1–4
8
0-10
5– 8
8
16
0-15
4
8
0-5
0-5
12
0-10
15 – 16
4
0-5
17-18
4
0-5
8
36
0-10
0-35
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1
Многочлены
2.2
Методы решения алгебраических уравнений
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1
Комплексные числа
3.2
Геометрия треугольника и
окружности
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
Проработка
Составление
лекций, работа с
литературой,
решение
задач
Проработка лекций, работа с
литературой,
решение
Составление задач
9 – 10
11-14
0-5
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами.
6
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин
Алгебра
Аналитическая геометрия
Комплексный анализ
Математический анализ
Теория чисел
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.1
1.2
2.1
2.2
3.1
3.2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Содержание дисциплины.
Модуль 1.
Тема 1.1. Натуральные и целые числа
Натуральные числа, принцип математической индукции. Целые числа,
решение уравнений в целых числах.
Тема 1.2. Функции и графики.
Понятие функции и ее графика. Элементарные алгебраические функции (рациональные и иррациональные). Примеры трансцендентных функций.
Элементарные методы исследования свойств функций и построения их графиков (с помощью параллельного переноса, растяжения, сжатия, симметрии).
Модуль 2.
Тема 2.1. Многочлены
5.
Алгебра многочленов. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя многочленов. Теорема
Безу и схема Горнера. Теорема Виета и теорема о числе корней многочлена.
Тема 2.2. Методы решения алгебраических уравнений
Квадратные уравнения и уравнения к ним сводящиеся. Решение уравнений третьей степени. Возвратные уравнения четной и нечетной степеней.
Метод неопределенных коэффициентов. Методы подстановок и сведения к
решению систем. Симметричные систе-мы алгебраических уравнений. Методы решения рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем.
Модуль 3.
Тема 3.1. Комплексные числа
Понятие комплексного числа: действительная и мнимая часть модуль и
аргумент комплексного числа; тригонометрическая форма. Действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме. Возведение комплексного числа в степень. Формула Муавра.
Тема 3.2. Геометрия треугольника и окружности
7
Замечательные точки и линии в треугольнике. Теоремы Чевы, Менелая.
Теорема Стюарта. Окружность. Измерение углов вписанных в окружность.
Вписанные и описанные много-угольники. Подобие фигур. Признаки подобия треугольников. Теорема Птолемея.
Планы семинарских занятий.
Тема 1.1 Натуральные числа, принцип математической индукции. Целые числа, решение уравнений в целых числах.
Тема 1.2. Понятие функции и ее графика. Элементарные алгебраические функции (рациональные и иррациональные). Примеры трансцендентных
функций. Элементарные методы исследования свойств функций и построения их графиков (с помощью параллельного переноса, растяжения, сжатия,
симметрии).
Тема 2.1. Алгебра многочленов. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя многочленов.
Теорема Безу и схема Горнера. Теорема Виета и теорема о числе корней многочлена.
Тема 2.2. Квадратные уравнения и уравнения к ним сводящиеся. Решение уравнений третьей степени. Возвратные уравнения четной и нечетной
степеней. Метод неопределенных коэффициентов. Методы подстановок и
сведения к решению систем. Симметричные систе-мы алгебраических уравнений. Методы решения рациональных, иррациональных, показательных и
логарифмических уравнений, неравенств и систем.
Тема 3.1. Понятие комплексного числа: действительная и мнимая часть
модуль и аргумент комплексного числа; тригонометрическая форма. Действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической
форме. Возведение комплексного числа в степень. Формула Муавра.
Тема 3.2. Замечательные точки и линии в треугольнике. Теоремы Чевы,
Менелая. Теорема Стюарта. Окружность. Измерение углов вписанных в
окружность. Вписанные и описанные много-угольники. Подобие фигур. Признаки подобия треугольников. Теорема Птолемея.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не планируются.
8. Примерная тематика курсовых.
Не планируются.
9. Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
a) Текущая аттестация: контрольные работы; В каждом семестре проводятся контрольные работы (на семинарах).
6.
8
b) Промежуточная аттестация: зачёт (письменно-устная форма). Зачёт
выставляется после решения всех задач контрольных работ и выполнения самостоятельной работы.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала
дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) системы
оценок.
Варианты контрольных работ:
Контрольная работа №1.
Тема: «Построение графиков функций с помощью элементарных преобразований».
С помощью элементарных преобразований построить графики следующих
функций
1.
y |
7x  5
|
5x  6
y  log 1 | x |
2.
2
1
3.
4.
y  2 x 2
y  x
1
x
5. . y  x cos x
6.
y  arccos
1
x3
Контрольная работа №2.
Тема «Комплексные числа и уравнения»
Выполнить действия:
a)
z
(1  2i) 3
 (4i)16  i 2008
i i
3
b)
1 i 3 


