4 С

Вязкоупругая модель
корнеосклеральной
оболочки глаза
К.П. Фролова
(СПбПУ, ИПММ, 6 курс, каф. ТМ)
Научный руководитель: Е.Н. Вильчевская
Структура глаза
Сечение глазного яблока
2
Тонометрия
W
pt 
S
p  pt  N  M
Принцип (а) импрессионной и
(б) аппланационной тонометрии
pt – тонометрическое
давление
W – вес прикладываемого
груза
S – площадь зоны контакта
p – истинное ВГД
N – влияние сил,
увеличивающее зону контакта
за счет прикладываемого груза
M – влияние сил упругости
роговицы , уменьшающее зону
контакта
3
Аппланационный тонометр
Маклакова
Измерение ВГД методом
Маклакова
4
Аппланационный тонометр Гольдмана
Диаметр аппланации всегда постоянен и равен 3.06 мм.
Сила, действующая на площадку сплющивания со стороны
призмы, в 0.1 г соответствует внутриглазному давлению в
1 мм.рт.ст.
Изображения верхней и нижней
площадок сплющивания
5
Сравнение моделей тонометрии по
Гольдману и Маклакову
Гольдман:
Роговица
Склера
Маклаков (10 г):
Трансверсально – изотропная
сферическая оболочка
постоянной толщины,
имеющая радиус роговицы
Корнеосклеральная
оболочка
Сопряженные
оболочки
Показатели ВГД, полученные тонометром Гольдмана и
тонометром Маклакова
6
Анализатор биомеханических свойств
глаза (ORA)
Процедура измерения №1
Процедура измерения №4
Процедура измерения №2
Процедура измерения №3
7
Снимаемые параметры
Двунаправленный процесс
аппланации роговицы
•IOPG
ВГД по Гольдману
•IOPCC
Роговично компенсированное
ВГДрк
•CH
Корнеальный гистерезис
•CRF
Фактор резистентности
роговицы
•CCT
Толщина роговицы
8
Введение интравитреальной инъекции
Схема эксперимента
9
ВГД (среднее +/- стд. отклонение), мм.рт.ст.
Экспериментальная кривая
60
**
55
ИВИ (n = 34)
контроль (n= 34)
50
**
45
40
**
35
30
**
25
20
15
10
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
с
500 время,
600
Изменение ВГД с течением времени
10
Алгоритм для определения
гидродинамических показателей
Флюорофотометрия – метод определения уровня оттока внутриглазной жидкости,
основанный на измерении показателей объема передней камеры и ВГД, меняющихся
при медикаментозном воздействии гипотензивных препаратов.
Тонография - метод измерения и регистрации ВГД, позволяющий определять
состояние оттока внутриглазной жидкости.
Модель глазного яблока
До нагружения: F  R, P  P0
F  const
R  C ( P  Pe )
t
P(t )  Pst  [ P(0)  Pst ]exp( )

Pe  Pe 0  Pst  P0
C1
K
F – скорость притока жидкости
R – скорость оттока жидкости
V – объем глаза
P – ВГД
C – коэффициент легкости оттока
Pe – давление в эписклеральных венах
Pst – давление при неограниченной
длительности нагружения
τ – характерное время изменения
давления
K – объемная жесткость
11
корнеосклеральной оболочки
Алгоритм для определения
гидродинамических показателей
P(0) P(4)  P 2 (2)
Pst 
P(0)  P(4)  2 P(2)
 
Аппроксимация
экспериментальной кривой
Pe  Pe 0  1.25, мм. рт.ст.
K  P0 ln10 Ei
Ei  0.0215, 1
мм3
2
P(2)  Pst
ln(
)
P(0)  Pst
Ei – средний коэффициент ригидности
корнеосклеральной оболочки,
предложенный J.Friedenwald, 1/мм3
12
Реологическая модель вязкоупругого
материала
Структурные элементы:
Элемент Гука
(пружина)
Элемент Ньютона
(поршень в цилиндре,
заполненном маслом)
Реологическая модель оболочки
глаза
13
Метод преобразования Лапласа

ur (r , t )   e  st ur (r , t )dt  ur (r , s )
0

ur (r , t )   e  st ur (r , t )dt  pur (r , s )  ur (r , 0)
0
• Преобразование Лапласа — интегральное преобразование,
связывающее
функцию
комплексного
переменного
(изображение) с функцией вещественного переменного
(оригиналом).
• Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые
предопределили его широкое распространение в научных и
инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и
операциям над оригиналами соответствуют более простые
соотношения над их изображениями.
14
Задача Ламе для упругого изотропного
сферического слоя под действием
внутреннего давления
•Граничные условия
 rr ( R1 )   P0
•Уравнение
равновесия
 rr ( R2 )  0
•Закон Гука
 r
  (     )  r 
 rr  rr
G
E
   ( rr    )  r   r
  
