Формула полной вероятности

«Можно с полной вероятностью сказать,
что всё невероятное вполне вероятно»
Ф. Крэнс, математик XVIII век
Пусть проводится опыт, об условиях которого можно
сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез),
образующих полную группу:
Н2
Н3
Н4
Каждая из гипотез осуществляется случайным
Н1
образом и представляет собой случайное событие.
Вероятности гипотез известны и равны:
А
Нn
Требуется вычислить полную вероятность.
Полную вероятность события А можно найти по формуле
P(A)  P(H1 )  PH1 (A)  P(H2 )  PH2 (A)  P(H3 )  PH3 (A)  P(H4 )  PH4 (A)  ...  P(Hn ) PHn (A)
 Следствием обеих теорем вероятности – теоремы сложения и теоремы
умножения – является формула полной вероятности.
• Пример.
–
В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой
продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго
предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого
предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции
высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется
высшегосорта.
• Решение.
–
–
Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция
высшего сорта, через A1, A2, A3 обозначим события, заключающиеся в покупке
продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему
предприятиям.
Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:
Подставляя эти значения в формулу полной вероятности:
• Пример.
 На склад поступает оборудование от трех разных
производителей. От первого поступило 20 образцов,
от второго — 10, а от третьего — 70. Вероятность брака у этих
производителей соответственно равна 0,25; 0,35 и 0,55. Найти
вероятность получить бракованный образец при выборе
наугад.
• Решение.
Всего у нас 20 + 10 + 70 = 100 образцов. Поэтому вероятность события A1, что
образец получен именно от первого производителя (от него поступило 20 образцов), равна
P(A1) = 20/100 = 0,2.
Аналогично, P(A2) = 10/100 = 0,1; P(A3) = 70/100 = 0,7. События A1, A2 и A3 попарно
несовместны и в сумме покрывают пространство всех возможных событий. Применяем
формулу полной вероятности:
Применение формулы полной вероятностей
•
Пусть имеется полная группа несовместных
гипотез Н1,Н2…Нn . Вероятности этих гипотез до
опыта считаются известными: Р(Н1),Р(Н2)…Р(Нn).
•
Производится опыт,
происходит событие А.
в
результате
которого
Как следует изменить вероятности гипотез в связи
с появлением события А?
Определим условные вероятности каждой из
гипотез Р(Нi/А).
По теореме об умножении вероятностей:
P( A  H i )  P( A)  P( H i | A)  P( H i )  P( A | H i )
Отсюда
P( H i )  P( A | H i )
P( H i | A) 
P( A)
По формуле полной вероятности
n
P( A)   P( H i )  P( A | H i )
i 1
PA (Hi ) 
P(Hi )  PH (A)
i
n
 P(Hi )  PHi (A)
i 1
•
Базируется на формуле полной вероятности и теореме умножения
вероятностей.
• Пример.
– После двух выстрелов двух стрелков, вероятности
попаданий которых равны 0,6 и 0,7, в мишени оказалась
одна пробоина. Найти вероятность того, что попал
первый стрелок.
• Решение.
•
•
•
•
Пусть событие А – одно попадание при двух выстрелах, а гипотезы: Н1 –
первый попал, а второй промахнулся, Н2 – первый промахнулся, а второй
попал, Н3– оба попали, Н4 – оба промахнулись.
Вероятности гипотез: р(Н1) = 0,6·0,3 = 0,18, р(Н2) = 0,4·0,7 = 0,28, р(Н3) =
0,6·0,7 = 0,42, р(Н4) = 0,4·0,3 = 0,12.Тогда р(А/Н1) =р(А/Н2) = 1, р(А/Н3)
= р(А/Н4) = 0.
Следовательно, полная вероятность р(А) = 0,18·1 + 0,28·1 + 0,42·0 + 0,12·0
= 0,46.
Применяя формулу Байеса, получим:
•
1)Математический инструмент в теории вероятностей.
2)В статистике – как обобщение предшествующего опыта.
Предполагается, что нами накоплен опыт, позволяющий
экспериментально оценить распределение вероятностей.
3)В статистике - для сравнения разных моделей в случае, когда
распределения настолько нечетки, что вообще несущественны.
•
4)Описание умонастроения. Сторонники интерпретации вероятности
события как меры субъективной уверенности в его возможности могут
пересчитывать эти величины в процессе появления новых данных.
Очевидно, что математика здесь может быть подобной мельнице
перемалывающей труху: произвол в определении априорных
вероятностей может быть опасным.
• В частности формула полной вероятности и формула
Байеса применяются при обосновании некоторых
правил стрельбы.
• В стрелковой практике, цель которой – уточнить
некоторые особенности условий стрельбы.
Например, уточняются: положение цели, положение
средней траектории, некоторые особенности
употребляемого оружия или любые другие особенности
условий стрельбы, влияющие на ее эффективность.
Спасибо за внимание!