5 Формула включений

• § 4. Формула включений-исключений.
Беспорядки.
• Теорема 1 (формула включенийисключений).
• Пусть А = А1 А2…Аm – конечное
множество. Тогда
n( A) 
 n( A )  
1i  m
k 1
...  (1) 
i

1i1 i2  m
1i1 ...ik  m
m 1
n( Ai1  Ai2 ) 

1i1 i2 i3  m
n( Ai1  Ai2  ...  Aik )  ...
...  (1)  n( A1  A2  ...  Am ).
n( Ai 1  Ai2  Ai3 )  ...
• Доказательство. Возьмем элемент а  А.
• В число, стоящее слева, этот элемент «вносит»
единицу.
• Подсчитаем,
какое
число
соответствует
элементу
в
правой части
доказываемого
равенства. Если мы докажем, что оно также равно 1,
то теорема будет
доказана.
• Пусть a входит в k множеств
Ai1 , Ai2a, 
, Aik
• Тогда в первое слагаемое элемент
«вносит»
k
единиц, во второе слагаемое
n( A  A

• элемент а «вносит»
1i1i2  m
i1
i2
)
C
2
k
• единиц, так как a входит во все пересечения
Ai1  Ai2
• такие, что Ai и Ai содержат a;
• число
таких
пересечений – число
2-х элементных подмножеств k-элементного
2
множества, т.е. Ck
1
2
• В l-ое слагаемое a «вносит» единиц (l  k).
Если l > k, то a в такие пересечения уже не
входит, те есть «вносит» в эти суммы 0.
Таким образом a «вносит» в правую сумму
следующее количество единиц:
k  C  C  ...  (1)
2
k
3
k
l 1
 C  ...  (1)
l
k
k 1
C
k
k
• Чтобы доказать теорему, осталось доказать
равенство
l 1
k 1
1  k  C  C  ...  (1) C  ...  (1) C
2
k
3
k
l
k
k
k
• Но это равенство равносильно следующему :
1  k  C  C  ...  (1) C  ...  (1) C  0
2
k
3
k
l
l
k
k
k
k
• которое верно, так как является следствием
бинома Ньютона при х = -1.
• Теорема доказана.
• Наиболее часто формулу включений-исключений
применяют в несколько иной формулировке.
• Пусть имеется N предметов, каждый из которых
может обладать или не обладать одним из свойств
Р1, Р2, …, Рm.
• Введем следующие обозначения:
• N(Pi) – количество предметов, которые обладают
свойством Pi,
• N ( P i ) - количество предметов, которые не
обладают свойством Pi, причем не важно, обладают
они или нет другими свойствами,
• N ( Pi1 , P i2 P i3 ) - количество предметов, которые
обладают свойствами
и не обладают
Pi1
свойствами Pi
, Pi3
и т. п.
2
• Теорема 2.
N ( P1 , P 2 ,..., P m ) N 
 N ( P )  ... 
1i  m
(1) k
i
m
N
(
P
,
P
,...,
P
)

...

(

1
)
N ( P1 , P2 ,..., Pm )
 i1 i2 ik
1i1 ...  `ik  m
Пример. Вычислить количество натуральных чисел,
не превосходящих 100, которые не делятся на 2,
3, 5.
Решение. N = 100.
• Обозначим через N(2) количество чисел из N,
которые делятся на 2 и далее аналогично. Тогда
• N(2) = 50, N(3) = 33,
N(5) = 20,
N(2,5) = N(10) = 10,
N(2,3) = N(6) = 16,
• N(3,5) = N(15) = 6,
N(2,3,5) = N(30) = 3.
По формуле включений-исключений получаем:
N= 100 – N(2) – N(3) – N(5) + N(2,3) + N(3,5) + N(2,5) –
N(2,3,5) = 100 – 50 – 33 – 20 + 16 + 10 + 6 – 3 = 32.
• Определение 3. Пусть дано множество
• А = {1, 2, 3, …, n}.
• Перестановка (к1, к2,…, кn) называется
беспорядком, если кi ≠ i для любого i  n,
то есть каждое число не стоит на своем месте.
• Пример. Пусть А = {1, 2, 3, 4}.
• Выпишем все беспорядки:
• (2,1,4,3), (2,3,4,1), (2,4,1,3), (3,1,4,2), (3,4,1,2),
(3,4,2,1), (4,1,2,3), (4,3,1,2), (4,3,2,1).
• Теорема 4. Число беспорядков n-элементного
множества равно
1
1
( 1) n
n!(1 

 ... 
)
1!
2!
n!
• Доказательство. Введем обозначения:
• N(i) – количество перестановок, у которых на i-м
месте стоит число i.
• Поскольку все остальные (n-1) числа могут стоять
произвольно, то
• N(i) = (n-1)! (i = 1, 2, 3, …, n).
• Пусть N(i, j) – количество перестановок, в которых
числа i и j стоят на i-м и j-м местах соответственно,
N(i, j) = (n – 2)!
• Пусть N(i1, i2, …, ik ) – количество
перестановок, в которых числа i1, i2, …, ik
стоят на местах с этими же номерами
соответственно,
• N(i1, i2, …, ik ) = (n – k)!.
• Отметим так же, что количество чисел вида
N(i1, i2, …, ik )
• существует столько же, сколько существует kэлементных
подмножеств
n-элементного
множества, то есть .
• Обозначив через Dn – количество беспорядков
множества А, по формуле включений –
исключений получаем:
n
Dn  n! N (i ) 
i 1
k
N
(
i
,
i
)

...

(

1
)
 1 2
1i1 i2  n
 N (i , i ,...i ) 
1i1 ... ik  n
1
2
k
 ...  (1) n  N (1,2,3,..., n)  n!n  (n  1)!Cn2  (n  2)!... 
n! n!
 (1)  C  (n  k )!...  (1)  C  0! n!   ... 
1! 2!
k
k
n
n
n
n
k
n
n
!
n
!
1
1
(

1
)
(

1
)
 (1) k   ...  (1) n   n!(1    ... 
 ... 
)
k!
n!
1! 2!
k!
n!
• Пример. Вернемся к предыдущему примеру.
Непосредственным подсчетом мы выясним,
что число беспорядков D4 = 9. Вычислим D4,
используя полученную формулу:
1 1 1 1
1 1
1
D4  4!(1     )  4!(1  1   
)
1! 2! 3! 4!
2 6 24
1
1
1
 4!( 

)  12  4  1  9
2
6
24