Метод Фурье

Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики
5 семестр
Лекция 5
Метод Фурье.
21 ноября 2014 года
Лектор: профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
Метод Фурье
1. Метод Фурье для одномерного
параболического уравнения.
2. Метод Фурье для одномерного
гиперболического уравнения.
3. Метод Фурье для многомерного
параболического уравнения.
4. Метод Фурье для многомерного
гиперболического уравнения.
Метод Фурье
Жан Батист Жозеф Фурье (21 марта 1768, Осер,
Франция — 16 мая 1830, Париж), французский
математик и физик. Его имя внесено в список
величайших ученых Франции, помещённый на
первом этаже Эйфелевой башни.
Основной областью занятий Жана Фурье была
математическая физика. В 1822 году он опубликовал
работу "Аналитическая теория тепла", сыгравшую
большую роль в последующей истории математики.
В ней Фурье вывел дифференциальное уравнение
теплопроводности и разработал для решения
уравнения теплопроводности при тех или иных
заданных граничных условиях метод разделения
переменных (Фурье метод).
Метод Фурье
Метод Фурье для одномерного параболического уравнения.
u  
u 
 ( x )   p( x )   q( x )u  f ( x, t ), a  x  b, t  0
t x 
x 
u( x,0)   ( x ), a  x  b
u
1u(a, t )  1 (a, t )  0, t  0
x
u
 2u(b, t )   2 (b, t )  0, t  0
x
Метод Фурье
Ассоциированная задача Штурма-Лиувилля
( p( x )u ') ' q( x )u
  u, a  x  b
 ( x)
1u(a )  1u '(a )  0
 2u(b)   2u '(b)  0
Решение ассоциированной ЗШЛ – последовательность всех
собственных значений и собственных функций, взятых по одной
для каждого собственного значения:


{k } k 1 , {uk ( x )} k 1
Метод Фурье
Эвристический подход к ассоциированной ЗШЛ
u  
u 
 ( x )   p ( x )   q ( x )u
t x 
x 
u ( x, t )  T (t ) X ( x )
T '  pX '  ' q( x ) X
 T ' X  T  pX '  ' q( x )TX ,


T
X
T '  T ,
 pX '  ' q( x ) X   X

1u(a, t )  1
u
(a, t )  0  1T (t ) X ( a )  1T (t ) X '( a )  0  1 X ( a )  1 X '( a )  0
x
 2u(b, t )   2
u
(b, t )  0   2T (t ) X (b)   2T (t ) X '(b)  0   2 X (b)   2 X '(b)  0
x
Метод Фурье

u( x, t )   Tk (t )uk ( x )
k 1
u  
u 
 ( x )   p( x )   q( x )u  f ( x, t ), a  x  b, t  0
t x 
x 



k 1
k 1
k 1


 ( x ) Tk '(t )uk ( x )   Tk (t )  p( x )uk '  '   q( x )Tk (t )uk  f ( x, t )
 Tk '(t )uk ( x )  
k 1
k 1

p ( x ) uk '  '  q ( x ) u k

T (t )
 ( x)
k


f ( x, t )
Tk '(t )uk ( x )   k Tk (t )uk 

 ( x)
k 1
k 1
f ( x, t )
 ( x)
Метод Фурье


f ( x, t )
Tk '(t )uk ( x )   k Tk (t )uk 

 ( x)
k 1
k 1
f ( x, t ) 
  f k (t )uk ( x ),
 ( x ) k 1
b
1
f ( x, t )
1
f k (t ) 
 ( x)
uk ( x )dx 
2 
|| uk || a
 ( x)
|| uk ||2

T
k 1
k


k 1
k 1
b
 f ( x, t )u ( x )dx
k
a
'(t )uk ( x )   k Tk (t )uk   f k (t )uk ( x )
Tk '(t )  k Tk (t )  f k (t )
Метод Фурье
u( x,0)   ( x ) 

 T (0)u ( x)   ( x)
k
k 1
k
b
1
k 
 ( x ) ( x )uk ( x )dx  Tk (0)   k
2 
|| uk || a
Tk '(t )  k Tk (t )  f k (t )

