Тема 5. Геометрический и механический смысл производной. Неравенства с одной переменной

Тема 5. Геометрический и механический смысл производной.
Исследование функции с помощью производной.
Неравенства с одной переменной
Задания В8 , В14
Задача 1.
На рисунке изображен график функции
y  f (x) , определенной на интервале
(8;3) . Определите количество целых
точек xi , таких что f / ( x) отрицательно.
Решение. Производная непрерывно
дифференцируемой функции на
промежутке убывания меньше или равна
нуля. Значит, необходимо выделить
промежутки убывания и сосчитать
количество целых чисел, принадлежащих
этим промежуткам. Причем, производная
равна нулю на концах этих промежутков,
значит, нужно брать только внутренние
точки промежутков.
Ответ: 3.
Задача 2 .
На рисунке изображен график функции
y  f (x) и касательная к нему в точке с
абсциссой x 0 . Найдите значение
производной функции в точке x 0 .
Решение. Значение производной функции в точке x 0 равно tg - угловому
коэффициенту касательной, проведенному к графику этой функции в данной точке. Чтобы
найти угловой коэффициент касательной, выбираем две точки A и B , лежащие на
касательной, абсциссы и ординаты которых целые числа, причем точка A расположена
левее (ее абсцисса меньше).
Знак производной можно определить по рисунку, например, так: если касательная
«смотрит вверх» - точка B лежит выше точки A , то производная положительна, если
точка B ниже, то отрицательна, если касательная горизонтальна, то производная равна
нулю.
Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим
треугольник ABC (см. рисунок).
BC
Модуль углового коэффициента будет равен
. Найдем координаты точек: A(1;10) ,
CA
9
B ( 2;1) , C (2;10) , тогда BC  9, AC  3 . tg =  3 .
3
Ответ: 3.
При решении этой задачи важно помнить, что тангенс острого угла прямоугольного
треугольника – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Также можно использовать следующее рассуждение: так как уравнение касательной имеет
вид y  kx  b и f ( x)  k , найдя координаты точек A( x0 ; y 0 ) и B( x1 ; y1 ) , лежащих на
касательной, мы можем найти k из системы уравнений
 y0  k * x0  b,

 y1  k * x1  b.
 10  1k  b,
В нашей задаче 
k  3.
  1  2k  b.
Задача 3. Найдите точку минимума функции y  (0,5  x) cos x  sin x ,

принадлежащую промежутку (0; ) .
2
Решение. Найдем производную данной функции, применив правило для вычисления
производной произведения двух функций:
y   (0,5  x) cos x  (0,5  x)(cos x)  cos x   cos x  (0,5  x) sin x  cos x  ( x  0,5) sin x . На

промежутке (0; ) производная обращается в нуль только при x  0,5 , поскольку
2
sin x  0 на этом промежутке. В точке x  0,5 производная меняет знак с минуса на плюс,
и эта точка является единственной точкой минимума.
Ответ: 0,5.
Задания для самостоятельной работы
Задания В8
1) На рисунке изображен график
функции y  f (x) и касательная к
нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите
значение производной функции в
точке x 0 .
2) На рисунке изображен график
функции y  f (x) . Касательная к
этому графику, проведенная в точке
x  4 , проходит через начало
координат. Найдите f (4).
3) На рисунке изображен график
функции y  f (x) , определенной на
интервале (1;13) . Определите
количество целых чисел xi , таких, что
f ( xi ) отрицательно.
4) На рисунке изображен график
движения точки по прямой. По
горизонтали отложено время, по
вертикали – расстояние от точки отсчета.
Сколько раз за наблюдаемый период
точка останавливалась?
5) Прямая y  5 x  6 параллельна касательной к графику функции y  x 2  8 x  3 .
Найдите абсциссу точки касания.
6) На рисунке изображен график
производной функции y  f (x) ,
определенной на интервале (10;3) . В
какой точке отрезка  4;1
f (x ) принимает наибольшее значение?
7) На рисунке изображен график
производной функции, определенной на
интервале (3;8) . Найдите промежутки
убывания функции y  f (x) . В ответе
укажите сумму целых чисел, входящих в
эти промежутки.
Задания В14
1) Найдите точку максимума функции y  9  4 x  4 x 2  x 3 .
2) Найдите наименьшее значение функции y  (1  x)( x  4) 2 на отрезке 0;3 .
3) Найдите точку максимума функции y  2 cos x  (5  2 x) sin x  4, принадлежащую
 
промежутку  ;   .
2 
4) Найдите наименьшее значение функции y  5  ( x  3)e 4 x на отрезке 0;7.
5) Найдите точку минимума функции y  2 x  5 ln( x  7) .
6) Найдите наибольшее значение функции
x3  x2  9
y
 x 2 на отрезке  9;1 .
x
Задания С3
Решите системы неравенств
 (2 x  32)(3 x  27)

 0,
1)  x 2  5 x  14
 log 0,1 2 x  1  0.


3 x  1  12 * 3  x ,

2) log ( x 2  4 x  3)  2 log (4  x)  0.
1
 13
3
(9 x  4)  0,
 log
3)  x logx 2 x x
x
6  4 * 3  2  4  0.
4) Решите неравенство
log 3 x ( x 2  10 x  25)  2 log 3 x (4 x  x 2  5)  2.