угловой коэффициент касательной равен производной функции.

 1. Производная
 2. Общие правила составления
производных
 3. Производная сложной функции
 4. Механическая интерпретация
производной
 5. Геометрическая интерпретация
производной
Производная
• Возьмем какую-нибудь функцию, например х 2
• Дадим аргументу некоторое произвольное приращение h
• Разность
называется приращением функции
2
2
( x  h)  x
• Рассмотрим отношение приращения функции к приращению
аргумента, т.е. дробь
(А)
( x  h) 2  x 2
h
•
•
•
Величина этой дроби зависит и от величины x, и от величины h.
Например, при x=2 и h=0,1 значение дроби равна 4,1; при x=3 и h=0,01
величина этой дроби равна 6,01 и т.д.
Если теперь мы станем приближать величину h неограниченно к нулю,
то числитель и знаменатель дроби (А) станут одновременно
приближаться неограниченно также к нулю. При этом величина самой
дроби будет также изменяться.
Характер такого изменения трудно обнаружить, если ограничиваться
рассмотрением отношения (А) лишь в том виде, как оно описано.2
•
Если же сделаем следующие преобразования
( x  h) 2  x 2 x 2  2 xh  h 2  x 2 2 xh  h 2


 2x  h
h
h
h ,
То увидим, что при h  0 выражение 2x+h, следовательно и выражение
неограниченно приближаются к выражению 2х.
( x  h) 2  x 2
h
Таким образом,
lim
h0
( x  h) 2  x 2
h
•
=2х
Выражение 2х представляет собой новую функцию, которая получилась из
исходной функции
х с2 помощью определенного процесса. Этот
процесс заключался в вычислении предела отношения приращения
функции х 2
к приращению аргумента х при условии, что приращение
аргумента стремится к нулю.
• Полученная с помощью такого процесса функция 2х называется
2
производной от функции х
.
Процесс нахождения производной является новым математическим
действием. Это действие обозначается поставленным над данной
функцией знаком штрих  . Например, ( x 2 )  2 x
f (x)
•
•
Производной от данной функции называется предел
отношения приращения этой функции к приращению
аргумента при условии, что приращение аргумента
стремится к нулю.
Примеры:
 x   lim
h0
xh  x
 lim
h0
h

xh  x


xh  x
h xh  x

  lim
h0

h
h xh  x

 lim
h0

1
xh  x
1
1

h
1
1
1
xh
x  lim
 lim
 2.
   lim
h

0
h

0
h

0
h
hx( x  h)
x ( x  h)
x
 x


1
2 x
.

•
•
Операция нахождения производной от функции называется
дифференцированием этой функции.
Если h произвольным образом стремится к нулю и если при этом отношение
стремится к конечному пределу, то
f ( x0  h)  f ( x0 )
h
•
говорят, что функция f(x) в точке
x  x0 дифференцируема.
Общие правила составления производных
• 1. Производные суммы равна сумме производных.
  x    ( x)   ( x)
 lim
h 0
 ( x  h)   ( x  h)   ( x  h)   ( x)   ( x)   ( x) 
h
 ( x  h)   ( x )
 ( x  h)   ( x ) 
  ( x  h)   ( x )
lim 




h 0
h
h
h


 ( x  h)   ( x )
 ( x  h)   ( x )
 ( x  h)   ( x )
lim
 lim
 lim
  ( x )   ( x )   ( x ) /
h 0
h 0
h 0
h
h
h
• 2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Af ( x  h)  Af ( x)
f ( x  h)  f ( x )
A  f ( x)  lim
 A  lim
 A  f ( x)
h 0
h 0
h
h
Пример.

1. x 2 
x  sin x
  ( x
2
)   ( x )   (sin x)   2 x 
2.(19 x )   19( x )   19  3 x  57 x
3
3
2
2
1
2 x
 cos x.
• 3. Производная произведения двух функций равна первой функции,
умноженной на производную второй, плюс вторая функция, умноженная на
производную первой.
f ( x  y ) ( x  h)  f ( x) ( x)
f ( x  h) ( x  h)  f ( x) ( x  h)  f ( x) ( x  h)  f ( x) ( x)
 f ( x)   ( x)  lim
 lim

h 0
h 0
h
lim
h 0
•
h
f ( x  h)  f ( x )
 ( x  h)   ( x )
  ( x  h)  lim
 f ( x)  f ( x) ( x)   ( x) f ( x).
h 0
h
h
4. Производная дроби равна произведению знаменателя на производную
числителя, минус произведение числителя на производную знаменателя,
все разделенное на квадрат знаменателя.
f ( x  h)
f ( x)

 f ( x) 
f ( x  h) ( x )   ( x  h) f ( x )
 ( x  h)  ( x )
 lim

  ( x )   lim
h 0
h 0
h
h

(
x

h
)

(
x
)


f ( x  h) ( x )  f ( x ) ( x)  f ( x ) ( x )   ( x  h) f ( x)
lim

h 0
h ( x  h) ( x )
f ( x  h)  f ( x )
 ( x  h)   ( x )
 ( x) 
f ( x)
f ( x ) ( x )   ( x ) f ( x )
h
h
lim

.
h 0
 ( x  h) ( x)
 ( x)2

Пример.
1.( x 2  sin x )   x 2  (sin x )   sin x  ( x 2 )   x 2 cos x  2 x sin x.



x 2  sin x   x 2  sin x
x 2 cos x  2 x sin x
 sin x 
2.

.
 