Tk (0)   k
t
Tk (t )  k ek t   f k ( )ek ( t  )d
0
Метод Фурье


u
1u(a, t )  1 (a, t )  1  T k (t )uk (a )  1  T k (t )uk '(a ) 
x
k 1
k 1


k 1
k 1
  T k (t ) 1uk (a )  1uk '(a )    T k (t )  0  0


u
 2u(b, t )   2 (b, t )   2  T k (t )uk (b)  2  T k (t )uk '(b) 
x
k 1
k 1


k 1
k 1
  T k (t )  2uk (b)   2uk '(b)    T k (t )  0  0
Метод Фурье
Алгоритм решения
1. Выписываем ассоциированную задачу Штурма-Лиувилля
( p( x )u ') ' q( x )u
  u, a  x  b
 ( x)
1u(a )  1u '(a )  0
 2u(b)   2u '(b)  0
находим собственные значения и выбираем для каждого собственного значения по одной собственной функции


{k } k 1 , {uk ( x )} k 1
2. Вычисляем квадраты норм собственных функций
b
|| uk ||2    ( x ) | uk ( x ) |2 dx
a
Метод Фурье
3. Вычисляем коэффициенты Фурье исходных данных
b
1
k 
 ( x ) ( x )uk ( x )dx
2 
|| uk || a
1
f k (t ) 
|| uk ||2
b
 f ( x, t )u ( x )dx
k
a
4. Вычисляем коэффициенты Фурье решения задачи по формуле
t
Tk (t )  k ek t   f k ( )ek ( t  )d
0
5. Выписываем решение исходной задачи

u( x, t )   Tk (t )uk ( x )
k 1
Метод Фурье
Частный случай однородного уравнения
u  
u 
  p( x )   q( x )u, a  x  b, t  0
t x 
x 
u( x,0)   ( x ), a  x  b
u
1u(a, t )  1 (a, t )  0, t  0
x
u
 2u(b, t )   2 (b, t )  0, t  0
x
 ( x)
b
b
1
|| uk ||2    ( x ) | uk ( x ) |2 dx,  k 
 ( x ) ( x)uk ( x )dx
2 
|| uk || a
a

u( x, t )   k ek t uk ( x )
k 1
Метод Фурье
Метод Фурье для одномерного гиперболического уравнения.
 2u  
u 
 ( x ) 2   p( x )   q( x )u  f ( x, t ), a  x  b, t  0
t
x 
x 
u( x,0)   ( x ), a  x  b
u
( x,0)   ( x ), a  x  b
t
u
1u(a, t )  1 (a, t )  0, t  0
x
u
 2u(b, t )   2 (b, t )  0, t  0
x
Метод Фурье
Ассоциированная задача Штурма-Лиувилля
( p( x )u ') ' q( x )u
  u, a  x  b
 ( x)
1u(a )  1u '(a )  0
 2u(b)   2u '(b)  0
Решение ассоциированной ЗШЛ – последовательность всех
собственных значений и собственных функций, взятых по одной
для каждого собственного значения:


{k } k 1 , {uk ( x )} k 1
Метод Фурье
Эвристический подход к ассоциированной ЗШЛ
 2u  
u 
 ( x) 2   p( x)   q( x)u
t
x 
x 
u ( x, t )  T (t ) X ( x )
T ''  pX '  ' q( x ) X
 T '' X  T  pX '  ' q( x )TX ,


T
X
T ''  T ,
 pX '  ' q( x ) X   X

1u(a, t )  1
u
(a, t )  0  1T (t ) X ( a )  1T (t ) X '( a )  0  1 X ( a )  1 X '( a )  0
x
 2u(b, t )   2
u
(b, t )  0   2T (t ) X (b)   2T (t ) X '(b)  0   2 X (b)   2 X '(b)  0
x
Метод Фурье

u( x, t )   Tk (t )uk ( x )
k 1
 2u  
u 
 ( x) 2   p( x )   q( x )u  f ( x, t ), a  x  b, t  0
t
x 
x 



k 1
k 1
k 1


 ( x ) Tk ''(t )uk ( x )   Tk (t )  p( x )uk '  '   q( x )Tk (t )uk  f ( x, t )
 Tk ''(t )uk ( x )  
k 1
k 1

p( x )uk '  ' q( x )uk

T (t )
 ( x)
k


f ( x, t )
Tk ''(t )uk ( x )   k Tk (t )uk 

 ( x)
k 1
k 1
f ( x, t )
 ( x)
Метод Фурье


f ( x, t )
Tk ''(t )uk ( x )   k Tk (t )uk 

 ( x)
k 1
k 1
f ( x, t ) 
  f k (t )uk ( x ),
 ( x ) k 1
b
1
f ( x, t )
1
f k (t ) 
 ( x)
uk ( x )dx 
2 
|| uk || a
 ( x)
|| uk ||2

