центром масс

МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
СТАТИКА
ЦЕНТР МАСС

Центр масс - точка, характеризующая распределение масс в теле или системе тел.
 При движении тела (системы тел) его центр масс движется как материальная точка с массой,
равной массе всего тела (системы тел), к которой приложены все силы, действующие на это тело
(тела системы).
 Центр тяжести - точка, связанная с телом (или системой тел), через которую проходит
равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы этого тела (или тела
системы) при любом положении тела (или системы тел) в пространстве
 Положение центра тяжести тела (системы тел) в однородном поле тяжести совпадает с
положением его центра масс
 Центр масс может не совпадать ни с одной из точек тела (например, у кольца) или телом системы.
𝑛
𝑛
Положение центра масс
y
𝒎𝟏
m2
определяется выражением:
𝒓𝒄 =
𝒎𝒊 𝒓𝒊
𝒎𝒊
𝒓𝟐
𝒚𝒄
𝑖=1
𝑖=1
𝒓 𝟏 𝒓𝒄
m3
В проекциях на оси координат для плоской системы:
𝒓𝟑
𝑛
m4
𝟎𝒙│𝒙𝒄 =
𝒓𝟒
0
𝒙𝒄
x
Лицей 1511 Грушин, Самоварщиков, Храмченков Физика 10 класс
𝒎𝒊 𝒙𝒊
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝒎𝒊
𝑖=1
𝟎𝒚│𝒚𝒄 =
𝑛
𝒎𝒊 𝒚𝒊
𝑖=1
𝒎𝒊
𝑖=1
МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
СТАТИКА
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
8.10. Определить положение центра тяжести плоского однородного листа,
изображенного на рисунке.
РАСЧЕТНЫМ МЕТОДОМ
y
 Изобразим фигуру так, чтобы она заняла целое число клеток в тетради
𝒎𝟏
1. Разобьем фигуру на два прямоугольника 3. Определим массы прямоугольников
1
x
2. Определим центры масс прямоугольников (массы пропорциональны площадям)
0
 Изобразим оси координат
𝒎𝟏 = 𝟓 × 𝟔 = 𝟑𝟎уе 𝒎𝟐 = 𝟒 × 𝟏𝟏 = 𝟒𝟒уе
𝒓𝒄
В векторном виде:
 Определим положение центра масс
с 𝒓𝟐
𝑟 2 𝑚2
44 𝑟2
0 ∙ 𝑚1 + 𝑟2𝑚2
𝑟 𝑚 + 𝑟2𝑚2
𝒎𝟐 𝒓𝒄 = 1 1
=
= 0,595𝑟2
=
=
𝑚
+
𝑚
74
𝑚
+
𝑚
𝑚1 + 𝑚2
1
2
1
2
2
𝒓𝒄 ↑↑ 𝒓𝟐 →  Центр масс пары тел находится на прямой линии,
соединяющей центры масс каждого тела
𝒅 ∙ 𝑚2
𝒅
=
Обозначим расстояния между точками 1 и 2 𝑟2 = 𝒅; между точками 1 и c 𝑟с = 𝒅𝟏 ; 𝟏
𝑚1 + 𝑚2
𝒅 ∙ 𝑚2
𝒅 ∙ 𝑚1
𝒅𝟏
𝑚2
между точками c и 2 равно 𝒅𝟐 ;
𝒅𝟐 = 𝒅 −
=
→
=
𝑚1 + 𝑚2 𝑚1 + 𝑚2
𝒅𝟐 𝑚1
 Центр масс пары тел делит расстояние между центрами масс этих тел, на отрезки обратно
пропорциональные массам этих из тел
Лицей 1511 Грушин, Самоварщиков, Храмченков Физика 10 класс
ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ
МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
СТАТИКА
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ПРОДОЛЖЕНИЕ
8.10. Определить положение центра тяжести плоского однородного листа,
изображенного на рисунке.
РАСЧЕТНЫМ МЕТОДОМ
Массы
прямоугольников
y
 Определим координаты центров масс фрагментов и тела:
𝒎𝟏
В проекциях на оси координат
Точка 1 (𝑥1 = 0, 𝑦1 = 0)
1
x
0
𝒎𝟐 = 𝟒 × 𝟏𝟏 = 𝟒𝟒уе Точка 2 (𝑥2 = 2,5кл, 𝑦1 = −4,5кл)
𝒎𝟏 = 𝟓 × 𝟔 = 𝟑𝟎уе
𝒓𝒄
0 ∙ 𝑚1 + 2,5 ∙ 𝑚2
𝑥1 𝑚1 + 𝑥2 𝑚2
2,5 ∙ 44
=
0𝑥│𝑥𝑐 =
=
с 𝒓
= 1,486кл
𝑚1 + 𝑚2
𝟐
𝑚1 + 𝑚2
74
𝒎𝟐
−4,5 ∙ 44
0 ∙ 𝑚1 − 4,5 ∙ 𝑚2
𝑦1 𝑚1 + 𝑦2 𝑚2
2
= −2,676кл
=
0𝑦│𝑦𝑐 =
=
74
𝑚1 + 𝑚2
𝑚1 + 𝑚2
Расстояние 1 – с обозначим 𝒅𝟏 ; расстояние с – 2 обозначим 𝒅𝟐 :
Расстояние 1 – 2 обозначим 𝒅:
2
𝒅=
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
𝟐
+ 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝟐
=
2,5
𝒅𝟏 =
𝒙с − 𝒙𝟏
𝟐
+ 𝒚с − 𝒚𝟏
𝟐
=
1,486
+ −4,5
2
2
= 5,148кл
+ −2,676
2
𝒅𝟏 3,061
𝒅𝟐 = 𝒅 − 𝒅𝟏 = 5,148 − 3,061 =2,087
=
= 1,467
𝒅𝟐 2,087
Лицей 1511 Грушин, Самоварщиков, Храмченков Физика 10 класс
= 3,061кл
𝒅𝟏
𝒓𝒄 3,061
=
=
= 0,595
𝒅
𝒓𝟐 5,148
𝒎𝟐 44
=
= 1,467 ⟼
𝒎𝟏 30
𝒅𝟏 𝒎𝟐
=
𝒅𝟐 𝒎𝟏
ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ
МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
СТАТИКА
ЦЕНТР МАСС
ПРОДОЛЖЕНИЕ
8.10. Определить положение
изображенного на рисунке.
