1 ? 2

Лекция 9.
Позиционные игры
07.11.2013
1
9.1. Понятие позиционной игры и ее
нормальная форма
9.2. Графическое представление
позиционной игры
2
9.1. Понятие позиционной игры и ее нормальная форма
Позиционная игра – это игра, моделирующая процессы
последовательного принятия решений в условиях
меняющейся во времени и неполной информации.
Позиционная игра характеризуется тем, что:
• в ней могут принимать участие два и
более(конечное число) игроков,
• каждый из игроков может последовательно
делать конечное число ходов,
• некоторые ходы могут быть случайными, а
сведения о них могут меняться от хода к ходу.
3
9.1. Понятие позиционной игры и ее нормальная форма
Нормализация – это процесс сведения позиционной
игры к матричной игре двух игроков с нулевой суммой.
Полученная матричная игра называется
игрой в нормальной форме.
4
9.1. Понятие позиционной игры и ее нормальная форма
Игра состоит из трех ходов, которые делают два игрока
Первый
ход
1?2
Второй
ход
1?2
Третий
ход
1?2
X
1?2
Y
1?2
M(X, Y, Z)
Z
5
9.1. Понятие позиционной игры и ее нормальная форма
Функция М(X, Y, Z) определяется следующим образом
М(1, 1, 1) = -2
М(1, 1, 2) = -1
М(1, 2, 1) = 3
М(1, 2, 2) = -4
М(2, 1, 1) = 5
М(2, 1, 2) = 2
М(2, 2, 1) = 2
М(2, 2, 2) = 6
6
9.1. Понятие позиционной игры и ее нормальная форма
Рассмотрим возможные стратегии второго игрока
1. Второй игрок может выбрать одно из двух
чисел 1 или 2.
2. У второго игрока есть информация о числе
X, которое выбрано на первом ходе. Эту
информации он может учитывать или не
учитывать при выборе числа Y.
1-я стратегия – выбирать Y=1, не взирая на X,
2-я стратегия – выбирать Y=2, не взирая на X,
3-я стратегия – выбирать Y=X,
4-я стратегия – выбирать Y=1, если X=2, и наоборот.
7
9.1. Понятие позиционной игры и ее нормальная форма
Количество стратегий первого игрока
Первый ход
Второй ход
Третий ход
1 или 2
1 или 2
1 или 2
2 варианта
2 варианта
2 варианта
ВСЕГО = 2*2*2 = 8 вариантов
8
9.1. Понятие позиционной игры и ее нормальная форма
Определение стратегий первого игрока
Обозначим через (i, i1, i2) стратегию
первого игрока:
где i – выбор первого игрока на первом ходе,
i1 – выбор первым игроком на третьем ходе, если
второй игрок выбрал число 1,
i2 – выбор первым игроком на третьем ходе, если
второй игрок выбрал число 2.
9
9.1. Понятие позиционной игры и ее нормальная форма
Стратегии первого игрока
Например, стратегия первого игрока (1, 2, 1)
означает, что на первом ходе первый игрок
выбирает число 1 (первая цифра с скобках), а на
третьем ходе он выбирает число 2 (вторая цифра с
скобках), если второй игрок выбрал на втором ходе
число 1, и первый игрок на третьем ходе выбирает
число 1 (третья цифра в скобках) если второй
игрок на втором ходе выбрал число 2.