G
E
   (    rr )    

  
G
E
E
G
2(1  )
u
•Связь ε и u  rr  dur      r
r
dr
 σ  0
   
 rr
 2 rr
0
r
r
Решение
P0 R13
R23 (1  )
(1  2 )
ur  3
(
r
)
3
2
( R2  R1 )
E
2 Er
4
4
V ( P)   ( R1  ur ( R1 ))3   ( R1 )3
3
3
15
Вязкоупругая задача для изотропного
сферического слоя под действием
постоянного внутреннего давления
 rr
r  R1
  P(t )   P0 H (t )   rr
 rr
r  R2
 0   rr
σ  K E  2e  2 e
r  R1
r  R1
  P0 H (t )
0
Граничные
условия
Материал Кельвина – Фойгта
Уравнение равновесия в перемещениях
 2ur 2 ur
 2ur 2 ur
4
2
4
2
( K   )(


u
)


(


u )0
3
r 2
r r
r2 r
3
r 2
r r
r2 r
 2ur 2 ur
4
4
2
( K     s )(


ur )  0
2
2
3
3
r
r r
r
ur  C1r 
C2
r2
16
Решение для перемещений и радиальных
напряжений
P0 R13
1
1 R23
t
ur ( r , t )  3
(
r

(1

exp(

)))
3
2
( R2  R1 ) 3K
4 r

Решение для
перемещений
P0 R13
P0 R13
R23 (1  )
1
1 R23
(1  2 )
ur ( r , t )  3
(
r
) 3
(
r
)  uel
lim
3
2
3
2
( R2  R1 ) 3K
4 r
( R2  R1 )
E
2 Er
t 
Решение для радиальных
напряжений
Проверка
P0 R13
R23
 rr (r , t )  3
(1  3 )
3
( R2  R1 )
r
IOP   rr ( R1 , t )  P0
17
Матрица жесткости для трансверсально
– изотропной среды
•Закон Гука
σ  С:ε
4
ε  S:σ
4
 C11 C12

 C12 C22
 C12 C23
4
C 
0
0

 0
0

 0
0

C12
C23
C22
0
0
0
σ – тензор напряжений
ε – тензор деформаций
4С – тензор жесткости
4S – тензор податливости
0
0
0
C22  C23
2
0
0
0
0
0
0
C66
0





0 

0 

C66 
0
0
0
1 – ось изотропии
18
Упругие модули
C11  E11  4 K 23
C12  2 12 K 23
C22  23  K 23
C23   23  K 23
C66  12
2
12
E11 –модуль Юнга в
направлении оси изотропии
ν12 - коэффициент Пуассона
K23 – объемный модуль
упругости
μ23, μ12 - модули
сдвига для поверхности
изотропии и для любой
плоскости,
перпендикулярной к
поверхности изотропии
19
Задача Ламе для упругой трансверсально изотропной сферической оболочки под
действием внутреннего давления
•Граничные условия
 rr ( R1 )   P0
 rr ( R2 )  0
•Уравнение равновесия для сферы
 σ  0
   