центра
тяжести
плоского
однородного
листа,
ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
1. Разобьем фигуру на два прямоугольных фрагмента
 Изобразим центы масс (тяжести)
𝑭′ 2. Разместим фигуру условно в вертикальной плоскости фрагментов и силы тяжести
 Равнодействующей нескольких сил 𝑭𝟏 , 𝑭𝟐 и т.д., действующих на тело,
𝒎𝟏
называется сила 𝑹, оказывающая на тело такое же действие как и все
1
данные силы
𝑹 = 𝒎𝟏 𝒈 + 𝒎𝟐 𝒈 Вся проблема в определении точки приложения 𝑹
𝑭
𝑭𝟏
При нахождении равнодействующей параллельных сил построением:
А) силу и точку ее приложения можно переносить только вдоль
𝒎𝟐
линии ее действия.
2
𝒎𝟏 𝒈
Б) в любой точке тела можно приложить две равные по величине и
противоположные по направлению силы, не изменяя общего
𝑭
характера движения тела.
3. Соединим отрезком точки 1 и 2. На этом отрезке должен
находиться центр тяжести фигуры.
4. По п. Б) приложим к точке 1 две равные по модулю и
𝒎𝟐 𝒈
противоположно направленные вдоль отрезка 1-2 силы 𝑭′ и 𝑭
5. По п. А) перенесем силу 𝑭,вдоль отрезка 1-2 в точку 2
6. Произведем сложение сил: 𝒎𝟏 𝒈 и 𝑭′ , а так же 𝒎𝟐 𝒈 и 𝑭
𝑭𝟐
ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ
Лицей 1511 Грушин, Самоварщиков, Храмченков Физика 10 класс
МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
СТАТИКА
ЦЕНТР МАСС
ПРОДОЛЖЕНИЕ
8.10. Определить положение
изображенного на рисунке.
центра
тяжести
плоского
однородного
листа,
ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
 Определим величину и направление равнодействующей:
𝑹 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 = 𝒎𝟏 𝒈 + 𝑭′ + 𝒎𝟐 𝒈 + 𝑭 = 𝒎𝟏 𝒈 + 𝒎𝟐 𝒈
 Определим точку приложения равнодействующей:
𝑭′
𝒎𝟏
0
По п. А) перенесем силу 𝑹 вдоль линии её действия в точку с на пересечении с
прямой 1-2
Точка с является центром тяжести (центром масс) тела
1
𝑭𝟏
c
𝒎𝟏 𝒈
𝑹
𝒎𝟐
2
𝑭
𝒎𝟐 𝒈
𝑹
𝑭𝟐
 Рассмотрим две пары подобных треугольников
 - обозначим отрезок 0-с как 𝒂  - обозначим отрезок 1-с как 𝒅𝟏
 - обозначим отрезок с-2 как 𝒅𝟐
Из подобия треугольников следует:
𝒎𝟐 𝒈
𝒂
𝒎𝟏 𝒈
𝒂
=
∗∗
=
∗
с учетом, 𝑭′ = 𝑭 →
и
′
𝑭
𝒅𝟐
𝑭
𝒅𝟏
𝒎𝟏 𝒈𝒅𝟏 = 𝒂𝑭 ∗
𝒎𝟐 𝒈𝒅𝟐 = 𝒂𝑭 ∗∗
Из ∗ и ∗∗ следует: 𝒎𝟏 𝒅𝟏 = 𝒎𝟐 𝒅𝟐
Лицей 1511 Грушин, Самоварщиков, Храмченков Физика 10 класс
или
𝒅𝟏 𝒎𝟐
=
𝒅𝟐 𝒎𝟏
ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ
МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
СТАТИКА
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ПРОДОЛЖЕНИЕ
8.10. Определить положение
изображенного на рисунке.
центра
тяжести
плоского
однородного
листа,
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ МЕТОДОМ
 Центром тяжести называют точку приложения равнодействующей сил тяжести,
действующих на отдельные части тела
Если плоскую пластину подвесить в какой-либо точке в вертикальной
А
плоскости, она расположится так, что выполняются условия равновесия.
А
В этом случае вертикальная прямая, проведенная через точку подвеса,
пройдет через центр тяжести пластины.
- в пластине изготовим небольшие отверстия А и Б на некотором
расстоянии друг от друга;
- подвесим пластину на горизонтальную ось (игла,
Б
стержень) в точке А;
Б
Б
- подвесим на эту же ось отвес (нить с грузом);
- проведем карандашом линию по пластине вдоль
нити отвеса);
с
- подвесим пластину на горизонтальную ось в точке Б;
А
- подвесим на эту же ось отвес (нить с грузом);
- проведем карандашом линию по пластине вдоль нити отвеса);
 Точка пересечения линий с является центром масс
(центром тяжести) плоской фигуры.
Лицей 1511 Грушин, Самоварщиков, Храмченков Физика 10 класс