10
9.1. Понятие позиционной игры и ее нормальная форма
Матрица выигрышей
Выбрать 1
(1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 2, 2)
(2, 1, 1)
(2, 1, 2)
(2, 2, 1)
(2, 2, 2)
Выбрать 2
M(1, 1, 1) = -2 M(1, 2, 1) = 3
Выбрать Y=X
Выбрать Y≠X
M(1, 1, 1) = -2 M(1, 2, 1) = 3
M(1, 1, 1) = -2 M(1, 2, 2) = -4 M(1, 1, 1) = -2 M(1, 2, 2) = -4
M(1, 1, 2) = -1 M(1, 2, 1) = 3
M(1, 1, 2) = -1 M(1, 2, 1) = 3
M(1, 1, 2) = -1 M(1, 2, 2) = -4 M(1, 1, 2) = -1 M(1, 2, 2) = -4
M(2, 1, 1) = 5
M(2, 2, 1) = 2
M(2, 2, 1) = 2
M(2, 1, 1) = 5
M(2, 1, 1) = 5
M(2, 2, 2) = 6
M(2, 2, 2) = 6
M(2, 1, 1) = 5
M(2, 1, 2) = 2
M(2, 2, 1) = 2
M(2, 2, 1) = 2
M(2, 1, 2) = 2
M(2, 1, 2) = 2
M(2, 2, 2) = 6
M(2, 2, 2) = 6
M(2, 1, 2) = 2
11
9.1. Понятие позиционной игры и ее нормальная форма
Решение матричной игры
-2
-2
-1
-1
3
-4
3
-4
-2
-2
-1
-1
3
-4
3
-4
-2
-4
-1
-4
5
5
2
2
6
2
2
6
2
5
5
2
2
5
2
2
5
6
6
6
6
2
5
2
6 стратегия – (2, 1, 2)
1 стратегия – назвать 1 или
4 стратегия – выбрать Y≠X
12
9.2. Графическое представление позиционной игры
Дерево игры – это плоская фигура, состоящая из
узлов (вершин или позиций игры) и конечного
числа прямолинейных отрезков (ветвей или ходов
игрока), соединяющих эти узлы.
Каждый узел обозначается цифрой,
соответствующей номеру игрока, делающего ход,
и изображает ход этого игрока, поэтому каждому
ходу соответствует набор узлов, расположенных на
одном уровне.
13
9.2. Графическое представление позиционной игры
1. Дерево содержит одно единственную
начальную вершину («корень»), в которую не
входит ни одна ветвь;
2. Дерево имеет не менее одной вершины из
которой не выходит ни одна ветвь;
3. Из корня дерева имеется единственный путь к
каждой из остальных вершин дерева (ветвь
дерева);
4. Каждая ветвь дерева отображает партию игры;
5. Возможно столько различных партий, сколько
конечных вершин у дерева.
14
9.2. Графическое представление позиционной игры
Информационное множество узлов игрока
В информационное множество входят только
неразличимые для игрока узлы, т.е. те узлы, для
каждой пары из которых соответствующий игрок
не может точно указать, в какой точке дерева он
находится, делая этот ход.
Информационные множества на дереве игры
отмечают пунктиром.
15
9.2. Графическое представление позиционной игры
Графическое изображение игры – Пример 1
2
-1
1
2
3
-4
1
-5
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
6
1
1
2
1
2
2
2
1
1
2
16
9.2. Графическое представление позиционной игры
Игра состоит из трех ходов, которые делают два игрока
Первый
ход
1?2
Второй
ход
1?2
Третий
ход
1?2
X
Y
1?2
M(X, Y, Z)
Третий ход делает первый игрок не зная
о выборе Y на втором ходе и забывая
число X, выбранное на первом ходе
Z
17
9.2. Графическое представление позиционной игры
Графическое изображение игры – Пример 2
2
-1
1
2
3
-4
1
-5
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
6
1
1
2
1
2
2
2
1
1
2
18
9.2. Графическое представление позиционной игры
Нормализация игры Пример 2
Выбрать 1
(1, 1)
(1, 2)
(2, 1)
(2, 2)
Выбрать 2
Выбрать Y=X
Выбрать Y≠X
М(1, 1, 1) = -2 3
-2
3
М(1, 1, 2) = -1 -4
-1
-4
5
2
2
5
2
6
6
2
Решая данную игру, получаем решение:
V = 26/7≈3.71 ,
P = (0; 0; 4/7; 3/7), Q=(4/7; 3/7; 0; 0)
Потеря информации уменьшает цену игры.