 rr
 2 rr
0
r
r
•Связь деформаций и перемещений
du
 rr 
dr
    
u
r
20
Решение для перемещений
Закон Гука
 rr 
 rr
  
  
E11

 
E22
 
E22
 21 
E22



 23 
E22
 23 
E22
 21 
E22


 12 rr
E11
 12 rr
E11
 r
 r 
12
 r
 r 
12
 
  
 23
 21E11  v12 E22
Перемещения
ur  C1r m 
C2
r m 1
E11 , E22 –модули Юнга в
поверхности изотропии и в
направлении, перпендикулярном к
ней
ν23, ν12, ν21 -коэффициенты Пуассона
μ12 – модуль
сдвига для плоскости,
перпендикулярной к поверхности
изотропии
μ23 - модуль
сдвига для поверхности изотропии
P0 [(1  23 ) E11  2 122 E22 ]
R1m  2 R22 m 1
C1 
E11  m  1 (1  23 ) E11  2 12 E22   R22 m 1  R12 m 1 
P0 [(1  23 ) E11  2 122 E22 ]
R1m  2
C2 
E11  m(1  23 ) E11  2 12 E22   R22 m 1  R12 m 1 
m   12 
1  2 E22 (12 1)
4
E11 (1 23 )
21
Представление решения через другие
упругие модули
E22 
 23
4  23 K 23
2
K 23  23  4 12
23 K 23 E11
2
K 23  23  4 12
23 K 23 E11

2
K 23  23  4 12
23 K 23 E11
E22 –модуль Юнга в
направлении плоскости
изотропии
ν23 - коэффициент Пуассона
2 P23
Перемещения
C2
u  C1r  m 1
r
m
R1m  2 R22 m 1
C1 
 m  1  2 23 E11  8 122  23 K 23   8 122  23 K 23   R22 m 1  R12 m 1 


2 P23
R1m  2
C2 
 m  2 23 E11  8 122  23 K 23   8 122  23 K 23   R22 m 1  R12 m 1 


m   12 
1  4 K23 (112 )
2
4
E11  412
K23
22
Вязкоупругая задача для трансверсальноизотропного сферического слоя под
действием постоянного давления
Уравнение равновесия в перемещениях
E112 (1  23 )
d 2ur 2 dur
E22 (1 12 ) ur
ur 
4  d 2ur 2 dur
(


2
)




2

0
E11 (1  23 )  2 122 E22 dr 2 r dr
E11 (1  23 ) r 2 3  dr 2 r dr
r2 
      A
 rr  C
A
ur
dur
2 dur 2 ur
D
 2 (

)
r
dr
3 dr
3 r
E11 E22
2
E11 (1  23 )  2v12
E22
B  v12 A
C  2v12 A
D
ur
dur
1 ur 1 dur
B
 2 (

)
r
dr
3 r
3 dr
(1  23 ) E11 A
E22
Компоненты
тензора
напряжений
A  2 K 23
B  2 12 K 23
C  4 12 K 23
D  E11  4 12 K 23
Упругие
константы
23
Безразмерная постановка для
трансверсально-изотропной задачи
Безразмерные величины
ur
R1
r
u

x
1
R2 Перемещения
Координата
R2
R2
 ij dim 
 ij
E22
Напряжения ur 
R2 E22

u
ur E22 u

r
 x
t

E22

Время
 2ur E22  2u

2
r
R2 x 2
Уравнение равновесия
E11
 2 (1  23 )
2 [1  12   (1  23 )] u
4
d 2u 2 du
u


(
  s )( 2 
2 2)
0
E22
 (1  23 )  2 122 3
dx
x dr
x
 (1  23 )  2 122
x2
Радиальные напряжения
 rr dim
(1  23 ) 2
2 12
4 u
4 dur
(

s
)

(

s)
2
2
 (1  23 )  2 12
3
x
 (1  23 )  2 12
3
dr
24
Решение для перемещений
Значения констант
ξ=0.01
β=0.96
ν23 =0.45
ν12 =0.01
p=0.005
Перемещение внутренней границы
сферического слоя с течением времени
25
Численные методы Лапласа
Метод Закиана
n
aj
1
f (t )  f n (t )  f n , , K (t )   K j f ( )
t j 1
t
a  [12.83767675  1.666063445 j ,
12.22613209  5.012718792 j ,
10.93430308  8.409673116 j ,
8.776434715  11.92185389 j ,
5.225453361  15.72952905 j ]
K  [ 36902.08210  196990.4257 j ,
61277.02524  95408.62551 j ,
28916.56288  18169.18531 j ,
4655.361138  1.901528642 j ,
118.7414011  141.3036911 j ]
Метод Джефферсона и Чоу
n=5
n=10
n – размерность матрицы a и K
n=15
26
Задача Ламе для вязкоупругого
сферического слоя при постоянном
значении дополнительного объема
Граничные условия
u ( x   , )  u0 H ( )  u ( x   , s )  u0 H ( )
 rr dim ( x  1, )
r  R2
 0   rr dim ( x  1, )  0
Учет дополнительного объема при инъекции
4
4
V   ( R1  ur 0 ( R1 ))3   ( R1 )3  4 R12u0
3
3
ur 0 
V
 R2u0  const
4 R02
27
Решение для перемещений и радиальных
напряжений для изотропного
сферического слоя
Решение для перемещений
1 (1   2  3  4 3 ) 2
[exp(
)( x  x   2 )(   x)(1  )   3 (2 x 3  4 x 3  1  )]u0
3
4 (1  2 )(1  ) 
u ( x,  ) 
(1   2  3  4 3 )  x 2
Сходимость решения к упругому
 3 (2 x3  4 x3  1  )u0
u ( x,  ) 
 uel
lim
3
3
2
(1   2   4 )  x
 
