Тренировочная работа №2. С2. Расстояние от точки до плоскости.

Презентация по материалам рабочей тетради
«Задача С2» авторов В.А. Смирнова
под редакцией И.В. Ященко, А.Л. Семенова
Геометрические
задачи «С2»
Тренировочная работа №2
Расстояние от точки
до плоскости
Повторение:
А
М
Н

Расстояние от точки до плоскости, не
содержащей эту точку, есть длина
перпендикуляра, проведенного из этой
точки на данную плоскость.
Повторение:
Если прямая параллельна плоскости, то все
точки прямой равноудалены от этой плоскости.
a

Расстояние от произвольной точки прямой до
плоскости называется расстоянием между прямой и
параллельной ей плоскостью.
a II
Повторение:
Если две плоскости параллельны, то все точки одной
плоскости равноудалены от другой плоскости.

 II 

Расстояние от произвольной точки одной из
параллельных плоскостей до другой плоскости называется
расстоянием между параллельными плоскостями.
Повторение:
Расстояние от точки М до плоскости  :
1) Равно расстоянию до плоскости  от произвольной точки Р,
лежащей на прямой а, которая проходит ч/з точку М и
параллельна плоскости ;
2) Равно расстоянию до плоскости  от произвольной точки
Р, лежащей на плоскости , которая проходит ч/з точку М и
параллельна плоскости ;
3) Находится с помощью координатно – векторного метода;
Устно:
Найдите расстояние от вершины куба до
плоскости любой грани, в которой не лежит эта
вершина, если ребро куба равно 5
D1
А1
С1
Подсказка
В1
Н
D
А
А

С
В
Расстояние от точки
до плоскости – длина
перпендикуляра
Устно:
Дан прямоугольный параллелепипед
ABCДA1B1C1Д1, найдите расстояние между
прямой А1С1 и плоскостью АВС .
D1
С1
Подсказка
А1
В1
a
d
С
D
А
n
a II

В Расстояние от произвольной точки
прямой до плоскости называется расстоянием
между прямой и параллельной ей плоскостью
Устно:
Дан прямоугольный параллелепипед
ABCДA1B1C1Д1, найдите расстояние между
прямой ДД1 и плоскостью АСС1 .
D1
С1
Подсказка
А1
В1
a
d
С
D
А
n
a II 

В Расстояние от произвольной точки
прямой до плоскости называется расстоянием
между прямой и параллельной ей плоскостью
Устно:
Дан прямоугольный параллелепипед
ABCДA1B1C1Д1, найдите расстояние между
плоскостями АВВ1 иДСС1.
D1
С1
А1
Подсказка
 II 
В1

d
D

С
n
А
В
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных
плоскостей до другой плоскости называется
расстоянием между параллельными плоскостями.
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
расстояние от точки А до плоскости ВДА1.
№1
1) Построим плоскость AА1С1С
С1 перпендикулярную плоскости
ДВА1.
D1
А1
В1
1
М
D
1
А
ВД  ДВА 1 

ВД  АС   ДВА 1   АА 1С1С 
ВД  АА 1 
2
2
С
О
1
В
проведем из точки А
перпендикуляр. АМ – искомое
расстояние.
2) Найдем искомое расстояние
через вычисление площади
треугольника AА1О.
Ответ: 3
3
Критерии оценивания выполнения задания С2
баллы
Критерии оценивания
2
Правильный ход решения. Приведена верная
последовательность всех шагов решения:
1) верно построен отрезок, длина которого является искомым
расстоянием;
2) найдена длина построенного отрезка.
Все построения и вычисления выполнены верно. Получен
верный ответ.
1
Правильно построен чертеж, указан отрезок, длина которого
является искомым расстоянием.
При нахождении длины отрезка допущены вычислительная
ошибка и/или описка.
В результате этой ошибки или описки может быть получен
неверный ответ.
0
1) Ход решения правильный, но оно не доведено до конца, или
решение отсутствует. Нет ответа
2) Ход решения правильный, но имеются существенные ошибки в
вычислениях, приведшие к неправильному ответу
3) Неправильный ход решения, приведший к неверному ответу
4) Верный ответ получен случайно при неверном решении или
существенных ошибках в вычислениях
№2
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
расстояние от точки А до плоскости СД1В1.
1) Построим плоскость AА1С1С
D перпендикулярную плоскости
СД1В1.
С
2
Подсказка:
В
А
М
1
С1
6
2
6
2
1
6
2
6
2
D1
1
О
В1
О
А1
М
С
А
2
2
Ответ: 12
3
№3
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
расстояние от точки А до плоскости ДВС1.
D1
О1
А1
1
1) Построим
Так как прямая
АО1 ОС
2)
плоскость
AА11С, 1то
С
прямая АО1(ДВС1).плоскости
Поэтому
перпендикулярную
2
С1 искомое расстояние h равно
ДВС1.
2
расстоянию от произвольной
ВД
 ДВС
точки
прямой
АО1 до плоскости
1 

ДВС
.
Например,
расстояние
от
ВД 
АС
М
1
  ДВС
1   АА 1С1С 
В1
центра О1 квадрата А1В1С1Д1 до
ВД  АА 1 
1 плоскостиДВС
1.
проведем из точки О1
перпендикуляр. О1М – искомое
расстояние.
D
А
С 3) Найдем искомое расстояние
1
О
1
В
через вычисление площади
треугольника ОО1С1.
Ответ: 3
3
№4
В правильной шестиугольной пирамиде
SАВСDЕF, стороны основания которой
равны 1, а боковые ребра равны 2,найдите
расстояние от точки А до прямой SВС.
1)
как
АД ВС,
то ВС
2) Так
Пусть
К прямая
– середина
отрезка
прямая АД
(SВС). Поэтому
Построим
плоскость
SОК
искомое
расстояние
h равно
перпендикулярную плоскости
расстоянию от произвольной
SВС.
точки прямой АД до плоскости
ВСНапример,
 SВC
SВС.
расстояние от

до плоскости
2центра
SOK 
ВC ООК
 SBC  SВС.
S
2
Е

ВС  SО 
DМ
проведем из точки О
перпендикуляр. ОМ –
С искомое расстояние.
1 О
F
А
1
В
К1
Ответ: 15
5
В правильной шестиугольной призме
А…..F1, все ребра которой равны 1, найдите
расстояние от точки А до плоскости ВFЕ1.
№5
Е1
D1
О1
F1
А1
1
В1
К1
М
Е М
1
F
А
1)Так как прямая АО1 (ВFЕ1),
то искомое расстояние h
равно расстоянию от прямой
С1АО1 до плоскости(ВFЕ1).
К
1
1
D
О
С
В
Построим плоскость АОО1
перпендикулярную
плоскости ВFЕ1.
проведем из точки О
перпендикуляр. ММ1 –
искомое расстояние.
1
Ответ: 2
4
Домашнее задание
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1
Все ребра которой равны 1, найдите
расстояние от точки А до плоскости:
а) ВСА1; б) СА1В1
Ответы : а)
21
; б)
7
21
7
В правильной четырехугольной пирамиде
SАВСД, все ребра которой равны 1, найдите
расстояние от точки А до плоскости SСД.
Ответы :
6
;
3
Литература
1. В.А. Смирнов ЕГЭ 2011. Математика.
Задача С2. Геометрия. Стереометрия. /
Под. редакцией А.Л. Семенова и И.В.
Ященко. – М.: МЦНМО, 2011.
2. http://le-savchen.ucoz.ru/