19
9.2. Графическое представление позиционной игры
Игра состоит из трех ходов, которые делают два игрока
Первый
ход
1?2
Второй
ход
Третий
ход
1?2
X
Y
1?2
M(X, Y, Z)
Z
20
9.2. Графическое представление позиционной игры
Графическое изображение игры – Пример 3
2
-1
1
2
3
-4
1
-5
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
6
1
1
2
1
2
2
2
1
1
2
21
9.2. Графическое представление позиционной игры
Нормализация игры Пример 3
Выбрать 1
(1, 1)
(1, 2)
(2, 1)
(2, 2)
Выбрать 2
М(1, 1, 1) = -2 3
М(1, 1, 2) = -1 -4
5
2
2
6
Решая данную игру, получаем решение:
V = 26/7≈3.71 ,
P = (0; 0; 4/7; 3/7), Q=(4/7; 3/7)
22
9.2. Графическое представление позиционной игры
1-й игрок
1
А
1?2
2-й игрок
2
1?2
1?2
1?2
В
Судья
M (X, Y, Z)
1?2
23
9.2. Графическое представление позиционной игры
M (X, Y, Z) – сумма, которую
второй игрок платит первому
М (1, 1, 1) = 0,
М (1, 1, 2) = 2
М (1, 2, 1) = 6,
М (1, 2, 2) = 8
М (2, 1, 1) = 4,
М (2, 1, 2) = 0
М (2, 2, 1) = 5,
М (2, 2, 2) = 6
24
9.2. Графическое представление позиционной игры
Графическое изображение игры – Пример 4
0
2
1
2
6
8
1
4
2
2
1
2
1
2
0
2
5
1
2
2
2
1
2
6
2
2
1
1
2
25
9.2. Графическое представление позиционной игры
Нормализация игры – Пример 4
(А=1, В=1) (А=1, В=2) (А=2, В=1) (А=2, В=2)
(1)
(2)
М(1, 1, 1) = 0
М(1, 1, 2) = 2
М(1, 2, 1) = 6
М(1, 2, 2) = 8
М(2, 1, 1) = 4
М(2, 2, 1) = 5
М(2, 1, 2) = 0
М(2, 2, 2) = 6
Решение игры: v= 12/5,
P=(2/5; 3/5), Q=(3/5; 0; 2/5; 0)
26
9.2. Графическое представление позиционной игры
2-й ход
1-й ход
P(x=1) = 0.5
1?2
1
2
P(x=2) = 0.5
3-й ход
1?2
1?2
M (X, Y, Z)
27
9.2. Графическое представление позиционной игры
Функция М(X, Y, Z) определяется следующим образом
М(1, 1, 1) = -2
М(1, 1, 2) = -1
М(1, 2, 1) = 3
М(1, 2, 2) = -4
М(2, 1, 1) = 5
М(2, 1, 2) = 2
М(2, 2, 1) = 2
М(2, 2, 2) = 6
28
9.2. Графическое представление позиционной игры
Графическое изображение игры – Пример 5
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
0
2
29
9.2. Графическое представление позиционной игры
Нормализация игры – Пример 5
Стратегии 1-го игрока
1-я стратегия – выбирать Y=1, не взирая на X,
2-я стратегия – выбирать Y=2, не взирая на X,
3-я стратегия – выбирать Y=X,
4-я стратегия – выбирать Y=1, если X=2, и наоборот.
Стратегии 2-го игрока
1-я стратегия – выбирать Z=1, не взирая на Y,
2-я стратегия – выбирать Z=2, не взирая на Y,
3-я стратегия – выбирать Z=Y,
4-я стратегия – выбирать Z=1, если Y=2, и наоборот.
30
9.2. Графическое представление позиционной игры
Платежная матрица – Пример 5
Z=1
Y=1
Y=X
Y≠X
Y=2
Z=Y
Z≠Y
Z=2
1,5
Если (Х=1) и (Y=1) и (Z=1), то М(1, 1, 1) = -2
Если (Х=2) и (Y=1) и (Z=1), то М(2, 1, 1) = 5
Выигрыш 1-го игрока = 0,5*М(1,1,1)+0,5*М(2,1,1) = 1,5
31
9.2. Графическое представление позиционной игры
При составлении информационных
множеств, следует учесть:
1. В одно информационное множество могут
входить узлы, относящиеся только к одному
игроку.
2. Любая ветвь дерева, отображающая партию
игры, не должна пересекать одно и то же
информационное множество больше одного
раза.
32
9.2. Графическое представление позиционной игры
Графическое изображение игры – Ошибки
1
2
1
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
33