Решение для напряжений
1 (1   2  3  4 3 )
u0 ( x  x  1)( x  1)(2  (2  1)  (1   ) exp(
))
4 (2  1)(1  )  3
 rr dim ( x, ) 
(1   2 3  4 3 )  x3 (2  1)
2
3
28
Определение ВГД для трансверсальноизотропного сферического слоя
Значения констант
ξ=0.01
β=0.96
ν23 =0.45
ν12 =0.01
u0=0.0024
Изменение ВГД с течением времени
29
Нахождение значения вязкости для данной
задачи
4 значения ВГД из
результатов эксперимента
4 значения ВГД в
безразмерной постановке
задачи
4 значения τ
4 значения η
Эксперимнетальное
значение ВГД:
32 мм. рт. ст. при t=10 с
Безразмерное ВГД :
0.000298
τ=188.665 (метод Закияна)
187.066 (N=10)
189.457 (N=15)
η= 757.957 КПас (метод Закияна)
764.436 КПас(N=10)
754.789 КПас (N=15)
30
Нахождение значения вязкости для переменного
граничного условия
t 
V (t )  V
eye
0
 V 

t t
R (t )dt V
eye
0
t 0
 V 
 V (t )dt
t 0
Изменение объема глаза
V (t )  V0eye  V  4 ri 2 (0)ur (t )
t t
t 0 V (t )dt
V (t )  V0eye  V
ur (t )
u( , t ) 
 u0 
 u0  
 u0
ri (0)
4 ri3 (0)
4 ri3 (0)
• Безразмерное перемещение
• Размерное время
Перемещение на
внутренней границе
Коэффициент сдвиговой
вязкости входит в
систему уравнений
31
Условие оттока жидкости из глаза
Обработка данных тонографии
Скорость оттока
жидкости
Условие для
перемещений на
внутренней границе
сферического слоя
32
Изменение ВГД с течением времени для
трансверсально-изотропного случая
Изменение ВГД с течением времени
η= 754.789КПас
33
Литература
1. С.М. Бауэр, Л.А. Замураев, К.Е. Котляр. Модель трансверсальноизотропного сферического слоя для расчета изменения внутриглазного
давления при интрасклеральных инъекциях // Российский журнал
биомеханики – 2010 – То 10, №2 – С. 43 – 49.
2. В.П. Еричев, М.В. Еремина, Л.В. Якубова, Ю.А. Арефьева.
Анализатор биомеханических свойств глаза в оценке вязко–эластических
свойств роговицы в здоровых глазах // Глаукома – 2007 – № 1. – С. 11 – 15.
3. В. Новацкий. Теория упругости// Пер. с польского – Изд. «Мир» - 1975
4. Г.Л. Колмогоров, Т.В. Латышева, М.В. Снигирева. Трансверсально
изотропные характеристики сверхпроводящих длинномерных
композиционных материалов.
5. К. Котляр, С. Бауэр, Н. Планге. Клинические и биомеханические аспекты
изменения внутриглазного давления после интравитреальных инъекций.
6. Е.Н. Иомдина, С. Бауэр, К. Котляр. Биомеханика глаза: теоретические
аспекты и клинические положения//М.: Реал Тайм – 2015 – 208 с
7. E. Avdis, W.W. Power . Algorithms for Inverting Laplace Transforms//
INFORMS Journal on Computing - Vol. 19, No. 3, Summer 2007, pp. 341–355
34