О множествах

О МНОЖЕСТВАХ
Используемая литература
1. Виленкин Н.Я. «Рассказы о множествах»/ НАУКА главная редакция
физико-математической литературы: МОСКВА 1996
2. Сост. Никольская И.Л. Факультативный курс по математике7–9 кл/ М:
Просвещение /Блох А.Я. «Числовые множества»
3. Нешков К.И. и др «Множества. Отношения. Числа. Величины.» Пособие
для учителей/ М: Просвещение 1978
МОУ Кочнёвская СОШ учитель Грязнова А.К. март 2007 г
1
ЧТО ТАКОЕ МНОЖЕСТВО?
(1)
 Множества могут состоять из различных элементов –
рыб, домов, квадратов, чисел, точек и т.д.
Этим и объясняется чрезвычайная широта теории
множеств и её приложимость к самым разным
областям знаний(математике, механике, физике,
биологии, лингвистике м т.д.
2
ЧТО ТАКОЕ МНОЖЕСТВО?
(2)
«Множество есть многое, мыслимое нами как единственное».
Георг Кантор (основатель теории множеств)
 Нет строгого определения. Это основное понятие. В обиходном языке –
это «совокупность», «собрание», «коллекция», «класс», «система» и тд.
 Это несколько объектов объединённых общим признаком
(множество стульев в комнате, множество атомов на Юпитере,
множество картофелин в данном мешке, множество рыб в океане,
множество точек на окружности и тд).
 Предметы составляющие данное множество – его элементы:
А = {х, у,…,z}, x A.
C –множество дней недели, то С={понедельник, вторник, среда,
четверг, пятница, суббота, воскресенье}; январь С, среда  С
3
Виды множеств
Основные виды множеств, с которыми мы познакомимся:
 Конечные
 Пустое
 Бесконечные(счётные, несчётные)
Счётное множество – самое маленькое из
бесконечных*
Несчётные множества существуют. Например:
множество всех точек на прямой линии. Доказать
несчётность нелегко
4
Как задают множества
 Перечислением всех элементов(для
конечных множеств)
 Указанием характеристического
свойства
(оно должно формулироваться тщательно, чтобы
избежать неясности и двусмысленности, свойственных
обычному нашему языку)
5
П у с т о е м н о ж е с т в о.
Зачем они нужны?
 Множество не содержащее ни одного
элемента называют пустым и обозначают Ø
Например
-
Множество лошадей, пасущихся на луне,
- множество десятиногих млекопитающих,
- множество действительных решений
уравнения х2 = 4
 Когда множество задано характеристическим
свойством, то не всегда известно, существует ли хоть
один элемент с таким свойством.
 Пустое множество единственное: нет двух разных
пустых множеств.
6
Это интересно!!
 Не решена проблема Ферма:
 Пусто ли множество натуральных
чисел n таких, что n > 2,
уравнение хn + уn =zn имеет
положительные целочисленные
решения.
7
Подмножество
А
В
 Пусть даны два множества А и В. причём
каждый элемент второго множества
является элементом первого множества.
Тогда В называют подмножеством (или
частью) множества А. Записывают это
так: А  В
(Читают: «множество В содержится в множестве А» или
«множество А содержит множество В»).
 Считается, что пустое множество Ø
является подмножеством любого
множества.
8
NZQR,
где
N- множество натуральных чисел; Q- множество рациональных чисел;
Z- множество целых чисел;
R- множество действительных чисел
Диаграммы Эйлера. Наглядно указанные зависимости можно
изобразить с помощью так называемых
R
Q
N
кругов Эйлера:
Z
Операции над множествами
Пересечение множеств
Пересечением множеств А, В,
С,… называется множество,
состоящее из всех элементов,
принадлежащих каждому из этих
множеств.
закрашенная фигура А  В
 - пересечение
___________________________
Пересечение множеств иногда называют их
произведением, а операцию пересечения – умножением
множеств. Многие свойства пересечения напоминают
свойства умножения чисел.
10
Операции над множествами
Объединение или сумма множеств
Объединением или суммой
множеств называется множество,
состоящее из элементов,
принадлежащих хотя бы одному из
этих множеств.
А В
____________________________
обозначают А  В или А + В.
На рис. это закрашенная фигура
Если
какой-нибудь
элемент
входит в несколько слагаемых, то
в сумме он берётся лишь один
раз.
11
Операции над множествами
Разбиение

множеств.
Если множество Х является суммой множеств А, В ,С,…,
причём никакие два из них не имеют общих элементов, то
говорят, что множество Х разбито на (непересекающиеся)
подмножества А, В ,С,… .
Примеры
а) Множество натуральных чисел разбивается на
подмножества чётных и нечётных чисел.
б) Множество учеников в классе на подмножества
учеников, фамилии которых начинаются на одну и ту же
букву.

Разбиение множества на попарно непересекающиеся
подмножества называют классификацией, а полученные
подмножества – классами.
12
Операции над множествами
Вычитание множеств

Разностью множеств А и В называют такое
множество Х = А\ В или (А – В), в которое
входят все элементы из А, не
принадлежащие множеству В.
При этом не предполагается, что множество В является частью
множества А.
Таким образом при вычитании множества В из А из А
удаляют общую часть (пересечение) А и В:
А\ В = А \ А  В.

Например.
А – множество всех учащихся IX класса данной
школы, а В – множество всех девочек России,
то Х= А\ В – множество всех мальчиков, обучающихся
в IX классе этой школы.
13
Операции над множествами
Дополнение множеств
 В случае, когда множество В является
частью А , разность множеств А – В
называют дополнением.
• Дополнением множества В до множества А
называется множество всех элементов А, не
являющихся элементами множества В.
На рисунке это закрашенная фигура
14
Как сравнивать множества
 В каком случае надо говорить,
что одно множество содержит
столько элементов, сколько и
второе?
В каких случаях два бесконечных
множества имеют «поровну»
элементов?
15
Равна ли часть целому?
Как сравнивать множества
 Основная догма, которую необходимо
отбросить: «часть меньше целого»
На длинном и коротком отрезках
точек поровну
О
А
С
В
D
16
 Трудно примериться, что дорога в миллион
световых лет имеет столько же точек, сколько и
радиус атомного ядра!
 На всей бесконечной прямой не больше точек,
чем на отрезке (т.е. между между точками прямой и отрезка
можно установить взаимнооднозначное соответствие)
О
А
В
Тайны бесконечности
 Математики и философы всегда
интересовались понятием бесконечности.
 Парадоксы бесконечности приучили древних
греков к осторожности
(парадокс Зенона о том, что стрела не может сдвинуться с места,
Ахиллес никогда не догонит черепаху)
Например: Евклид, формулировал свою знаменитую теорему о
бесконечности простых чисел, выражается так: «Простых чисел
существует больше всякого предложенного количества
простых чисел», а бесконечно много или нет – об этом Евклид
умалчивает.
18
Тайны бесконечности
(2)
 Основные заслуги в развитии теории множеств
принадлежат Г. Кантору
(родился в 1845 г в
Петербурге, умер в 1918 г в Галле).
 Исследования бесконечных множеств
потребовало развития математической логики.
Первоначально эта область математики была очень далека
от практических приложений, но впоследствии её
принципы составили идейную основу конструирования
электронных вычислительных машин и программирования
вычислений на этих машинах.
Большой вклад в теорию множеств сделан трудами советских
математиков Н.Н.Лузина (1883 – 1950), П.С.Новикова, М.Я.
Суслина (1894 – 1919), П.С.Александрова, А.Н. Колмогорова и
др.
19