2
2
x4
 x 
x2
 
 
•
5.Производная постоянной величины равна нулю.
y  c, y   0
c  c
0
y   lim
 lim
 0
h 0
h 0 h
h
•
6. Производная от аргумента равна 1.
y  x, y   1
( x  h)  x
h
y   lim
 lim
 lim 1  1
h 0
h

0
h 0
h
h
Производная сложной функции и техника
дифференцирования.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Пусть
и u  sin x
y  u3
Если рассматривать отдельно равенство
y  u 3 , то можно считать
аргументом u, а функцией y. В этом случае
производная от величины y по
2
аргументу u выразится так:. y u  3u
Мы здесь вместо обычного обозначения y  применили обозначение y u .
Это мы сделали для того, чтобы в дальнейшем не перепутать между собой эту
производную с другой производной, которая у нас еще появится.
Если рассматривать отдельно равенство u=sin x, то можно считать аргументом
x, а функцией u.
В этом случае производная от величины u и по аргументу x выразится так:
. u x  cos x
3
Теперь станем рассматривать равенства у  u
и u  sin x в их связи друг с
другом. Очевидно , что каждому значению аргумента x будет соответствовать
определенное значение u, а полученному значению u будет соответствовать
определенное значение y. Следовательно, мы можем рассматривать величину
y не только как функцию величины u, но и как функцию аргумента x.
Функцию y от x, заданную таким образом, называют сложной функцией от x, а
величину u называют промежуточной переменной.
При такой постановке вопроса возникает задача – найти производную от
величину y по аргументу x.
•
•
•
Придадим аргументу x приращение h, тогда величина u получит некоторое
приращение h1 , а после этого и величина y получит некоторое свое
приращение h2 .
h
y x  lim 2
По определению производной
.
h 0 h
h2 h2 h1
Но
  .
h
h1 h
h h 
h
h
y x  lim  2  1   lim 2  lim 1 .
h 0 h
h

0
h

0
h1
h
 1 h
•
Поэтому
•
Но
•
Поэтому
•
Значит,
•
Таким образом, производная сложной функции по независимой
переменной равна её производной по промежуточной переменной,
умноженной на производную промежуточной переменной по
независимой.
h
lim 2  yu
h0 h
1
и
h1
 u x
h 0 h
lim
.
y x  yu  u x
y x  3u 2  cos x  3 sin 2 x cos x.
•
•
Примеры:
1)
y  2 sin x
y x  2 sin x ln 2  cos x
•
2)
•
3)
•
4)
y  ax 2  bx  c
1
y x 
 (2ax  b)
2
2 ax  bx  c
y  ln sin x
1
y x 
 cos x  tgx
sin x
y  sin 3 x
y x  3 sin 2 x  cos x
Механическая интерпретация производной
•
Известно, что функция
•
выражает путь, пройденный при свободном падении. Придадим аргументу t
приращение h. Тогда приращение функции окажется равным
1
gt 2
2
1
1
g (t  h) 2  gt 2
2
2
1
1
g (t  h) 2 
gt 2
2
2
h
•
Отношение
•
времени от момента t до момента t+h. Скоростью же в момент t мы называем тот
h
0 этот предел по
предел, к которому стремится эта дробь при
. Но
определению как раз есть производная функции 1 gt 2.
2
Таким образом, оказывается, что производная от функции, выражающей
пройденный путь при прямолинейном движении, выражает скорость этого
движения. В этом и заключается механический смысл производной.
•
есть средняя скорость на промежутке
•
Вычислив
•
, найдем формулу скорости движения v=gt, где gt есть как раз производная
функции 1 gt 2
2
Эту производную можно было получить и так:
•
1
1
g (t  h) 2  gt 2
2
lim 2
h 0
h

1
1 2 1
2 
 gt   g  t  g  2t  gt
2
2
 2
 
•
•
•
Кратко говорят: Производная от пути по времени есть скорость.
Пример: Пройденный путь в зависимости от времени выражается функцией
a
 bt 2 , где a и b – постоянные. Найти скорость движения.
t





a
1
a
a





 1
v    bt 2      bt 2  a     b t 2  a    2   b  2t   2  2bt
t
t
 t
t 
 t 
 

Геометрическая интерпретация производной
•
К кривой PG проведена секущая АВ через две её точки М и N. Оставляя точку М
неподвижной, вообразим, что точка N движется по кривой, неограниченно приближаясь к
М. Тогда секущая АВ станет поворачиваться вокруг неподвижной точки М, стремясь к
предельному положению КТ. Это предельное положение секущей называется касательной
к кривой в точке М.
Определение. Касательной к данной кривой
G
в данной точке М называется предельное
N
положение секущей, проходящей через данную
P
точку М и через другую точку N кривой, при
M
условии, что точка N приближается по
кривой неограниченно к неподвижной точке М.
T
Условимся
называть тангенс угла между осью х
K
и касательной к кривой угловым коэффициентом
касательной
• Задача : Найти угловой коэффициент касательной к кривой
в произвольно взятой на ней
точке М(x; 1 x 2 )
y
1 2
x
4
4
N
B
М
Q
O
x
х PX+h S
A
y
T
1


OX. Тогда
N  x  h; ( x  h) 2 и проведем MQ
4


1
1
( x  h) 2  x 2
1
1 2
1
1 2
2
2
NQ
4
MQ  h; NS  ( x  h) ; QS  MP  x ; NQ  ( x  h)  x .
tgNPQ 
 4
4
4
4
4
MQ
h
Возьмем на кривой точку
Если станем приближать точку М к точке N, то секущая станет приближаться к положению
касательной АВ. При этом h стремиться к нулю, а величина угла QMN к величине угла PAM .
1
Но
последний
предел
есть
производная
функции
y  x2
1
1
4
( x  h) 2  x 2
Следовательно,
,
т.е.
4
4

1
1
1
1
2
2
tgPAM  lim
h 0
h
 
tgPAN  ( x )  x
4
4

4
угловой коэффициент касательной равен производной функции.
 2x 
2
x