pr-2-delimost-slaidy524e5ab696792

Краснощёкова С.В., ст. методист ХК ИРО
ДЕЛИМОСТЬ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ
Любое составное число может быть
разложено
в
произведение
простых
множителей , причём единственным способом
(с точностью до порядка множителей).
Покажем, что в натуральном ряду можно найти
последовательности составных чисел любой длины. Обозначим,
например:
Тогда миллион последовательных чисел
содержит только составные числа:
N+2 делится на 2, N+3 делится на 3 и т. д.
ЗАДАЧА 1
Докажите, что для любого натурального n
найдутся n подряд идущих составных
натуральных чисел.
Подсказка
Рассмотрите числа, расположенные "возле" числа
n!=n·(n-1)·...·2·1.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 1
Рассмотрим n следующих натуральных
чисел: (n+1)!+2,(n+1)!+3,...,(n+1)!+(n+1).
Покажем, что все эти числа составные.
Действительно, для каждого k, k=2,3,...,n+1,
число (n+1)! делится на k. Поэтому число
(n+1)!+k также делится на k и, очевидно,
больше k. Следовательно, число (n+1)!+k
составное.
ЗАДАЧА 2
У натурального числа A ровно 100
различных делителей (включая 1 и A).
Найдите их произведение.
Подсказка
Каждому делителю d числа A соответствует еще один
делитель A/d.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 2
Заметим, что если число d есть делитель числа A, то
число A/d также делитель числа A, причем эти делители
совпадают в единственном случае - когда A=d2.
Таким образом, в случае, если A - не является
точным квадратом, все делители числа A разбиваются
на пары делителей d, A/d.
Если A - точный квадрат, то все делители, за
исключением одного (а именно, корня из A) разбиты на
пары.
Итак, 100 делителей числа A разбиты на 50 пар
вида d, A/d. Произведение чисел в каждой паре равно
A, следовательно, произведение всех делителей числа A
равно A50.
ЗАДАЧА 3
Найдите все такие числа a, что для
любого натурального n число
an(n + 2)(n + 3)(n + 4)
будет целым.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 3
Подставив n = 1, n = 3 и n = 4, получаем, что числа
22·3·5a, 2·32·5·7a и 26·3·7a – целые.
Значит, a – рациональное число, имеющее несократимую запись p/q,
где q является делителем числа
НОД(22·3·5, 2·32·5·7, 26·3·7) = 6.
Итак, a = k/6 при некотором целом k.
Осталось показать, что все числа такого вида подходят.
Действительно, одно из трёх последовательных чисел
n + 2, n + 3, n + 4
делится на 3, а одно из последовательных чисел
n + 2, n+ 3
делится на 2; значит,
n(n + 2)(n + 3)(n + 4)
делится на 6.
Поэтому
– целое число.
Ответ: а=k/6 , где k – любое целое число.
ЗАДАЧА 4
Докажите, что не существует многочлена P(x) с
целыми коэффициентами, для которого P(6) =
5 и P(14) = 9.
Теорема Безу для целочисленных многочленов.
Для
любого
многочлена
P(x)
с
целыми
коэффициентами
и
любых
различных целых чисел a и b число
P(a) – P(b) делится на a – b.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 4
Доказательство.
Разность P(a) – P(b) представляет собой сумму
выражений вида ak – bk с целыми
коэффициентами. ak – bk делится на a – b.
По теореме Безу:
P(14) – P(6) = 9 – 5 = 4 делилась бы на
14 – 6 = 8, что неверно.
ЗАДАЧА 5
Дан
многочлен
P(x)
с
целыми
коэффициентами. Известно, что
Р(1) = 2013, Р(2013) = 1, P(k) = k,
где k – некоторое целое число.
Найдите k.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 5

По теореме Безу для целочисленных многочленов
k – 2013 = P(k) – P(1)
делится на k – 1, а
k – 1 = P(k) – P(2013)
делится на k – 2013.
Следовательно,
|k – 2013| = |k – 1|.
Решением полученного уравнения является середина
отрезка [1, 2013], то есть k = ½ (1 + 2013) = 1007.
Ответ 1007.
ЗАДАЧА 6
При каких целых n число
n4 + 4
является составным?
Подсказка
n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4 – 4n2.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 6
n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4 – 4n2 =
=(n2 + 2)2 – (2n)2 = (n2 – 2n + 2)(n2 + 2n + 2).
Числа
n2 + 2n + 2 = (n + 1)2 + 1 и
n2 – 2n + 2 = (n – 1)2 + 1
больше 1 при n ≠ ±1. А при n = ±1 n4 + 4 = 5.
Ответ: при n ≠ ±1.
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НА 2 И 4


Признак делимости на 2. Число делится на 2 тогда и
только тогда, когда его последняя цифра делится на 2,
то есть является четной.
Признак делимости на 4. Число делится на 4 только
тогда, когда две его последние цифры нули или
составляют число, которое делится на 4.
Например число 14676 его последние цифры 76,
а число 76 делится на 4: 76:4=19.
Двузначное число делится на 4 тогда и только
тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с
числом единиц делится на 4.
Например, число 42 не делится на 4, так
как 2*4+2=10 не делится на 4.
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НА 3 И 9
Признак делимости на 3. Число делится
на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр
делится на 3.
Например, число 154 не делится на 3, т.к.
1+5+4=10 не делится на 3.
 Признак делимости на 9. Число делится
на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр
делится на 9.
Например, сумма цифр числа 12345678
делится на 9, следовательно и само число
делится на 9.

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 5 И 10

Признак делимости на 5. Число делится
на 5 тогда и только тогда, когда последняя
цифра делится на 5, т. е. если она 0 или 5.

Признак делимости на 10. Число делится
на 10 тогда и только тогда, когда оно
оканчивается на нуль.
ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 11


Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда
модуль разности между суммой цифр, занимающих
нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные
места делится на 11.
Например, 9163627 делится на 11, так
как |(9+6+6+7)-(1+3+2)|=22 делится на 11. Другой
пример — 99077 делится на 11, так как |(9+0+7)(9+7)|=0 делится на 11.
Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда
на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две
цифры (начиная с единиц).
Например, 103785 делится на 11, так как на 11
делятся и 10+37+85=132
ЗАДАЧА 7
Имеются семь жетонов с цифрами 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7. Докажите, что ни одно семизначное
число, составленное посредством этих
жетонов, не делится на другое.
Подсказка: использовать признак делимости на 9
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 7
Пусть a и b — семизначные числа,
составленные посредством жетонов
1,2,3,4,5,6,7.
Предположим, что a делится на b и a ≠ b.
Тогда a - b тоже делится на b.
Ясно, что (a - b)/b < 7.
С другой стороны,
a - b=(a - 1) – (b - 1)
делится на 9, а b не делится на 9.
Поэтому (a - b)/b делится на 9.
Получили противоречие.