T
k 1
k


k 1
k 1
b
 f ( x, t )u ( x )dx
k
a
''(t )uk ( x )   k Tk (t )uk   f k (t )uk ( x )
Tk ''(t )  k Tk (t )  f k (t )
Метод Фурье

u
u( x, t )   Tk (t )uk ( x ),
( x, t )   Tk '(t )uk ( x )
t
k 1
k 1

u( x,0)   ( x ) 

 T (0)u ( x)   ( x)
k
k 1
u
( x,0)   ( x ) 
t
k

T
k 1
k
'(0)uk ( x )   ( x )
b
1
k 
 ( x ) ( x )uk ( x )dx  Tk (0)   k
2 
|| uk || a
b
1
k 
 ( x ) ( x )uk ( x )dx  Tk '(0)   k
2 
|| uk || a
Метод Фурье
Tk ''(t )  k Tk (t )  f k (t )

Tk (0)   k
T '(0)  
k
 k
k  k
t

k
1

cos

t

sin

t

f k ( )sin k (t   )d , k  0
 k
k
k

k
k 0

Tk (t )  
t
   t  f ( )(t   )d ,   0
k
k
k

 k
0

Метод Фурье


u
1u(a, t )  1 (a, t )  1  T k (t )uk (a )  1  T k (t )uk '(a ) 
x
k 1
k 1


k 1
k 1
  T k (t ) 1uk (a )  1uk '(a )    T k (t )  0  0


u
 2u(b, t )   2 (b, t )   2  T k (t )uk (b)  2  T k (t )uk '(b) 
x
k 1
k 1


k 1
k 1
  T k (t )  2uk (b)   2uk '(b)    T k (t )  0  0
Метод Фурье
Алгоритм решения
1. Выписываем ассоциированную задачу Штурма-Лиувилля
( p( x )u ') ' q( x )u
  u, a  x  b
 ( x)
1u(a )  1u '(a )  0
 2u(b)   2u '(b)  0
находим собственные значения и выбираем для каждого собственного значения по одной собственной функции


{k } k 1 , {uk ( x )} k 1
2. Вычисляем квадраты норм собственных функций
b
|| uk ||2    ( x ) | uk ( x ) |2 dx
a
Метод Фурье
3. Вычисляем коэффициенты Фурье исходных данных
b
b
1
1
k 

(
x
)

(
x
)
u
(
x
)
dx
,


 ( x ) ( x )uk ( x )dx
k
k
2 
2 
|| uk || a
|| uk || a
1
f k (t ) 
|| uk ||2
b
 f ( x, t )u ( x)dx
k
a
4. Вычисляем коэффициенты Фурье решения задачи по формуле
t

k
1
f k ( )sin k (t   )d , k  0
 k cos k t  sin k t 




k
k 0
Tk (t )  
t
   t  f ( )(t   )d ,   0
k
k
k

 k
0

5. Выписываем решение исходной задачи

u( x, t )   Tk (t )uk ( x )
k 1
Метод Фурье
Метод Фурье для многомерного параболического уравнения.
u
 ( x )  div  p( x )u   q( x )u  f ( x, t ), x  , t  0
t
u( x,0)   ( x ), x  
u( x, t )
 ( x )u ( x , t )   ( x )
 0, x  , t  0

Метод Фурье
Ассоциированная задача Штурма-Лиувилля
div( p( x )u )  q( x )u
  u, x  
 ( x)
u( x )
 ( x )u ( x )   ( x )
 0, x  

Решение ассоциированной ЗШЛ – последовательность всех
собственных значений и собственных функций, составляющих
ортогональный базис:


{k } k 1 , {uk ( x )} k 1
Метод Фурье

u( x, t )   Tk (t )uk ( x )
k 1
u
 ( x )  div  p( x )u   q( x )u  f ( x, t ), x  , t  0
t



k 1
k 1
k 1
 ( x ) Tk '(t )uk ( x )   Tk (t )  div( p( x )uk )    q( x )Tk (t )uk  f ( x, t )


k 1
k 1
 Tk '(t )uk ( x)   Tk (t )
div( p( x )uk )  q( x )uk f ( x, t )

