Геометрический и физический смысл производной

Учитель: Матвеева Е.В.
1. Найти производные функций

3  2 x 
х
х


х  2 

3х  6х 

х  3х  4 
2
2

1

  sin x  
х

2
3х
4


 7 х  2х   
3
2



 х 

3
 2 
3

 
  2
 sin  x  cos  x  
2
2 


 2 
 2
2  
3
2  
 cos 4  sin 4   x  sin 6  x  sin 6  



f x   x
2. Найдите:
f 9; f 16
3. Решите уравнение
f x   2 f x 
4. Материальная точка движется по
закону
2 3
S (t )  t  5t  6 (м).
3

Чему равно ускорение (м/с2) в момент
времени t=2 с ?
S (t)  V(t)

V (t)  a(t)
t 2
Решение
2
.
S (t )  2t  5  V (t )
V (t )  4t  a(t )
V (2)  4  2  8  a(2)
Ускорение равно 8 (м/с2).
Укажите пары «функция-график производной функции»
Задача 1.1. На рисунке изображен график функции y = f (x), и
касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение
производной функции y = f (x) в точке х0.
Решение.


А С
f   x0   k  tg ,
BC 3
f   x0   tg 
  3.
AC 1
Ответ: 3.
Теоретические сведения.
Значение производной функции f(x) в точке х0 равно tga — угловому
коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке.
Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на
касательной, абсциссы и ординаты которых — целые числа. Теперь определим модуль
углового коэффициента. Для этого построим ∆ABC. Важно помнить, что тангенс
острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего
катета к прилежащему.
Знак производной (углового коэффициента) можно определить по рисунку,
например, так: если касательная «смотрит вверх» то производная положительна, если
касательная «смотрит вниз» - отрицательна (если касательная горизонтальна, то
производная равна нулю).
Задача 1.2. На рисунке изображен график функции y = f (x), и
касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение
производной функции y = f (x) в точке х0.
б)
a)
А

С
В
А
В
С
Решение.
f   x0   k  tg ,
AC
3
tg (180   )  
   0,5.
BC
6
Ответ: - 0,5 .
f   x0   k  tg ,
AC 3
f   x0   tg 
  0, 75.
AB 4
Ответ: 0,75.
Задача 1.3. На рисунке изображен график функции y = f (x), и
касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение
производной функции y = f (x) в точке х0.
б)
a)

А
А
С
В
С
В
f   x0   k  tg ,
tg (180   )  
Решение.
BC
6
   0, 75.
AC
8
Ответ: - 0,75 .
f   x0   k  tg ,
tg (180   )  
Ответ: - 3 .
AC
6
   3.
BC
2
Задача 2.1. На рисунке изображен график функции y = f (x),
касательная к этому графику, проведенная в точке 4, проходит через
начало координат. Найдите f'(4).
6

Решение.
Если касательная проходит через начало
координат, то можно изобразить ее на
рисунке, проведя прямую через начало
координат и точку касания. В качестве
точек с целочисленными координатами,
лежащих на касательной, можно взять
начало координат и точку касания.
Дальнейшее решение очевидно:
4
f ( x0 )  tg 
Ответ: 1,5.
6
 1,5.
4
Задача 2.2. На рисунке изображен график функции y = f (x),
касательная к этому графику, проведенная в точке х0, проходит через
начало координат. Найдите f'(х0).
Решите самостоятельно!
1
3
х0= 2
х0= - 4

f ( x0 )  tg 
Ответ: 2.

4
2
2
2
f ( x0 )  tg    0,5
4
Ответ: - 0,5.
2
4
х0= 4
х0= - 4

f ( x0 )  tg 
Ответ: 0,5.
2
 0,5
4

f ( x0 )  tg 
3
 0,75
4
Ответ: 0,75.




Каким вопросам был
посвящен урок?
Чему научились на уроке?
Какие теоретические факты
обобщались на уроке?
Какие рассмотренные
задания ЕГЭ оказались
наиболее сложными?
Почему?