Аверьянова_Презентация

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики
Кафедра оптимального управления
Линейные дифференциальные игры
Численные методы решения
подготовила
студентка 413 группы
Аверьянова Татьяна
Москва
2011
Содержание
 Постановка задач наведения и уклонения
 Теоретические основы решения
 Вычисление альтернированной суммы
 Гарантированное время окончания преследования
 Позиционные стратегии преследования и уклонения
Постановка задачи
отрезок времени
фазовая переменная, описывает состояние системы
управление первого игрока
управление второго игрока
ресурсы управления игроков, выпуклые компакты
постоянные матрицы
Терминология
 Позиция управляемой системы
 Допустимое программное управление игрока
 Класс всех допустимых программных управлений игрока
 Движение управляемой системы под действием допустимых
управлений игроков
 Позиционная стратегия игрока
 Разбиение отрезка времени
 Движение управляемой системы под действием позиционной
стратегии одного игрока и управления второго игрока
 Пучок движений, порожденный позиционной стратегией одного из
игроков
Терминология
Позиция управляемой системы
Допустимое программное управление
Терминология
Класс допустимых программных управлений
Движение управляемой системы
Терминология
Позиционная стратегия игрока
Разбиение отрезка времени
Терминология
Движение управляемой системы под действием позиционной стратегии
Пучок движений, порожденный позиционной стратегией одного из игроков
Задачи наведения и уклонения
Первый игрок
Второй игрок
Наведение на терминальное множество
Уклонение от терминального множества
Теорема
Достаточные условия разрешимости
1.
Замена переменной
Достаточные условия разрешимости
2. Альтернированная сумма
 Равномерное разбиение отрезка [0,T]
 Рекуррентные соотношения
Достаточные условия разрешимости
Свойства альтернированной суммы
 Выпуклость и компактность
 Лемма
Достаточные условия разрешимости
3. Альтернированный интеграл
 Определение
 Теорема
Достаточные условия разрешимости
 Вывод
Метод решения
Вычисление альтернированного интеграла
 Проблема: вычисление бесконечного пересечения
 Решение: будем приближать интеграл суммой
Из леммы следует, что при достаточно
мелком разбиении отрезка [0,T]
альтернированная сумма является хорошей
аппроксимацией множества W

Соглашения:
- разбиение отрезка [0,T] – равномерное
h=T/N –диаметр разбиения
- стратегии игроков – кусочно-постоянные
игроки могут изменять управление только
в моменты времени из разбиения, оставляя его
постоянным между этими моментами
Метод решения
Алгоритм вычисления гарантированного времени
решения задачи наведения
 Достаточное условие для решения задачи наведения:
 Алгоритм вычисления гарантированного времени решения:
Методы решения
Вычисление альтернированной суммы
Так как все множества, используемые в формулах, являются выпуклыми компактами, то
удобно пользоваться при вычислении опорными функциями
В силу необходимости приближенного вычисления опорных функций необходимо
ограничить число точек, в которых эти функции будут вычисляться.
Рассмотрим сетку на единичной сфере состоящую из m точек
Алгоритм приближенного построения опорной функции альтернированной суммы
…
Методы решения
Гарантированное время окончания преследования
 Перепишем достаточное условие для решения задачи
наведения, используя опорные функции:
 Тогда проверку этого условия можно выполнять так:
 Вывод:
Методы решения
Вычисление позиционных стратегий
Шаг 1. Начальный момент:
Интегрируем систему на [0,h]
предполагая U и V постоянными.
Находим х(h).
Шаг 2. Вычисление стратегий
а) Выбор управлений U и V:
б) Интегрируем на [T-kh;T-(k-1)/h]
предполагая постоянными
управления U и V
в) Получение значения
x (T-(k-1)h)
Конец презентации.
Спасибо за внимание.