 ( x)
 ( x)


k 1
k 1
 Tk '(t )uk ( x)   kTk (t )uk 
f ( x, t )
 ( x)
Метод Фурье


k 1
k 1
 Tk '(t )uk ( x )   kTk (t )uk 
f ( x, t )
 ( x)
f ( x, t ) 
  f k (t )uk ( x ),
 ( x ) k 1
1
f ( x, t )
1
f k (t ) 
 ( x)
uk ( x )dx 
2 
|| uk || 
 ( x)
|| uk ||2

T
k 1
k


k 1
k 1
 f ( x, t )u ( x )dx
k

'(t )uk ( x )   k Tk (t )uk   f k (t )uk ( x )
Tk '(t )  k Tk (t )  f k (t )
Метод Фурье
u( x,0)   ( x ) 

 T (0)u ( x)   ( x)
k
k 1
k
1
k 
 ( x ) ( x )uk ( x )dx  Tk (0)   k
2 
|| uk || 
Tk '(t )  k Tk (t )  f k (t )

Tk (0)   k
t
Tk (t )  k ek t   f k ( )ek ( t  )d
0
Метод Фурье
u
 ( x )u ( x , t )   ( x ) ( x , t ) 



uk
  ( x ) T k (t )uk ( x, t )   ( x )  T k (t )
( x, t ) 

k 1
k 1
uk


  T k ( t )   ( x ) uk ( x , t )   ( x )
( x, t )  



k 1


  T k (t )  0  0
k 1
Метод Фурье
Алгоритм решения
1. Выписываем ассоциированную задачу Штурма-Лиувилля
div( p( x )u )  q( x )u
  u, x  
 ( x)
u( x )
 ( x )u ( x )   ( x )
 0, x  

находим собственные значения и составляем из собственных
функций ортогональный базис


{k } k 1 , {uk ( x )} k 1
2. Вычисляем квадраты норм собственных функций
|| uk ||2    ( x ) | uk ( x ) |2 dx

Метод Фурье
3. Вычисляем коэффициенты Фурье исходных данных
k 
1
 ( x ) ( x )uk ( x )dx
2 
|| uk || 
f k (t ) 
1
|| uk ||2
 f ( x, t )u ( x )dx
k

4. Вычисляем коэффициенты Фурье решения задачи по формуле
t
Tk (t )  k ek t   f k ( )ek ( t  )d
0
5. Выписываем решение исходной задачи

u( x, t )   Tk (t )uk ( x )
k 1
Метод Фурье
Метод Фурье для многомерного гиперболического уравнения.
 2u
 ( x ) 2  div  p( x )u   q( x )u  f ( x, t ), x  , t  0
t
u( x,0)
u( x,0)   ( x ),
  ( x ), x  ,
t
u( x, t )
 ( x )u ( x , t )   ( x )
 0, x  , t  0

Метод Фурье
Ассоциированная задача Штурма-Лиувилля
div( p( x )u )  q( x )u
  u, x  
 ( x)
u( x )
 ( x )u ( x )   ( x )
 0, x  

Решение ассоциированной ЗШЛ – последовательность всех
собственных значений и собственных функций, составляющих
ортогональный базис:


{k } k 1 , {uk ( x )} k 1
Метод Фурье

u( x, t )   Tk (t )uk ( x )
k 1
 2u
 ( x ) 2  div  p( x)u   q( x)u  f ( x, t ), x , t  0
t



k 1
k 1
k 1
 ( x ) Tk ''(t )uk ( x )   Tk (t )  div( p( x )uk )    q( x )Tk (t )uk  f ( x, t )


k 1
k 1
 Tk ''(t )uk ( x)   Tk (t )
div( p( x )uk )  q( x )uk f ( x, t )

 ( x)
 ( x)


k 1
k 1
 Tk ''(t )uk ( x)   kTk (t )uk 
f ( x, t )
 ( x)
Метод Фурье


k 1
k 1
 Tk ''(t )uk ( x)   kTk (t )uk 
f ( x, t )
 ( x)
f ( x, t ) 
  f k (t )uk ( x ),
 ( x ) k 1
1
f ( x, t )
1
f k (t ) 
 ( x)
uk ( x )dx 
2 
|| uk || 
 ( x)
|| uk ||2

T
k 1
k


k 1
k 1
 f ( x, t )u ( x )dx
k

''(t )uk ( x )   k Tk (t )uk   f k (t )uk ( x )
Tk ''(t )  k Tk (t )  f k (t )
Метод Фурье

u
u ( x, t )   Tk (t )uk ( x ),
( x, t )   Tk '(t )uk ( x )
t
k 1
k 1

u ( x,0)   ( x ) 

