Математические основы информатики. Информатика ФГОСС

Информатика ФГОСС
Математические основы
информатики.
Двоичная система счисления
Информатика ФГОСС
Двоичная система
счисления
Информатика 9 класс
Токар И.Н.
Двоичная система счисления
Информатика ФГОСС
Вспомним общие сведения
Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определённые
правила записи чисел.
Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа,.
Алфавит системы счисления - совокупность цифр.
Двоичная система используется в компьютерной технике,
так как:
двоичные числа представляются в компьютере с
помощью простых технических элементов с двумя
устойчивыми состояниями;
представление информации посредством только двух
состояний надёжно и помехоустойчиво;
двоичная арифметика наиболее проста;
существует математический аппарат, обеспечивающий
логические преобразования двоичных данных.
Двоичный код удобен для компьютера.
Человеку
неудобно
пользоваться
длинными
и
однородными
кодами.
Специалисты заменяют двоичные коды на
величины
в
восьмеричной
или
шестнадцатеричной системах счисления.
Двоичная система счисления
Информатика ФГОСС
Двоичная система счисления является основной системой
представления информации в памяти компьютера. В этой
системе счисления используются две цифры: 0 и 1.
Двоичную цифру называют битом.
Первое опубликованное обсуждение двоичной системы
счисления принадлежит испанскому священнику Хуану
Карамюэлю Лобковицу ( 1670 г .). Всеобщее внимание к этой
системе привлекла статья немецкого математика Готфрида
Вильгельма Лейбница, опубликованная в 1703 г В ней
пояснялись двоичные операции сложения, вычитания,
умножения
и
деления.
Лейбниц
не
рекомендовал
использовать эту систему для практических вычислений, но
подчёркивал её важность для теоретических исследований.
Со временем двоичная система счисления становится
хорошо известной и получает развитие. Большинство
современных электронно-вычислительных машин используют
в своей работе именно эту систему чисел.
Двоичная система счисления
Информатика ФГОСС
С помощью двоичной системы кодирования можно
зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять,
если вспомнить принцип кодирования и передачи
информации с помощью азбуки Морзе.
Телеграфист, используя только два символа этой азбуки точки и тире, может передать практически любой текст.
Объём памяти компьютера измеряется в байтах. Каждый
байт может выражать букву, число, пробел, знак препинания
или какой-либо другой символ. Количество символов,
которые компьютер может хранить в оперативной памяти,
меняется в широких пределах от вида компьютера и его
модели.
Объём памяти, хотя он и измеряется в байтах, обычно
выражается в килобайтах. Слово "килобайт", вообще говоря,
означает "1000 байт". (Напомним, что приставка "кило"
означает "тысяча".)
Двоичная система счисления
Информатика ФГОСС
Фактически же килобайт равен 1024 байтам: 1 Кбайт = 1024
байт.
Компьютер с объёмом памяти в 64 К может хранить 64 х 1024
= 65536 символов.
Объём памяти первых микрокомпьютеров составлял всего
лишь 2 Кб. Нынешние компьютеры имеют объём памяти 128,
256, 512, 1024 Мб и более
Объём памяти новейших компьютеров так велик, что она
выражается в гигабайтах, т. е. в миллиардах байтов.
1 Мбайт = 1024 Кбайт = 1 048 576 байт.
Итак, каждый символ алфавитно-цифровой информации
представляется в компьютере кодом из восьми двоичных
цифр. Следовательно, каждый символ в компьютере имеет
код объёмом 1 байт.
Двоичная система счисления
Информатика ФГОСС
Информатика и образование
имеет в двоичной форме объём 25 байт: 23 буквы и 2 символа
"пробел" по 1 байту.
Пример. Измерим в байтах объём текстовой информации в
книге из 258 страниц, если на одной странице размещается в
среднем 45 строк по 60 символов (включая пробелы). Один
символ в двоичной форме содержит 1 байт. Строка будет
содержать 61 байт, учитывая и служебный символ окончания
строки. Тогда
61 байт * 45 строк = 2745 байт.
Так как в книге 258 страниц текста и на каждой странице в
среднем по 2745 байт информации, то объём алфавитноцифровой информации в книге
2745 байт * 258 страниц = 708210 байт " 692 Кбайт
Таким образом, текст книги имеет объём около 692 Кбайт.
Двоичная система счисления
Двоичная
Информатика ФГОСС
система счисления
Двоичной системой счисления называется позиционная
система счисления с основанием 2.
Двоичный алфавит: 0 и 1.
