Перечень типовых вариантов контрольных работ, тестовых заданий и упражнений:

Темы контрольных работ:
1. Матрицы и детерминанты.
2. Системы линейных уравнений.
3. Линейные пространства и преобразования линейных пространств.
4. Евклидово пространство и преобразования в евклидовых пространствах.
5. Основные алгебраические структуры.
6. Векторная алгебра на плоскости и в пространстве.
7. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
Перечень типовых вариантов контрольных работ, тестовых заданий и
упражнений:
(демонстрационная версия)
Контрольная работа по теме «Матрицы и детерминанты»
Выполнить указанные действия над матрицами и найти:
a) Матрицу, получившуюся в результате выполнения арифметических действий;
b) Значение детерминанта этой матрицы, пользуясь теоремой Лапласа или
следствием из неё;
c) При помощи элементарных преобразований привести определитель
результирующей матрицы к треугольному виду.
𝑻
−6
6 −3
0
– 2 −2 −5
0
5
4 −6 −5
−1 −6 −4 −1
7
3 −1 −4
−3 −6
5
2
(‖
‖−‖
‖) × ‖
‖
−1 −2 −1
6
0 −6
5
0
−6
4 −6
2
−6
6 −2
4
6 −3
7
7
−6
1
7
2
(
d) Найти матрицу, обратную к данной матрице:
−4 −4 −3
‖−6 −5 −1‖
1
6 −3
)
(демонстрационная версия)
Контрольная работа по теме «Системы линейных уравнений»
a) Найти решение системы линейных уравнений методом Крамера:
−𝑥 + 5𝑦 − 5𝑧 = −5
8
{−7𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 =
𝑥 − 7𝑦 − 9𝑧 = −3
b) Найти решение матричного уравнения:
2 −3
4
−2 −3 −1
𝑋 × ‖−9 −9 −3‖ = ‖ 3
6 −2‖
4 −5 −6
1 −8 −5
c) Найти общее и частное решения системы неоднородных линейных уравнений
методом последовательного исключения неизвестных.
Найти общее и фундаментальные решения системы однородных линейных
уравнений, соответствующей неоднородной исходной системе.
Выразить общее решение неоднородной системы через общее решение
однородной системы.
42𝑥1 + 18𝑥2 − 28𝑥3 =
118
−21𝑥1 −
9𝑥2 − 14𝑥3 =
95
{
33𝑥1 + 21𝑥2 + 22𝑥3 = −163
3𝑥1 + 27𝑥2 +
2𝑥3 =
−65
(демонстрационная версия)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Контрольная работа по теме «Векторная алгебра на плоскости и в
пространстве»
Дана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит
параллелограмм. Найдите координаты вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆𝐷 в базисе ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆𝐴, ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆𝐵 , ⃗⃗⃗⃗
𝑆𝐶 .
В треугольнике AB = c, AC = b, BC = a. Найдите длину медианы CM.
Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов его сторон.
𝜋
Векторы a и b образуют угол 𝜑 = 6 . Зная, что |a|=1 и |b|=2, вычислить
[(a+3b)(3a-b)]2.
Доказать, что [[a,b],c]=b(ac)-a(bc).
Объем тетраэдра равен 5. Три его вершины находятся в точках А(2,1,-1),
В(3,0,1), С(2,-1,3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно,
что она лежит на оси ординат.
(демонстрационная версия)
Контрольная работа по теме «Аналитическая геометрия на плоскости и в
пространстве»
j) Треугольник ABC задан координатами своих вершин в прямоугольной
декартовой системе координат. Найти:
i.
Уравнения сторон треугольника.
ii.
Систему неравенств, определяющую внутреннюю область
треугольника ABC.
iii.
Углы треугольника ABC.
iv. Длину высоты СН.
v.
Уравнение медианы АМ.
vi. Уравнение высоты СН.
vii. Уравнение прямой ВК, где К – точка пересечения медианы АМ и
высоты СН;
viii. Уравнение биссектрисы внутреннего угла С.
ix.
Уравнение прямой А1В1, симметричной прямой АВ относительно
точки С.
x.
Координаты точки С1, симметричной точке С относительно прямой
АВ.
Сделать чертеж.
k) Тетраэдр ABCD задан координатами своих вершин в декартовой системе координат. Найти:
xi.
Уравнения грани АВС.
xii.
Уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ параллельно
ребру CD.
xiii.
Уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно ребру СВ.
xiv. Объем тетраэдра.
xv. Площадь грани АВС.
xvi. Двугранный угол при ребре СВ.
xvii. Длину высоты, опущенной из вершины D.
xviii. Уравнение высоты тетраэдра, проходящей через точку D.
xix.
Основание высоты тетраэдра, опущенной из вершины D.
xx.
Координаты точки Р симметричной точке D относительно грани АВС.
Сделать чертеж.