 1 i  ;


2. Построить множество точек, удовлетворяющих условиям:
9
| z | 1


 
 4  arg z  6
a)
3. Решить уравнение:
| Re z | 1

b) | Im z | 1
z6 
1  3i
1 i
4
3
2
4. Решить уравнение: 2 x  7 x  9 x  7 x  2  0
5. Методом неопределенных коэффициентов решить уравнение:
x 4  4 x 3  10 x 2  37 x  14  0
Вопросы к зачету.
1. Натуральные числа, принцип математической индукции.
2. Решение уравнений в целых числах.
3. Элементарные алгебраические функции (рациональные и иррациональные). Примеры трансцендентных функций.
4. Элементарные методы исследования свойств функций и построения их
графиков (с помощью параллельного переноса, растяжения, сжатия,
симметрии).
5. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя многочленов.
6. Теорема Безу и схема Горнера.
7. Теорема Виета и теорема о числе корней многочлена.
8. Квадратные уравнения и уравнения к ним сводящиеся.
9. Решение уравнений третьей степени.
10.Возвратные уравнения четной и нечетной степеней. Метод неопределенных коэффи-циентов. Методы подстановок и сведения к решению
систем. Симметричные систе-мы алгебраических уравнений.
11.Методы решения рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем.
12.Понятие комплексного числа.
13.Действия с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме.
14.Возведение комплексного числа в степень. Формула Муавра.
10
15.Замечательные точки и линии в треугольнике. Теоремы Чевы, Менелая.
16.Теорема Стюарта.
17.Окружность. Измерение углов вписанных в окружность. Вписанные и
описанные многоугольники.
18.Подобие фигур. Признаки подобия треугольников.
19.Теорема Птолемея.
20.Центр масс системы точек. Понятие о барицентрических координатах.
10. Образовательные технологии.
Аудиторные занятия:
лекционные и практические занятия (коллоквиумы, семинары, специализированные практикумы); на практических занятиях контроль осуществляется при ответе у доски и при проверке домашних заданий. В течение семестра
студенты решают задачи, указанные преподавателем к каждому семинару.
активные и интерактивные формы (семинары в диалоговом режиме, компьютерное моделирование и практический анализ результатов, научные дискуссии, работа студенческих исследовательских групп, вузовские и межвузовские видеоконференции)
Внеаудиторные занятия:
самостоятельная работа (выполнение самостоятельных заданий разного
типа и уровня сложности на практических занятиях, подготовка к аудиторным занятиям, подготовка к коллоквиумам, изучение отдельных тем и вопросов учебной дисциплины в соответствии с учебно-тематическим планом, составлении конспектов, подготовка индивидуальных заданий: решение задач,
выполнение самостоятельных и контрольных работ, подготовка ко всем видам контрольных испытаний: текущему контролю успеваемости и промежуточной аттестации);
индивидуальные консультации.
11. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля).
11.1. Основная литература:
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
М.: Высшая школа, 1998 г
2. Виленкин, Н.Я. Элементарная математика [Текст]: учеб. пособие для
студентов-заочников физ.-мат. фак. пед. ин-тов / И.Я. Виленкин,
В.Н.Литвиненко, А.Г.Мордкович. – Нарофоминск: Академия, 2004.- 222с.
11
3. П.С. Моденов, А.С. Пархоменко. Сборник задач по аналитической геометрии М.: “Наука”, 1976 г.
4. Киселев А.П. Элементарная геометрия: Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1980.
5. Курош А.Г. Алгебраические уравнения произвольных степеней. - М.:
Hаука, 1983.
11.2. Дополнительная литература:
1. П.С. Александров. Лекции по аналитической геометрии. М.: “Наука”,
1968 г.
2. О.Н. Цубербиллер. Задачи и упражнения по аналитической геометрии.
М.: “Наука”, 1968 г.
3. Шахмейстер, А.Х. Уравнения и неравенства с параметрами [Текст]: пособие для школьников, абитуриентов и учителей / А.Х. Шахмейстер; Под
ред. Б.Г. Зива. – СПб.: Черо-на- Неве, 2004. – 304с.
4. Школьные олимпиады: Междунар. мат. олимпиады [Текст] / Сост. А.А.
Фомин, Г.М. Кузнецова. – М: Дрофа, 2004. – 160с.
11.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
Не планируются.
12. Технические средства и материально-техническое обеспечение
дисциплины (модуля).
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий.
12