Для целых двоичных чисел можно записать:
an–1an–2…a1a0 = an–12n–1 + an–22n–2 +…+ a020
Например:
100112 =124+023+022+121+120 = 24 +21 + 20 =1910
Правило перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления:
Вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в
свёрнутой форме записи двоичного числа
Двоичная система счисления
Информатика ФГОСС
Правило перевода целых десятичных
чисел в двоичную систему счисления
an–12n–1+an–22n–2+… a121 +a0
2
an–12n–1+an–22n–2+… a1
2
an–12n–1+an–22n–2+… a2
2
= an–12n–2 +…+ a1 (остаток a0)
= an–12n–3+…+ a2 (остаток a1)
= an–12n–4 +…+ a3 (остаток a2)
...
На n-м шаге получим набор цифр: a0a1a2…an–1
Информатика ФГОСС
Двоичная система счисления
Компактное оформление
363 181 90
1
1
0
45
22
11
5
2
1
1
0
1
1
0
1
36310 = 1011010112
314 157 78
0
1
0
39
19
9
4
2
1
1
1
1
0
0
1
31410 = 1001110102
Перевод целых чисел
Двоичная система счисления
10  2
18
1
2
9
8
1
2
4
4
0
43210
19 = 100112
2
2
2
0
2  10
Информатика ФГОСС
2
1
0
система
счисления
2
0
1
разряды
100112 = 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·2
= 16 + 2 + 1 = 19
Двоичная система счисления
Информатика ФГОСС
Перевод дробных чисел
10  2
2  10
0,375 = 0,0112
0,7 = ?
0,7 = 0,101100110…

2
= 0,1(0110)2
,750
0,75
Многие дробные числа нельзя представить в
виде конечных двоичных дробей.
 2
,50
Для их точного хранения требуется
бесконечное число разрядов.
0,5
 2
Большинство дробных чисел хранится в
1
памяти с ошибкой.
2-2 =
1
22 = 0,25
2 1 0 -1 -2 -3 разряды
101,0112 = 1·22 + 1·20 + 1·2-2 + 1·2-3
= 4 + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,375
Двоичная система счисления
Информатика ФГОСС
А вот как происходит перевод двоичного числа в десятичное:
Двоичная система счисления
Информатика ФГОСС
Дробные числа в двоичной системе
счисления
В любой системе счисления нужно уметь представлять не
только целые числа, но и дробные. С математической точки
зрения это ординарная задача, которая давно решена.
Однако с точки зрения компьютерной техники это далеко не
тривиальная проблема, во многом связанная с архитектурой
компьютера. Ресурсы компьютеров не бесконечны, и
основной трудностью является представление периодических
и непериодических дробей. Следовательно, такие дроби
следует округлять, задавать класс точности участвующих (и
могущих появиться в результате вычислений!) чисел без
потери точности вычислений, а также следить за тем, чтобы
потеря точности не произошла при переводе чисел из одной
системы счисления в другую. Особенно важно аккуратно
производить вычисления при операциях с плавающей точкой.
Двоичная система счисления
Информатика ФГОСС
Запишем формулу представления дробного числа
в позиционной системе счисления:
Ap = an-1·pn-1+an-2·pn-2 + ... + a1·p1+a0·p0 +a-1·p1+a-2·p-2 + ... + a-m·p-m,
В случае десятичной системы счисления получим:
24,7310 = (2·101+4·100+7·10-1+3·10-2)10
Перевод дробного числа из двоичной системы
счисления в десятичную производится по
следующей схеме:
101101,1012 =
(1·25+0·24+1·23+1·22+0·21+1·20+1·2-1+0·2-2+1·23)10=45,62510
Двоичная система счисления
Информатика ФГОСС
Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в
двоичную осуществляется по следующему алгоритму:
Вначале переводится целая часть десятичной дроби в
двоичную систему счисления;
Затем дробная часть десятичной дроби умножается на
основание двоичной системы счисления;
В полученном произведении выделяется целая часть,
которая принимается в качестве значения первого после
запятой разряда числа в двоичной системе счисления;
Алгоритм завершается, если дробная часть полученного
произведения равна нулю или если достигнута требуемая
точность вычислений. В противном случае вычисления
продолжаются с предыдущего шага.
Двоичная система счисления
Информатика ФГОСС
Пример: Требуется перевести дробное десятичное число
206,116 в дробное двоичное число.
Перевод целой части дает 20610=110011102 по ранее
описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на
основание 2, занося целые части произведения в разряды
после запятой искомого дробного двоичного числа:
.116 • 2 = 0.232
.232 • 2 = 0.464
.464 • 2 = 0.928
.928 • 2 = 1.856
.856 • 2 = 1.612
.612 • 2 = 1.224
.224 • 2 = 0.448
.448 • 2 = 0.896
.896 • 2 =1.792
.792 • 2 = 1.584
и т.д.