 T (0)u ( x)   ( x)
k 1
k
k

u
( x,0)   ( x )   Tk '(0)uk ( x )   ( x )
t
k 1
1
k 
 ( x ) ( x )uk ( x )dx  Tk (0)   k
2 
|| uk || 
1
k 
 ( x ) ( x )uk ( x )dx  Tk '(0)   k
2 
|| uk || 
Метод Фурье
Tk ''(t )  k Tk (t )  f k (t )

Tk (0)   k
T '(0)  
k
 k
k  k
t

k
1

cos

t

sin

t

f k ( )sin k (t   )d , k  0
 k
k
k

k
k 0

Tk (t )  
t
   t  f ( )(t   )d ,   0
k
k
k

 k
0

Метод Фурье
u
 ( x )u ( x , t )   ( x ) ( x , t ) 



uk
  ( x ) T k (t )uk ( x, t )   ( x )  T k (t )
( x, t ) 

k 1
k 1
uk


  T k ( t )   ( x ) uk ( x , t )   ( x )
( x, t )  



k 1


  T k (t )  0  0
k 1
Метод Фурье
Алгоритм решения
1. Выписываем ассоциированную задачу Штурма-Лиувилля
div( p( x )u )  q( x )u
  u, x  
 ( x)
u( x )
 ( x )u ( x )   ( x )
 0, x  

находим собственные значения и составляем из собственных
функций ортогональный базис


{k } k 1 , {uk ( x )} k 1
2. Вычисляем квадраты норм собственных функций
|| uk ||2    ( x ) | uk ( x ) |2 dx

Метод Фурье
3. Вычисляем коэффициенты Фурье исходных данных
k 
1
1

(
x
)

(
x
)
u
(
x
)
dx
,


 ( x ) ( x )uk ( x )dx
k
k
2 
2 
|| uk || 
|| uk || 
f k (t ) 
1
|| uk ||2
 f ( x, t )u ( x)dx
k

4. Вычисляем коэффициенты Фурье решения задачи по формуле
t

k
1
f k ( )sin k (t   )d , k  0
 k cos k t  sin k t 




k
k 0
Tk (t )  
t
   t  f ( )(t   )d ,   0
k
k
k

 k
0

5. Выписываем решение исходной задачи

u( x, t )   Tk (t )uk ( x )
k 1
Метод Фурье
Пример (БК 695)
ut  a 2uxx   u, 0  x  l , t  0,

u( x,0)  sin  x , 0  x  l ,
2l

u(0, t )  0, t  0,

ux (l , t )  0, t  0
Ассоциированная ЗШЛ:
a 2u ''  u   u, 0  x  l

u(0)  0
u '(l )  0

Метод Фурье
a u ''  u   u, u '' 
2
u ''   u, 0  x  l

u(0)  0
u '(l )  0


a2
 

u, u ''   u   

2
a


u( x )  c1 cos  x  c2 sin  x
u '( x )  c1  sin  x  c2  cos  x

c1  0


 c1  sin  l  c2  cos  l  0

(2k  1)
cos  l  0,  l     k 
2
2
(2k  1) x
 (2k  1) 
k   
,
u
(
x
)

sin
(k  1, 2,...)
k

2l
2l


2
Метод Фурье
l
(2k  1) x
1 
(2k  1) x 
1
(2k  1) x 
l
|| uk ( x ) ||2   sin 2
dx    1  cos
dx

x

sin




2
l
2
l
2
l



0 2
0
0
l
l


a2
   a2  
2

(2
k

1)

a


k   
 
2l




(2k  1) x
u
(
x
)

sin
 k
2l

l

2
||
u
(
x
)
||

 k
2

( k  1, 2,...)
Метод Фурье
1, k  1
 ( x )  sin
 u1 ( x )   k  
2l
0, k  2
x

u( x, t )   k ek t uk ( x )  e1t u1 ( x )  e
  2a 2

 2   t
 4l

k 1
Ответ:
u ( x, t )  e
  2a 2

 2   t
 4l

sin
x
2l
sin
x
2l
Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики.
Метод Фурье.
Лекция 5 завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции:
Принцип максимума.
Лекция состоится в пятницу 28 ноября
В 12:00 по Московскому времени.