Получим: 206,11610=11001110,00011100112
Двоичная система счисления
Информатика ФГОСС
Отрицательные числа в двоичной
системе счисления
Перейдем теперь к вопросу представления отрицательных
чисел. Для определенности рассмотрим тип byte, в котором
любое число занимает ровно восемь бит. Из записи в двоичной
системе счисления равенства (- 1) + 1 = 0 легко найти, какой
вид должно иметь неизвестное нам пока двоичное
представление xxxxxxxx числа - 1:
xxxxxxxx + 00000001 = 00000000
Ясно, что на месте символов xxxxxxxx должно быть
расположено число 11111111. Правильным результатом при
этом, конечно, следовало бы считать 100000000, а не 00000000,
но ведь мы имеем дело с типом byte и, так как результат обязан
разместиться в байте, единица <<исчезает>>.
Итак, число - 1 должно кодироваться как 11111111. Дальнейшее
уже совсем просто: для получения - 2 нужно - 1 уменьшить на
единицу, что даст 11111110; число - 3 представляется как
11111101 и т.д.
Двоичная система счисления
Информатика ФГОСС
Отрицательные числа всегда имеют в своем двоичном
представлении единицу в самом старшем разряде, который
поэтому называют знаковым, а абсолютная величина
кодируемого числа получается как двоичное дополнение
остальных бит (нули нужно заменить на единицы и
наоборот), увеличенное на один.
Легко видеть, что при этом самым маленьким
отрицательным числом, которое принадлежит типу byte,
является число - 128 (двоичное представление 10000000), а
самым большим -- число 127 (представление 01111111). Все
представимыe числа (а их 256) в данном случае могут быть
получены как пересечение двух множеств: множества Z всех
целых чисел и отрезка [ - 128; 127 ].
Интересным является следующее наблюдение: если число
01111111 увеличить на единицу, то получится 10000000, что
означает следующее:
127 + 1 = - 128 !!!
Двоичная система счисления
Информатика ФГОСС
Итак, множество элементов типа byte можно представлять
себе в виде свернутого в кольцо отрезка
отрезка
[ - 128; 127 ].
То, что для элементов множества , являющегося машинным
аналогом Z, нарушено фундаментальное свойство целых
чисел X + 1 > X, способно привести к различным невероятным
на первый взгляд результатам, однако гораздо более
странные вещи происходят при работе с вещественными
числами.
Информатика ФГОСС
Плюсы и минусы двоичной системы
Двоичная система счисления
• нужны технические устройства только с двумя
устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока,
намагничен — не намагничен и т.п.);
• надежность и помехоустойчивость двоичных кодов;
• выполнение операций с двоичными числами для
компьютера намного проще, чем с десятичными.
• простые десятичные числа записываются в виде
бесконечных двоичных дробей;
• двоичные числа имеют много разрядов;
• запись числа в двоичной системе однородна, то
есть содержит только нули и единицы; поэтому
человеку сложно ее воспринимать.
Информатика ФГОСС
Источники информации
Двоичная система счисления
1.http://school-collection.edu.ru/catalog/res/caeea6cc-bd1d-4f47-9046-1434ac57e111/?from=a30a95506a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a6211da-8cd6-0800200c9a66 – Умножение и деление двоичных чисел
2.http://school-collection.edu.ru/catalog/res/402b749c-240b-4e16-9e4d-bea3fc4fa8fa/?from=a30a95506a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a6211da-8cd6-0800200c9a66 – История развития систем счисления
3.http://school-collection.edu.ru/catalog/res/1a264912-eca9-4b45-8d77-c3655b199113/?from=a30a9550
6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a6211da-8cd6-0800200c9a66 – Перевод недесятичных чисел в десятичную систему счисления
4.http://school-collection.edu.ru/catalog/res/78ba290c-0f7c-4067-aaf4-d72f40f49f3b/?from=a30a95506a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a6211da-8cd6-0800200c9a66 - Перевод десятичных чисел в другие системы счисления
5.http://school-collection.edu.ru/catalog/res/67cbf74b-f85a-4e9d-88c5-58f203fb90ce/?from=a30a95506a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a6211da-8cd6-0800200c9a66 - Сложение и вычитание многоразрядных двоичных чисел
6.http://school-collection.edu.ru/catalog/res/8bb7eefa-4ed9-43fe-aebe-4d6ac67bc6ec/?from=a30a95506a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a6211da-8cd6-0800200c9a66 - Сложение и вычитание одноразрядных двоичных чисел
7.http://school-collection.edu.ru/catalog/res/fc77f535-0c00-4871-b67c-fa2ecf567d46/?from=a30a95506a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a6211da-8cd6-0800200c9a66 – Задачник
8.http://school-collection.edu.ru/catalog/res/a96df437-5ae3-4cab-8c5f-8d4cd78c5775/?from=a30a95506a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a6211da-8cd6-0800200c9a66 - Развернутая форма записи числа
9.http://school-collection.edu.ru/catalog/res/19d0fb95-871d-4063-961d-e7dc5725e555/?from=a30a95506a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a6211da-8cd6-0800200c9a66 – Тренировочный тест
Двоичная система счисления
Информатика ФГОСС
Двоичная арифметика